2020高中数学 章末综合测评2 随机变量及其分布 新人教A版选修2-3 9页

章末综合测评(二)　随机变量及其分布 ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列说法不正确的是(　　)‎ A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量 B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0‎ C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值 D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布 C　[公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.]‎ ‎2．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　) ‎ ‎【导学号：95032222】‎ A．np(1－p)　　　　 B．np C．n D．p(1－p)‎ B　[依题意知，用电单位X～B(n，p)，所以E(X)＝np.]‎ ‎3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m，k＝1,2,3，则m的值为(　　)‎ A. B. C. D. B　[P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.]‎ ‎4．已知ξ的分布列为 ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则ξ的均值为(　　)‎ A．0 B．－1‎ C． D． D　[E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＋2×＝.]‎ 9‎ ‎5．一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为(　　) ‎ ‎【导学号：95032223】‎ A. B. C. D．1‎ B　[P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝.]‎ ‎6．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　)‎ A．10 B．100‎ C． D. C　[由正态分布密度曲线上的最高点知＝，即σ＝，‎ ‎∴D(X)＝σ2＝.]‎ ‎7．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(3η＋6)等于(　　)‎ ‎ 【导学号：95032224】‎ A．30 B．16‎ C．36 D．10‎ C　[因为ξ～B，所以E(ξ)＝.又E(ξ)＝15，则n＝30，所以η～B.故E(η)＝30×＝10.‎ ‎∴E(3η＋6)＝3E(η)＋6＝36]‎ ‎8．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于(　　)‎ ‎(注：P(μ－2σ80)＝(1－0.954 5)≈0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．‎ 所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．]‎ ‎16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．‎ ‎①P(B)＝；‎ ‎②P(B|A1)＝；‎ ‎③事件B与事件A1相互独立；‎ ‎④A1，A2，A3是两两互斥的事件；‎ ‎⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关. ‎ ‎【导学号：95032228】‎ ‎②④　[从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1，A2，A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1，A2，A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，则P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.]‎ 9‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)甲、乙两名跳高运动员一次试跳‎2米高度成功的概率分别是0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：‎ ‎(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；‎ ‎(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．‎ ‎[解]　记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi(i＝1,2,3)相互独立．‎ ‎(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，则P( A3)＝P()P()P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.‎ ‎(2)设“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.‎ 法一　(直接法)因为C＝A1＋B1＋A1B1，且A1，B1，A1B1彼此互斥，‎ 所以P(C)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.‎ 法二　(间接法)P(C)＝1－P()P()＝1－0.3×0.4＝0.88.‎ 所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.‎ ‎18．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较. ‎ ‎【导学号：95032229】‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎[解]　工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，‎ D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.‎ 工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为 E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，‎ D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.‎ 由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y 9‎ ‎)，可见乙的技术比较稳定．‎ ‎19．(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；‎ ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．‎ ‎[解]　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的可能取值为200,300,400.‎ P(X＝200)＝＝，‎ P(X＝300)＝＝，‎ P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.‎ 故X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P ‎20.(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．‎ ‎(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；‎ ‎(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．‎ ‎(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)‎ ‎[解]　(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为 P＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能值为1,2,3，且 P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝.‎ 9‎ 故X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎21．(本小题满分12分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：‎ ‎(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；‎ ‎(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；‎ ‎(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. ‎ ‎【导学号：95032230】‎ ‎[解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.‎ ‎(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，‎ 根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.‎ ‎(2)因为n(AB)＝A＝12，于是P(AB)＝＝＝.‎ ‎(3)法一(公式法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝＝＝.‎ 法二：(直接法)因为n(AB)＝12，n(A)＝20，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎22．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．‎ ‎(1)求该海产品不能销售的概率；‎ ‎(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E(ξ).‎ 9‎ ‎ 【导学号：95032231】‎ ‎[解]　(1)设“该海产品不能销售”为事件A，‎ 则P(A)＝1－×＝.‎ 所以，该海产品不能销售的概率为.‎ ‎(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160.‎ P(ξ＝－320)＝＝，‎ P(ξ＝－200)＝C××＝，‎ P(ξ＝－80)＝C××＝，‎ P(ξ＝40)＝C××＝，‎ P(ξ＝160)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎－320‎ ‎－200‎ ‎－80‎ ‎40‎ ‎160‎ P E(ξ)＝－320×－200×－80×＋40×＋160×＝40.‎ 9‎