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  • 2021-06-22 发布

2020高中数学 第1章 解三角形 正弦定理、余弦定理的应用

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正弦定理、余弦定理的应用 ‎(答题时间:40分钟)‎ ‎1. 三角形的三边长为连续自然数,且最大角是钝角,那么这个三角形的最小边为 。‎ ‎ 2. (广东高考)在中,角所对应的边分别为,已知,则 。‎ ‎ 3. 已知△ABC中,3(+)·=42,则= 。‎ ‎4. 在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状。‎ ‎ 5. 在△ABC中,a2+c2=2b2,其中a,b,c分别为角A,B,C所对的边长。‎ ‎(1)求证:B≤;(2)若,且A为钝角,求A。‎ ‎6. (北京高考)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A。‎ ‎(I)求cosA的值; (II)求c的值。‎ ‎7. 有两个高度都为b米的两个测角仪AB和CD,水平距离为a米,测得气球E在它们的正西方向的上空仰角分别是是α和β,试用表示出气球的高度。‎ 3‎ ‎1. 解:设三边分别为,由题意得 ‎,‎ 解得,又,故x=3,最小边为2。‎ ‎ 2. 解:由正弦定理得。‎ ‎ 3. 解:由已知得:,即。‎ ‎—7。‎ ‎4. 方法一:∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)‎ ‎⇔a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],‎ ‎∴‎2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,‎ 由正弦定理,得:sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,‎ ‎∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0,‎ ‎∴sin ‎2A=sin 2B,由0<‎2A<2π,0<2B<2π,‎ 得‎2A=2B或‎2A=π-2B,‎ 即△ABC是等腰三角形或直角三角形。‎ 方法二:同方法一可得‎2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,‎ 由正、余弦定理,即得 a2b×=b‎2a× ,‎ ‎∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),‎ 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,‎ ‎∴三角形为等腰三角形或直角三角形。‎ ‎ 5. (1)证明:由余弦定理,得,因,,‎ 由0<B<π,得,命题得证。‎ ‎(2)由正弦定理,得,因,故=1,‎ 于是,‎ 因为A为钝角,所以。‎ 所以(,不符合条件,舍去),得。‎ ‎6. 解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得,所以,故。‎ 3‎ ‎ (II)由(I)知,所以,又因为∠B=2∠A,所以,所以, 在△ABC中,, 所以。‎ ‎7. 解:过点A作,垂足为G,则A、C、G三点共线。‎ ‎ 在中,,同理,‎ ‎ 故,解得 ‎ 故气球的高度。‎ 3‎