高考数学专题复习练习：1-2 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：30分钟)‎ ‎1．(2017·山东聊城期中)已知A是数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 若“A＝{0}”，可得“A∩{0，1}＝{0}”；若“A∩{0，1}＝{0}”，可得集合A中0∈A，1∉A，可以取A＝{－1，0}也满足题意．所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．‎ ‎【答案】 B ‎2．(2017·湖南师大附中第四次月考)“cos α＝”是“cos 2α＝”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 当cos α＝时，cos 2α＝2cos2α－1＝，当cos 2α＝时，可以求得cos α＝±，所以“cos α＝”是“cos 2α＝”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎【答案】 A ‎3．(2017·山西康杰中学等校第二次联考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 当a＝0时，f(x)＝x(x＞0)在区间(0，＋∞)内单调递增；当a＜0时，f(x)＝－(ax－1)x＝(－ax＋1)x(x＞0)，因为对称轴为x＝＜0，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)内单调递增，充分性成立；反之，若a＞0，则函数f(x)在区间和内单调递增，而在 内单调递减，因此必要性也成立．‎ ‎【答案】 C ‎4．(2017·陕西商洛商南高中二模)在△ABC中，设命题p：＝＝，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的(　　)‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 ＝＝，即＝，sin Asin C＝sin2B①；＝，sin Asin B＝sin2C②.①－②，得(sin C－sin B)(sin A＋sin B＋sin C)＝0，则sin C＝sin B，∴C＝B.同理得C＝A，∴A＝B＝C，则△ABC是等边三角形．当△ABC为等边三角形，即A＝B＝C时，＝＝2R，＝＝2R，＝＝2R，‎ ‎∴＝＝成立，∴命题p是命题q的充要条件．‎ ‎【答案】 A ‎5．(2017·云南玉溪一中月考)设p：“lg x，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列”，q：“2x＋1－，2x，3成等比数列”，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 若p为真，则x＞0且2lg(x＋1)＝lg x＋lg(x＋3)，∴lg(x＋1)2＝lg x(x＋3)，∴(x＋1)2＝x(x＋3)，解得x＝1.若q为真，则(2x)2＝3，整理得(2x)2－6·2x＋8＝0，解得2x＝2或2x＝4，可得x＝1或x＝2.∵{1}是{1，2}的真子集，∴p是q的充分不必要条件．故选A.‎ ‎【答案】 A ‎6．(2016·北京卷)设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.‎ ‎【答案】 D ‎7．(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 m⊂α，m∥β⇒/ α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．‎ ‎【答案】 B ‎8．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)‎ A．a＜0　　　　　　　　　　　B．0＜a＜ C.＜a＜1 D．a≤0或a＞1‎ ‎【解析】 因为函数f(x)过点(1，0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a＞1.‎ 观察选项，根据集合间关系得{a|a＜0}{a|a≤0或a＞1}，故答案选A.‎ ‎【答案】 A ‎9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．‎ ‎【解析】 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．‎ ‎【答案】 2‎ ‎10．若x＜m－1或x＞m＋1是x2－2x－3＞0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【解析】 由已知易得{x|x2－2x－3＞0}{x|x＜m－1或x＞m＋1}，又{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，‎ ‎∴或∴0≤m≤2.‎ ‎【答案】 [0，2]‎ ‎11．给定两个命题p、q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________条件．‎ ‎【解析】 若綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈p⇒/ q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇒/ p，所以p是綈q的充分不必要条件．‎ ‎【答案】 充分不必要 ‎12．下列命题：‎ ‎①若ac2＞bc2，则a＞b；‎ ‎②若sin α＝sin β，则α＝β；‎ ‎③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；‎ ‎④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎【解析】 对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确；‎ 对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，‎ 所以②错误；‎ 对于③，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；‎ ‎④显然正确．‎ ‎【答案】 ①③④‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：15分钟)‎ ‎13．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【解析】 先证“a＞b”⇒“a|a|＞b|b|”．若a＞b≥0，则a2＞b2，即a|a|＞b|b|；若a≥0＞b，则a|a|≥0＞b|b|；若0＞a＞b，则a2＜b2，即－a|a|＜－b|b|，从而a|a|＞b|b|.‎ 再证“a|a|＞b|b|”⇒“a＞b”．若a，b≥0，则由a|a|＞b|b|，得a2＞b2，故a＞b；若a，b≤0，则由a|a|＞b|b|，得－a2＞－b2，即a2＜b2，故a＞b；若a≥0，b＜0，则a＞b.综上，“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件．‎ ‎【答案】 C ‎14．(2015·湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则(　　)‎ A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎【解析】 若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝a(1＋q2＋…＋q2n－4)·a(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aa(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎15．(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数，‎ 命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；‎ 命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，(　　)‎ A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 ‎【解析】 命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)＞card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)＞0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；‎ 命题②成立，由Venn图，‎ 知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，‎ d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，‎ d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，‎ ‎∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)‎ ‎＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]‎ ‎＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)‎ ‎＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]‎ ‎≥2card(B)＋2card(A∩C)－2[card((A∪C)∩B)＋card(A∩B∩C)]‎ ‎＝[2card(B)－2(card(A∪C)∩B)]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0，‎ ‎∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得证．‎ ‎【答案】 A ‎16．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【解析】 A＝＝{x|－1＜x＜3}，‎ ‎∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，‎ ‎∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.‎ ‎【答案】 (2，＋∞)‎ ‎17．设a，b为正数，则“a－b＞1”是“a2－b2＞1”的________条件．‎ ‎【解析】 ∵a－b＞1，即a＞b＋1.‎ 又∵a，b为正数，‎ ‎∴a2＞(b＋1)2＝b2＋1＋2b＞b2＋1，即a2－b2＞1成立，反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2＞1，但a－b＞1不成立．所以“a－b＞1”是“a2－b2＞1”的充分不必要条件．‎ ‎【答案】 充分不必要 ‎18．(2017·湖北枣阳3月模拟)设p：实数x满足x2－5ax＋4a2＜0(其中a＞0)，q：实数x满足2＜x≤5.‎ ‎(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)当a＝1时，若p为真，则可解得1＜x＜4，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜4.因p∧q为真，则p真且q真，又q为真时实数x的取值范围是2＜x≤5，所以实数x的取值范围是(2，4)．‎ ‎(2)綈q是綈p的必要不充分条件即p是q的必要不充分条件，‎ 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则BA，‎ 由x2－5ax＋4a2＜0，得(x－4a)(x－a)＜0，‎ ‎∵a＞0，∴A＝(a，4a)，‎ 又B＝(2，5]，则a≤2且4a＞5，‎ 解得＜a≤2.‎