2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2 5页

‎2.1 曲线与方程 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　)‎ A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称 解析：同时以－x替x，以－y替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．‎ 答案：C ‎2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　)‎ 解析：方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，‎ ‎∴x≤0，故选B.‎ 答案：B ‎3．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是(　　)‎ A．y＝2x2 B．y＝8x2‎ C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1‎ 解析：设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，‎ ‎∴2y＝8x2－1.‎ 答案：C ‎4．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4‎ C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2‎ 解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，‎ 5‎ 又∵|PA|＝1，‎ ‎∴|PM|＝＝.‎ 即|PM|2＝2，‎ ‎∴(x－1)2＋y2＝2.‎ 答案：D ‎5．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是(　　)‎ A．a＞1 B．0＜a＜1‎ C．0＜a＜1或a＞1 D．a∈∅‎ 解析：当0＜a≤1时，两曲线只有一个交点(如图(1))；‎ 当a＞1时，两曲线有两个交点(如图(2))．‎ 答案：A ‎6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．‎ 解析：对方程左边配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0.‎ ‎∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0，‎ ‎∴解得 从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．‎ 答案：一个点(2，－2)‎ ‎7．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹方程为________．‎ 解析：设圆心C(x，y)，‎ 由题意得 ＝y＋1(y>0)，‎ 化简得x2＝8y－8.‎ 答案：x2＝8y－8‎ ‎8．已知l1是过原点O且与向量a＝(2，－λ)垂直的直线，l2是过定点A(0,2)且与向量b＝平行的直线，则l1与l2的交点P的轨迹方程是________，轨迹是________．‎ 解析：∵kl1＝，∴l1：y＝x；‎ kl2＝－，l2：y＝－x＋2，‎ 5‎ ‎∴l1⊥l2，故交点在以原点(0,0)，A(0,2)为直径的圆上但与原点不重合，‎ ‎∴交点的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1(y≠0)．‎ 答案：x2＋(y－1)2＝1(y≠0)　以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)‎ ‎9．已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．‎ 解析：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知 ‎|OM|＝|AB|＝3.‎ 所以M的轨迹为以原点O为圆心，以3为半径的圆，故M点的轨迹方程为x2＋y2＝9.‎ ‎10．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．‎ 解析：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，‎ ‎∴＝(x，－2y)，‎ ‎∴·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，‎ 依题意知，x2－2y2＝4，‎ 因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)‎ A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0‎ B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0‎ C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0‎ D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0‎ 解析：由两点式，得直线AB的方程是 ＝，即4x－3y＋4＝0，‎ 线段AB的长度|AB|＝＝5.‎ 设C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，‎ 即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.‎ 答案：B ‎2．“点M在曲线y2＝4x上”是点M的坐标满足方程y＝－2的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5‎ 解析：点M在曲线y2＝4x上，其坐标不一定满足方程y＝－2，但当点M的坐标满足方程y＝－2时，则点M一定在曲线y2＝4x上，如点M(4，－4)．‎ 答案：B ‎3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝12，则点P的轨迹方程为________．‎ 解析：设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)．‎ 于是·＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，‎ 化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．‎ 答案：x2＋y2＝16‎ ‎4．直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，则弦AB的中点M的轨迹方程为________．‎ 解析：设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，‎ 所以x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，‎ 整理得2＋y2＝.‎ 因为点M应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．‎ 解方程组得两曲线交点的横坐标为x＝，故所求轨迹方程为2＋y2＝.‎ 答案：2＋y2＝ ‎5．已知等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个顶点是B(3,5)，求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？‎ 解析：设另一顶点C的坐标为(x，y)，依题意，得|AC|＝|AB|，‎ 由两点间距离公式，得 ＝.‎ 化简，得(x－4)2＋(y－2)2＝10.‎ 因为A，B，C为三角形的三个顶点，‎ 所以A，B，C三点不共线，‎ 即点B，C不能重合，且B， C不能为⊙A的一直径的两个端点．‎ ‎①因为B，C不重合，所以点C的坐标不能为(3,5)，‎ ‎②又因为点B不能为⊙A的一直径的两个端点，‎ 由＝4，得x＝5.‎ 5‎ 点C的坐标不能为(5，－1)．如图，故点C的轨迹方程为 ‎(x－4)2＋(y－2)2＝10‎ .‎ 点C的轨迹是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，除去点(3,5)，(5，－1)．‎ ‎6．已知直线y＝mx＋‎3m和曲线y＝有两个不同的交点，求实数m的取值范围．‎ 解析：直线y＝m(x＋3)过定点(－3,0)，曲线y＝即x2＋y2＝4(y≥0)表示半圆，由图可知m的取值范围是.‎ 5‎