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- 2021-06-22 发布
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1.1.1 正弦定理
1.掌握正弦定理及基本应用.(重点)
2.会判断三角形的形状.(难点)
3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1 正弦定理
阅读教材P3~P4例1以上内容,完成下列问题.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于钝角三角形.( )
(2)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立.( )
(3)在△ABC中,若sin A=sin B,则三角形是等腰三角形.( )
【解析】 (1)×.正弦定理适用于任意三角形.
(2)√.由正弦定理知=,即bsin A=asin B.
(3)√.由正弦定理可知=,即a=b,所以三角形为等腰三角形.
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
教材整理2 解三角形
阅读教材P4例1~P5例2,完成下列问题.
1.一般地,我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.
7
2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=________.
【解析】 由正弦定理得:=,
所以AC==2.
【答案】 2
2.在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,则∠C=________.
【解析】 由正弦定理得:=,
所以sin B=.
又a>b,所以∠A>∠B,
所以∠B=,
所以∠C=π-=.
【答案】
3.在△ABC中,∠A=45°,c=2,则AC边上的高等于________.
【解析】 AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=.
【答案】
[小组合作型]
已知两角及一边解三角形
(1)在△ABC中,c=,∠A=75°,∠B=60°,则b等于( )
A. B.
C. D.
(2)在△ABC中,已知BC=12,∠A=60°,∠B=45°,则AC=________.
【导学号:18082000】
【精彩点拨】 (1)可先由角A、B求出角C,然后利用正弦定理求b;
7
(2)直接利用正弦定理求解.
【自主解答】 (1)因为∠A=75°,∠B=60°,所以∠C=180°-75°-60°=45°.
因为c=,根据正弦定理得=,
所以b===.
(2)由正弦定理知:=,
则=,
解得AC=4.
【答案】 (1)A (2)4
解决已知两角及一边类型的三角形解题方法:
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边
[再练一题]
1.在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=________.
【解析】 ∠C=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得=,即=,解得AC=2.
【答案】 2
已知两边及一边的对角解三角形
(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知∠A=60°,a=4,b=4,则∠B=________.
(2)在△ABC中,已知a=2,b=6,∠A=30°,求∠B,∠C和c.
【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点,直接求解.注意三角形解的个数问题.
(2)先利用正弦定理求角B,再利用内角和定理求解,由正弦定理求边c.
【自主解答】 (1)由正弦定理,得=.把∠A=60°,a=4,b=4
7
,代入,解得sin B=,∴B=45°或135°,∵b<a,∴∠B<∠A,又∵∠A=60°,∴0°<∠B<60°,∴∠B=45°.
【答案】 45°
(2)由正弦定理得sin B===,又a=2,b=6,aa,∴∠C >∠A,∴∠A=,
∴∠B=,b===+1.
[探究共研型]
正弦定理的主要功能
探究1 已知△ABC的外接圆O的直径长为2R,试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理.
7
【提示】 如图,连接BO并延长交圆O于点D,连接CD,则∠BCD=90°,
∠BAC=∠BDC,在Rt△BCD中,BC=BD·sin∠BDC,所以a=2Rsin A,
即=2R,同理=2R,=2R,
所以===2R.
探究2 根据正弦定理的特点,我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题?
【提示】 利用正弦定理,可以解决:(1)已知两边和其中一边的对角解三角形;
(2)已知两角和其中一角的对边解三角形.
探究3 由==可以得到a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形?
【提示】 (1)=,=,=.
(2)=,=,=.
(3)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.
在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
【精彩点拨】 解决本题的关键是利用sin A=,sin B=,sin C=把sin2A=sin2B+sin2C转化为三角形三边的关系,从而判定出角A,然后再利用sin A=2sin Bcos C求解.
【自主解答】 法一:根据正弦定理,得==,
∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,
∴∠A是直角,∠B+∠C=90°,
∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1,
∴sin B=.
∵0°<∠B<90°,∴∠B=45°,∠C=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二:根据正弦定理,
得==,
∵sin2A=sin2B+sin2C,
7
∴a2=b2+c2,∴∠A是直角.
∵∠A=180°-(∠B+∠C),sin A=2sin Bcos C,
∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,
∴sin(B-C)=0.
又-90°<∠B-∠C<90°,
∴∠B-∠C=0,∴∠B=∠C,
∴△ABC是等腰直角三角形.
1.判断三角形的形状应看该三角形是否为某些特殊的三角形,如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.
2.已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可以考虑用正弦定理化边为角,再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系,或者化角为边,通过代数恒等变换找出三边之间的关系,再给出判断.
[再练一题]
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=acos C,试判断△ABC的形状.
【解】 ∵b=acos C,
由正弦定理,得
sin B=sin Acos C. (*)
∵∠B=π-(∠A+∠C),
∴sin B=sin(A+C),从而(*)式变为
sin(A+C)=sin Acos C,
∴cos Asin C=0.
又∵∠A,∠C∈(0,π),
∴cos A=0,∠A=,
即△ABC是直角三角形.
1.在△ABC中,若sin A>sin B,则∠A与∠B的大小关系为( )
A.∠A>∠B B.∠A<∠B
C.∠A≥∠B D.∠A,∠B的大小关系不能确定
【解析】 因为=,
7
所以=.
因为在△ABC中,sin A>0,sin B>0,sin A>sin B,
所以=>1,所以a>b,
由a>b知∠A>∠B.
【答案】 A
2.在△ABC中,若c=2acos B,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.不等边三角形
【解析】 由正弦定理知c=2Rsin C,a=2Rsin A,
故sin C=2sin Acos B=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Acos B=cos Asin B,
即sin(A-B)=0,所以∠A=∠B.
故△ABC为等腰三角形.
【答案】 B
3.在△ABC中,AB=,∠A=45°,∠B=60°,则BC=_____.
【导学号:18082002】
【解析】 利用正弦定理=,
而∠C=180°-(∠A+∠B)=75°,
故BC===3-.
【答案】 3-
4.在△ABC中,a=15,b=10,∠A=60°,则cos B=________.
【解析】 由正弦定理=,得=,
∴sin B=,∵b
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