高考数学专题复习练习第五章 第三节 等比数列及其 前n项目和 课下练兵场 5页

第五章 第三节 等比数列及其前n项目和 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 等比数列的判定 ‎11‎ 等比数列的基本运算 ‎2、7‎ ‎8、9、12‎ ‎10‎ 等比数列的性质 ‎1、3‎ ‎4、5、6‎ 一、选择题 ‎1.等比数列{an}的公比为q，则“q＞‎1”‎是“对于任意正整数n，都有an＋1＞an”的(　　)‎ A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.‎ 答案：D ‎2.(2010·宁波模拟)已知数列{an}是首项为a1的等比数列，则能保证‎4a1，a5，－‎2a3成等差数列的公比q的个数为 (　　)‎ A.0　　　　　　　　B‎.1 C.2 D.3‎ 解析：∵‎4a1，a5，－‎2a3成等差数列，‎ ‎∴‎2a5＝‎4a1＋(－‎2a3).‎ 设数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a3＝a1q2，‎ ‎∴‎2a1q4＝‎4a1－‎2a1q2.∵a1≠0，∴q4＋q2－2＝0，‎ ‎∴q2＝1或q2＝－2(舍去)，∴q＝1或q＝－1.‎ 答案：C ‎3.(2009·广东高考)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log‎2a1＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝ (　　)‎ A.n(2n－1) B.(n＋1)‎2 C.n2 D.(n－1)2‎ 解析：由题知an＝2n，log‎2a2n－1＝2n－1，‎ log‎2a1＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.‎ 答案：C ‎4.(2010·衡阳模拟)等比数列{an}中，a1＝317，q＝－.记f(n)＝a1·a2·…·an，则当f(n)最大时，n的值为 (　　)‎ A.7 B‎.8 C.9 D.10‎ 解析：由于an＝317×(－)n－1，‎ 易知a9＝317×＞1，a10＜0,0＜a11＜1，又a‎1a2…a9＞0，故f(9)＝a‎1a2…a9值最大，此时n＝9.‎ 答案：C ‎5.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)‎ A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 解析：设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4.所以两式相乘，得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，aq＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.‎ 答案：B ‎6.已知数列{an}共有m项，定义{an}的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2)，第三项及以后所有项和为S(3)，…，第n项及以后所有项和为S(n).若S(n)是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，则当n＜m时，an等于 (　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析：∵n＜m，∴m≥n＋1.又S(n)＝＝4－，‎ ‎∴S(n＋1)＝4－，‎ 故an＝S(n)－S(n＋1)＝－＝－.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7.等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则数列{an}的通项公式为　　　　.‎ 解析：由a4＝a1q3，a6＝a3q3得 ＝q3＝×＝，‎ ‎∴q＝，又a1(1＋q2)＝10，‎ ‎∴a1＝8.∴an＝a1qn－1＝8×()n－1＝24－n.‎ 答案：an＝24－n ‎8.等比数列{an}的公比q＞0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝　　　　.‎ 解析：∵{an}是等比数列，∴an＋2＋an＋1＝6an可化为 a1qn＋1＋a1qn＝‎6a1qn－1，∴q2＋q－6＝0.‎ ‎∵q＞0，∴q＝2.a2＝a1q＝1，∴a1＝.‎ ‎∴S4＝＝＝.‎ 答案： ‎9.在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为　　　　.‎ 解析：如图：‎ ‎∴a＝，2b＝＋，∴b＝，‎ 又3·c＝()2，∴c＝，‎ ‎∴a＋b＋c＝＋＋＝1.‎ 答案：1‎ 三、解答题 ‎10.(2009·浙江高考)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数.‎ ‎(1)求a1及an；‎ ‎(2)若对于任意的m∈N*，am，a‎2m，a‎4m成等比数列，求k的值.‎ 解：(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，‎ an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2).‎ a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.‎ ‎(2)由am，a‎2m，a‎4m成等比数列，得 ‎(4mk－k＋1)2＝(‎2km－k＋1)(‎8km－k＋1)，‎ 将上式化简，得‎2km(k－1)＝0，‎ 因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0，或k＝1.‎ ‎11. 已知数列{an}中，a1＝－1，且(n＋1)an，(n＋2)an＋1，n成等差数列.‎ ‎(1)设bn＝(n＋1)an－n＋2，求证：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解：(1)证明：由已知得(n＋2)an＋1＝(n＋1)an＋，‎ ‎∵b1＝‎2a1－1＋2＝－1，‎ ‎∴＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎∴数列{bn}是等比数列.‎ ‎(2)由(1)得bn＝－()n－1，即(n＋1)an－n＋2‎ ‎＝－()n－1.‎ ‎∴an＝－()n－1＋.‎ ‎12.在数列{an}中，a1＝a，且an＋1＝2Sn－2n－n2(n∈N*).‎ ‎(1)若a1，a2，a3－5成等比数列，求a的值；‎ ‎(2)求通项公式an.‎ 解：(1)a1＝a，a2＝2S1－21－12＝‎2a－3，‎ a3－5＝2(a1＋a2)－22－22－5＝‎6a－19，‎ ‎∵a1，a2，a3－5成等比数列，‎ ‎∴(‎2a－3)2＝a(‎6a－19)，解得a＝－1或a＝.‎ ‎(2)∵an＋1＝2Sn－2n－n2(n∈N*)， ①‎ ‎∴an＝2Sn－1－2n－1－(n－1)2(n≥2，n∈N*)， ②‎ ‎∴当n≥2时，①－②得 an＋1－an＝2an－2n－1－2n＋1，‎ 即an＋1＝3an－2n－1－2n＋1.‎ 设an＋1＋p2n＋1＋q(n＋1)＝3(an＋p2n＋qn)，‎ 由－4p＋6p＝－1，得p＝－，‎ 由3qn－q(n＋1)＝－2n＋1，得q＝－1.‎ 故n≥2时，数列{an－2n－1－n}是以3为公比的等比数列.‎ ‎∴‎