2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系10 面面平行的性质习题 苏教版必修2 4页

面面平行的性质 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎*1. 若α∥β，且a⊂α，b⊂β，则直线a与b的位置关系是________。‎ ‎*2. 若α∥β，a⊂α，下列三个说法中正确的是________。‎ ‎①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β无公共点 ‎*3. 若平面α∥平面β，且α、β间的距离为d，则在平面β内，下列说法正确的是________（填序号）。‎ ‎①有且只有一条直线与平面α的距离为d ‎②所有直线与平面α的距离都等于d ‎③有无数条直线与平面α的距离等于d ‎④所有直线与平面α的距离都不等于d ‎**4.（大连高一检测）在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E、F，则四边形D1EBF的形状是________。‎ ‎**5. 如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则＝________。‎ ‎**6. 如图，平面α∥平面β，△ABC与△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′都交于点O，点O在α、β之间，若，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________。‎ ‎**7. 如图所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱AA1、CC1的中点，求证：四边形BED‎1F是平行四边形。‎ ‎**8. 如图所示，设AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间的线段，且直线AB、CD 4‎ 为异面直线，M、P分别为AB、CD的中点。求证：直线MP∥平面β。‎ ‎***9. 如图，平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AB与CD上，且。‎ 求证：EF∥平面β。‎ 4‎ ‎1. 平行或异面 解析：利用正方体模型可知a与b的位置关系可以平行，也可以异面。‎ ‎2. ②③ 解析：a与平面β内的直线可能平行，也可能异面，但与β无公共点，故选②③。‎ ‎3. ②③ 解析：由两平行平面间的距离可知，②③正确。‎ ‎4. 平行四边形 解析：如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，平面ABB‎1A1∥平面CDD‎1C1，过D1B的平面BED‎1F与平面ABB‎1A1交于直线BE，与平面CDD‎1C1交于直线D‎1F，由面面平行的性质定理，故BE∥D‎1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形。‎ ‎5. 解析：由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，‎ 由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，‎ 从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，＝＝。‎ ‎6. 解析：根据题意有，∵AA′、BB′相交，‎ ‎∴直线AA′、BB′确定一个平面ABA′B′，‎ ‎∵平面α∥平面β，‎ ‎∴AB∥A′B′，易得△ABO∽△A′B′O，①‎ ‎△ABC∽△A′B′C′，②‎ 由①得，由②得，‎ ‎∴。‎ ‎7. 证明：取D1D的中点G，连接EG、GC，‎ ‎∵E是A‎1A的中点，G是D1D的中点，∴EG∥AD，‎ 由正方体性质知AD∥BC，‎ ‎∴EG∥BC，‎ ‎∴四边形EGCB是平行四边形，∴EB∥GC.①‎ 又∵G、F分别是D1D、C‎1C的中点，∴D‎1G∥FC，‎ 4‎ ‎∴四边形D1GCF为平行四边形，∴D‎1F∥GC。②‎ 由①②得EB∥D‎1F。③ ‎ ‎∴E、B、F、D1四点共面，四边形BED‎1F是平面四边形，‎ 又∵平面ADD‎1A1∥平面BCC1B1，‎ 平面EBFD1∩平面ADD‎1A1＝ED1，‎ 平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，‎ ‎∴ED1∥BF。④‎ 由③④得，四边形BED‎1F是平行四边形。‎ ‎8. 证明：过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE、BE，‎ ‎∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，‎ 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE。‎ 由于α∥β，∴AC∥DE（面面平行的性质定理）‎ 取AE中点N，连接NP、MN，‎ ‎∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE。又NPβ，DEβ，MNβ，BEβ，‎ ‎∴NP∥β，MN∥β。又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β。‎ ‎∵MP平面MNP，∴MP∥β。‎ ‎9. 证明：（1）若直线AB和CD共面，∵α∥β，平面ABDC与α、β分别交于AC、BD两直线，‎ ‎∴AC∥BD。又∵，∴EF∥AC∥BD，∴EF∥平面β；‎ ‎（2）若AB与CD异面，连接BC并在BC上取一点G，使得，‎ 则在△BAC中，EG∥AC，AC平面α，∴EG∥α，‎ 又∵α∥β，∴EG∥β。同理可得：GF∥BD，而BDβ，∴GF∥β，‎ ‎∵EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β。又∵EF平面EGF，∴EF∥β。‎ 综合（1）（2）得EF∥β。‎ 4‎