2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2 6页

‎2.2.1‎‎ 双曲线及其标准方程 ‎[课时作业] ‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是(　　)‎ A.－y2＝1 B.－y2＝1‎ C.－＝1 D．x2－＝1‎ 解析：椭圆的焦点F1(－，0)，F2(，0)．与椭圆＋y2＝1共焦点的只有A、D两项，‎ 又因为Q点在－y2＝1上．‎ 故应选A.‎ 答案：A ‎2．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是(　　)‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：由题意可设双曲线方程为 －＝1，‎ 又由中点坐标公式可得P(，4)，‎ ‎∴－＝1，解得a2＝1.‎ 答案：B ‎3．(2015·高考福建卷)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)‎ A．11　　　B．‎9　‎　　C．5　　　D．3‎ 解析：由题意知a＝3，b＝4，c＝5，由双曲线定义知，＝|3－|PF2||＝‎2a＝6，∴|PF2|＝9‎ 答案：B ‎4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于(　　)‎ 6‎ A. B. C. D. 解析：双曲线的方程为－＝1，‎ 所以a＝b＝，c＝2，‎ 因为|PF1|＝2|PF2|，‎ 所以点P在双曲线的右支上，‎ 则有|PF1|－|PF2|＝‎2a＝2，‎ 所以解得|PF2|＝2，|PF1|＝4，‎ 所以根据余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝.‎ 答案：C ‎5．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵||PF1|－|PF2||＝2，‎ ‎∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4，‎ ‎∴|PF1|2＋|PF2|2＝4＋2|PF1||PF2|，‎ 由余弦定理知 ‎|PF1|2＋|PF2|2－|F‎1F2|2＝2|PF1||PF2|cos 60°，‎ 又∵a＝1，b＝1，‎ ‎∴c＝＝，‎ ‎∴|F‎1F2|＝‎2c＝2，‎ ‎∴4＋2|PF1||PF2|－8＝|PF1||PF2|，‎ ‎∴|PF1||PF2|＝4，‎ 设P到x轴的距离为|y0|，‎ S△PF‎1F2＝|PF1||PF2|sin 60°‎ ‎＝|F‎1F2||y0|，‎ ‎∴×4×＝×2|y0|，‎ ‎∴y0＝＝.‎ 故选B.‎ 6‎ 答案：B ‎6．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为________．‎ 解析：方程化为标准形式是－＝1，‎ 所以－－＝9，‎ 即k＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎7．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：根据焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，得满足题意的m需满足不等式组即∴m＞5，∴m的取值范围为(5，＋∞)．‎ 答案：(5，＋∞)‎ ‎8．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F‎1F2|，则△PF‎1F2的面积等于________．‎ 解析：由－＝1知c＝5，‎ ‎∴|F‎1F2|＝‎2c＝10，‎ 由双曲线定义知，‎ ‎|PF1|－|PF2|＝6，‎ ‎∴|PF1|＝6＋|PF2|＝16，‎ cos∠F1PF2＝ ‎＝＝.‎ ‎∴sin∠F1PF2＝.‎ ‎∴S△PF‎1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×16×10×＝48.‎ 答案：48‎ ‎9．动圆M与两定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，F2：x2＋y2－10x－24＝0都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．‎ 解析：将圆的方程化成标准式：‎ F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1，‎ 6‎ F2：(x－5)2＋y2＝72，圆心F2(5,0)，半径r2＝7.‎ 由于动圆M与定圆F1，F2都外切，‎ 所以|MF1|＝r＋1，|MF2|＝r＋7，‎ ‎∴|MF2|－|MF1|＝6，‎ ‎∴点M的轨迹是双曲线的左支，且焦点F1(－5,0)，F2(5，0)，‎ ‎∴c＝5，且a＝3，∴b2＝c2－a2＝52－32＝16.‎ ‎∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x<0)．‎ ‎10．设双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．‎ ‎(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；‎ ‎(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？‎ 解析：(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝.‎ 设|MF1|＝r1，‎ ‎|MF2|＝r2(r1>r2)．‎ 由双曲线定义，‎ 有r1－r2＝‎2a＝4，‎ 两边平方得r＋r－2r1·r2＝16，‎ 即|F‎1F2|2－4S△F1MF2＝16，‎ 也即52－16＝4S△F1MF2，‎ 求得S△F1MF2＝9.‎ ‎(2)若∠F1MF2＝60°.在△MF‎1F2中，由余弦定理得 ‎|F‎1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 60°，‎ ‎|F‎1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，‎ 解得r1r2＝36.‎ 求得S△F1MF2＝r1r2sin 60°＝9.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．“mn<‎0”‎是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由mn<0⇔m<0，n>0或m>0，n<0，‎ 所以mx2＋ny2＝1表示焦点可能在x轴上也可能在y轴上的双曲线；‎ 而mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴的双曲线则有m>0，n<0，‎ 故mn<0.‎ 6‎ 故应选B.‎ 答案：B ‎2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若‎2a＝8，那么△ABF2的周长是(　　)‎ A．16 B．18‎ C．21 D．26‎ 解析：由题意结合双曲线定义得|AF2|＝‎2a＋|AF1|， |BF2|＝‎2a＋|BF1|.‎ 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5,‎2a＝8，‎ ‎∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋‎4a＋|AB|＝16＋2|AB|＝26.‎ 答案：D ‎3．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同的焦点F1，F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.‎ 解析：如图，由椭圆定义知，‎ ‎|PF1|＋|PF2|＝2，‎ ‎∴(|PF1|＋|PF2|)2＝‎4m.①‎ 由双曲线定义知，‎ ‎|PF1|－|PF2|＝2，‎ ‎∴(|PF1|－|PF2|)2＝‎4a，②‎ ‎①－②得，|PF1|·|PF2|＝m－a.‎ 答案：m－a ‎4．已知双曲线－＝1的两焦点为F1，F2.‎ ‎(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；‎ ‎(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3， 2)，求双曲线C的方程．‎ 解析：(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，‎ 则MF1⊥MF2，‎ 设|MF1|＝m，|MF2|＝n，‎ 由双曲线定义知，m－n＝‎2a＝8，①‎ 又m2＋n2＝(‎2c)2＝80，②‎ 由①②得m·n＝8，‎ ‎∵mn＝4＝|F‎1F2|·h，‎ 6‎ ‎∴h＝.‎ ‎(2)设所求双曲线C的方程为 －＝1(－4<λ<16)，‎ 由于双曲线C过点(3，2)，‎ 所以－＝1，‎ 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．‎ ‎∴所求双曲线C的方程为－＝1.‎ ‎5．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程．‎ 解析：∵△MPN的周长为48，且tan∠P MN＝，‎ ‎∴设|PN|＝3k，|PM|＝4k，‎ 则|MN|＝5k.‎ 由3k＋4k＋5k＝48得k＝4.‎ ‎∴|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.‎ 以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．‎ 设所求双曲线方程为 －＝1(a>0，b>0)．‎ 由|PM|－|PN|＝4得‎2a＝4，a＝2，a2＝4.‎ 由|MN|＝20得‎2c＝20，c＝10，∴b2＝c2－a2＝96.‎ ‎∴所求双曲线方程为－＝1(x≠±2)．‎ 6‎