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- 2021-06-22 发布
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课时分层作业(二十四) 几类不同增长的函数模型
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.当a>1时,有下列结论:
①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;
②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;
③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;
④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.
其中正确的结论是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
B [结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确.故选B.]
2.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
B [在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.]
3.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A.y=0.2x B.y=(x2+2x)
C.y= D.y=0.2+log16x
C [用排除法,当x=1时,排除B项;当x=2时,排除D项;当x=3时,排除A项.]
4.在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表.
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-1.01
0.01
0.98
2.00
则x,y最合适的函数是( )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
D [根据x=0.50,y=-1.01,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B、C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.]
5.四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
- 4 -
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
D [显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x,故选D.]
二、填空题
6.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________ .
y=x2 [当x变大时,x比ln x增长要快,
∴x2要比xln x增长的要快.]
7.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v=2 000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.
e6-1 [当v=12 000时,2 000×ln=12 000,
∴ln=6,∴=e6-1.]
8.某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍,且知这种病菌的繁殖规律为y=ekt(k为常数,t为时间,单位:小时),y表示病菌个数,则k=________;经过5小时,1个病菌能繁殖为________个.
2ln 2 1 024 [设病菌原来有1个,则半小时后为2个,得2=e,解得k=2ln 2,y(5)=e(2ln 2)·5=e10ln 2=210=1 024(个).]
三、解答题
9.函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=x的图象如图324所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
图324
[解] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.
由题图知,
当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);
当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);
当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);
- 4 -
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
10.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个符合?并预测第8年的松树高度.
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
[解] 据表中数据作出散点图如图:
由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.
将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.即h=log3(t+1).
当t=8时,h=log3(8+1)=2,
故可预测第8年松树的高度为2米.
[冲A挑战练]
1.函数y=2x-x2的图象大致是( )
A B C D
A [分别画出y=2x,y=x2的图象,由图象可知(图略),有3个交点,∴函数y=2x-x2的图象与x轴有3个交点,故排除B,C;当x<-1时,y<0,故排除D,故选A.]
2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为( )
A B C D
D [设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象,故选D.]
3.若已知16log2x [作出f(x)=x和g(x)=log2x的图象,如图所示:
- 4 -
由图象可知,在(0,4)内,x>log2x;
x=4或x=16时,x=log2x;
在(4,16)内xlog2x.]
4.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·(0.5)x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为________万件.
1.75 [∵y=a·(0.5)x+b,且当x=1时,y=1,当x=2时,y=1.5,则有解得
∴y=-2×(0.5)x+2.
当x=3时,y=-2×0.125+2=1.75(万件).]
5.某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且资金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?
[解] 借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求.
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