2020年高中数学第二章平面向量2 6页

‎2.1 平面向量的实际背景及基本概念 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．下列各量中是向量的是(　　)‎ A．密度　　　　　　　　 B．电流 C．面积 D．浮力 解析：只有浮力既有大小又有方向．‎ 答案：D ‎2．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　)‎ A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 解析：若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向或长度至少有一个不同，所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故A，B，C都错误，但a与b一定不都是零向量．‎ 答案：D ‎3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)‎ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 解析：由＝知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．‎ 答案：C ‎4．设O为坐标原点，且||＝1，则动点M的集合是(　　)‎ A．一条线段 B．一个圆面 C．一个圆 D．一个圆弧 解析：动点M到原点O的距离等于定长1，故动点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．‎ 答案：C ‎5．如图，D，E，F分别是△ABC边AB，BC，CA 上的中点，有下列4个结论：‎ ‎①＝，＝；‎ ‎②∥；③||＝||；‎ ‎④＝.‎ 6‎ 其中正确的为(　　)‎ A．①②④ B．①②③‎ C．②③ D．①④‎ 解析：因为D，E，F分别为△ABC边AB，BC，CA的中点，所以EF綊AB＝AD，AF綊DE，DF∥CB，DE綊CF，故①②③正确．‎ 答案：B ‎6.设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确的序号为________．‎ 解析：正方形的对角线互相平分，则＝，①正确；与的方向相同，所以∥，②正确；与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．‎ 答案：①②③‎ ‎7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.‎ 解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．‎ 又m与，都共线，‎ ‎∴m＝0.‎ 答案：0‎ ‎8．给出下列命题：‎ ‎①||＝||；‎ ‎②若a与b方向相反，则a∥b；‎ ‎③若、是共线向量，则A、B、C、D四点共线；‎ ‎④有向线段是向量，向量就是有向线段；‎ 其中所有真命题的序号是________．‎ 解析：共线向量指方向相同或相反的向量，向量、是共线向量，也可能有AB∥CD，故③是假命题，向量可以用有向线段表示，不能说“有向线段是向量，向量就是有向线段”，比如0不能用有向线段表示，另外，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故④是假命题．‎ 6‎ 答案：①②‎ ‎9．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，‎ 在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：‎ ‎(1)与相等的向量共有几个？‎ ‎(2)与方向相同且模为3的向量共有几个？‎ 解析：(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．如图1.‎ ‎(2)与向量方向相同且模为3的向量共有2个，如图2.‎ ‎10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．‎ ‎(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，‎ 与y轴正方向的夹角为30°；‎ ‎(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，‎ 与y轴正方向的夹角为120°；‎ ‎(3)|a|＝4，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.‎ 解析：如图所示：‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是(　　)‎ A．与相等的向量只有一个(不含)‎ B．与的模相等的向量有9个(不含)‎ C.的模恰为模的倍 D.与不共线 解析：两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中 6‎ ，所在直线平行，向量方向相同，故共线．‎ 答案：D ‎2．下列说法中：‎ ‎(1)若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反．‎ ‎(2)若向量是单位向量，则向量也是单位向量．‎ ‎(3)两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．‎ 其中正确的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故(1)不正确；因为||＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量，故(2)正确；据相等向量的概念知，(3)是正确的．‎ 答案：C ‎3．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________．‎ 解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.‎ 答案：①③④‎ ‎4．给出下列命题：‎ ‎①向量和向量长度相等；‎ ‎②方向不同的两个向量一定不平行；‎ ‎③向量是有向线段；‎ ‎④向量00；‎ ‎⑤向量大于向量；‎ ‎⑥若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；‎ ‎⑦一个向量方向不定当且仅当模为0；‎ ‎⑧共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．‎ 其中正确的是________(只填序号)．‎ 6‎ 解析：利用零向量、单位向量与平行向量的概念逐一判断即可．①正确．②不正确．因为平行向量包括方向相同和相反两种情况．③不正确．向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来．④不正确.0是一个向量，而0是一个数量．⑤不正确．向量不能比较大小，这是向量与数量的本质区别．⑥不正确．共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两向量在同一直线上．⑦正确．零向量的模为零且方向不定．⑧不正确．共线的向量，若起点不同，终点也可以相同．故填①⑦.‎ 答案：①⑦‎ ‎5．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.‎ 证明：因为＝，‎ 所以||＝||且AB∥DC，‎ 所以四边形ABCD是平行四边形，‎ 所以||＝||且DA∥CB，‎ 又因为与的方向相同，‎ 所以＝.‎ 同理可证，四边形CNAM是平行四边形，‎ 所以＝.‎ 因为||＝||，||＝||，‎ 所以||＝||，‎ 又与的方向相同，‎ 所以＝.‎ ‎6．“马走日”是中国象棋中的一个规则，即“马”在走动时必须走一个“日”字形的路径．如图是中国象棋棋盘的一部分，如果有一“马”在A处，可以跳到E处，也可以跳到F处，分别用向量、表示“马”走了一步．‎ 6‎ ‎(1)试标出“马”在点B、C、D处走了一步的所有情况；‎ ‎(2)“马”在D处是否能跳到相邻的B点，试在图中标出，并说明“马”能否从棋盘任一交叉点出发走到棋盘的任何一交叉点处？‎ 解析：(1)如图，在点A处的“马”只能有2条路线；点B处的“马”有4条路线：、、、；点C处的“马”有8条路线：、、、、、、、；点D处的“马”有3条路线：、、，因此在中国象棋中“马”有八面威风之说，那么通过作图我们可以知道，当“马”在棋盘上的一个角时，它行走的路线只有两种走法；若记棋盘的一个格子边长为1，当“马”在边线上且距最近的边线为1时，“马”有三种走法；当“马”不在边线上且距最近的边线长为1时，“马”有四种或六种走法；当“马”不在边线上，且距最近的边线长不小于2时；“马”有八种走法，这时的“马”的威力最大，才八面威风．‎ ‎(2)事实上，“马”由点D到点B处，只需沿向量，，走三步即可(请同学们自己标出)．也就是说“马”能从一个交叉点出发，然后回到该交叉点的相邻点．‎ 由递推关系可得，“马”能从任一交叉点出发，然后又能走到棋盘的任一交叉点．所谓“活用马者，象棋高手也”，道理即是如此．‎ 6‎