高考数学专题复习练习：第二章 2_6对数的概念 14页

‎1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 ‎ a 叫做对数的底数， N 叫做真数．‎ ‎2．对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM (n∈R)．‎ ‎(2)对数的性质 ‎①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)．‎ ‎(3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．‎ ‎3．对数函数的图象与性质 y=logax a>1‎ ‎01时，y>0;‎ 当01时，y<0;‎ 当00‎ ‎(6)在(0，＋∞)上是增函数 ‎(7)在(0，＋∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．换底公式的两个重要结论 ‎(1)logab＝；‎ 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.‎ ‎2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故00，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)‎ ‎(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝log2x及都是对数函数．(　×　)‎ ‎(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)‎ ‎(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)‎ ‎(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　√　)‎ ‎1．(教材改编)(log29)·(log34)等于(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ 答案　D 解析　(log29)·(log34)＝2log23·2log32＝4.‎ ‎2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　)‎ 答案　B 解析　由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项B正确．‎ ‎3．已知则(　　)‎ A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b 答案　C 解析　‎ ‎∵log3>log33＝1且<3.4，‎ ‎∴log31，‎ ‎∴log43.6log3>log43.6.‎ 由于y＝5x为增函数，‎ 即故a>c>b.‎ ‎4．(2016·成都模拟)函数y＝的定义域为 ．‎ 答案　(，1]‎ 解析　由log0.5(4x－3)≥0且4x－3>0，得0且a≠1)，则实数a的取值范围是 ．‎ 答案　∪(1，＋∞)‎ 解析　当01时，loga1.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ 题型一　对数的运算 例1　(1)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝ .‎ ‎(2)计算：＝ .‎ 答案　(1)12　(2)1‎ 解析　(1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，‎ ‎∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.‎ ‎(2)原式 ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝＝1.‎ 思维升华　对数运算的一般思路 ‎(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．‎ ‎(2)‎ 合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．‎ ‎　(1)若a＝log43，则2a＋2－a＝ .‎ ‎(2)(2016·济南模拟)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝ .‎ 答案　(1)　(2)1‎ 解析　(1)∵a＝log43＝log223＝log23＝log2，‎ ‎＝＋＝.‎ ‎(2)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋ ‎＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2‎ ‎＝lg 2＋1－lg 2＝1.‎ 题型二　对数函数的图象及应用 例2　(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)‎ A．a>1，c>1 B．a>1,01 D．01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为(，1)．‎ 思维升华　(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．‎ ‎(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．‎ ‎　(1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)‎ ‎(2)(2016·新疆乌鲁木齐一诊)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a0 B．a＋b>1‎ C．2a＋b>0 D．2a＋b>1‎ 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.‎ ‎(2)作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，‎ 由f(a)＝f(b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0.0＝ab＋a＋b<＋a＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)>0，显然－10，‎ ‎∴a＋b＋4>0，∴a＋b>0，故选A.‎ 题型三　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数值的大小 例3　(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 答案　C 解析　由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，‎ 所以f(x)＝2|x|－1.‎ 所以 c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以cf(－a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1,0)∪(0,1)‎ B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ D．(－∞，－1)∪(0,1)‎ 答案　(1)(0，)∪(1，＋∞)　(2)C 解析　(1)当a>1时，函数y＝logax在定义域内为增函数，所以loga1或－10且a≠1，设t(x)＝3－ax，‎ 则t(x)＝3－ax为减函数，‎ x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，‎ 当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，‎ 即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．‎ ‎∴3－2a>0.∴a<.‎ 又a>0且a≠1，∴a的取值范围为(0,1)∪.‎ ‎(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．‎ ‎∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，‎ ‎∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，‎ ‎∴即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.‎ 思维升华　(1)对数值大小比较的主要方法 ‎①化同底数后利用函数的单调性；‎ ‎②化同真数后利用图象比较；‎ ‎③借用中间量(0或1等)进行估值比较．‎ ‎(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．‎ ‎　(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)‎ A．[－1,2] B．[0,2]‎ C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)‎ ‎(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　)‎ A．[1,2) B．[1,2]‎ C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)‎ 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，‎ 所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，‎ 解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.‎ ‎(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即 解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A.‎ ‎3．比较指数式、对数式的大小 考点分析　比较大小问题是每年高考必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.‎ 典例　(1)(2016·全国乙卷)若a>b>0,0cb ‎(2)(2016·河南八市质检)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则(　　)‎ A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>a>b ‎(3)若实数a，b，c满足loga2b>0，所以lg a>lg b，‎ 但不能确定lg a、lg b的正负，‎ 所以它们的大小不能确定，所以A错；‎ 对B：logca＝，logcb＝，‎ 而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以B正确；‎ 对C：由y＝xc在第一象限内是增函数，‎ 即可得到ac>bc，所以C错；‎ 对D：由y＝cx在R上为减函数，‎ 得ca20＝1,0＝logπ1b>c，故选C.‎ ‎(3)由loga20，解得x>2且x≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.‎ ‎2．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)‎ A．b2.‎ ‎∵c＝0.83.1，∴00，a≠1)在区间(， ＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．(1，＋∞) D．(，＋∞)‎ 答案　A 解析　令M＝x2＋x，当x∈(，＋∞)时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，‎ 又M＝(x＋)2－，因此M的单调递增区间为(－，＋∞)．‎ 又x2＋x>0，所以x>0或x<－，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．‎ ‎7．(2015·安徽)lg＋2lg 2－－1＝ .‎ 答案　－1‎ 解析　lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2‎ ‎＝lg －2＝1－2＝－1.‎ ‎8．函数的最小值为 ．‎ 答案　－ 解析　＝log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．‎ 设t＝log2x(t∈R)，则原函数可以化为 y＝t(t＋1)＝(t＋)2－(t∈R)，‎ 故该函数的最小值为－，‎ 故f(x)的最小值为－.‎ ‎9．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是 ．‎ 答案　(，1)‎ 解析　当00，即0<－a<1，‎ 解得1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，‎ 所以loga(1－a)>0，即1－a>1，‎ 解得a<0，此时无解．‎ 综上所述，实数a的取值范围是(，1)．‎ ‎*10.(2016·南昌模拟)关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题：‎ ‎①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；‎ ‎②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；‎ ‎③函数f(x)的最小值为lg 2；‎ ‎④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．‎ 其中是真命题的序号为 ．‎ 答案　①③④‎ 解析　∵函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，‎ 即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；‎ 当x>0时，f(x)＝lg ＝lg ＝lg(x＋)，令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即在x＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.‎ ‎11．已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．‎ 解　(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，‎ 因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，‎ 故函数h(x)的值域为[0,2]．‎ ‎(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，‎ 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，‎ 令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，‎ 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，‎ ‎①当t＝0时，k∈R；‎ ‎②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，‎ 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，‎ 所以4t＋－15的最小值为－3.‎ 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．‎ ‎*13.(2017·厦门月考)已知函数f(x)＝ln .‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln >ln 恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)由>0，解得x<－1或x>1，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，‎ 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，‎ f(－x)＝ln ＝ln ‎＝ln()－1＝－ln ＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)＝ln 是奇函数．‎ ‎(2)由于x∈[2,6]时，f(x)＝ln >ln 恒成立，‎ ‎∴>>0，‎ ‎∵x∈[2,6]，∴0