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- 2021-06-22 发布
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正弦定理、余弦定理的应用
(答题时间:40分钟)
1. 三角形的三边长为连续自然数,且最大角是钝角,那么这个三角形的最小边为 。
2. (广东高考)在中,角所对应的边分别为,已知,则 。
3. 已知△ABC中,3(+)·=42,则= 。
4. 在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状。
5. 在△ABC中,a2+c2=2b2,其中a,b,c分别为角A,B,C所对的边长。
(1)求证:B≤;(2)若,且A为钝角,求A。
6. (北京高考)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A。
(I)求cosA的值; (II)求c的值。
7. 有两个高度都为b米的两个测角仪AB和CD,水平距离为a米,测得气球E在它们的正西方向的上空仰角分别是是α和β,试用表示出气球的高度。
3
1. 解:设三边分别为,由题意得
,
解得,又,故x=3,最小边为2。
2. 解:由正弦定理得。
3. 解:由已知得:,即。
—7。
4. 方法一:∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)
⇔a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],
∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,
由正弦定理,得:sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,
∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0,
∴sin 2A=sin 2B,由0<2A<2π,0<2B<2π,
得2A=2B或2A=π-2B,
即△ABC是等腰三角形或直角三角形。
方法二:同方法一可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,
由正、余弦定理,即得
a2b×=b2a× ,
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,
∴三角形为等腰三角形或直角三角形。
5. (1)证明:由余弦定理,得,因,,
由0<B<π,得,命题得证。
(2)由正弦定理,得,因,故=1,
于是,
因为A为钝角,所以。
所以(,不符合条件,舍去),得。
6. 解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得,所以,故。
3
(II)由(I)知,所以,又因为∠B=2∠A,所以,所以,
在△ABC中,,
所以。
7. 解:过点A作,垂足为G,则A、C、G三点共线。
在中,,同理,
故,解得
故气球的高度。
3
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