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- 2021-06-22 发布
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第二章 2.2 第 2 课时
一、选择题
1.等差数列{an}中,a6+a9=16,a4=1,则 a11=( )
A.64 B.30
C.31 D.15
[答案] D
[解析] 解法一:∵ a6+a9=16
a4=1
,∴ 2a1+13d=16
a1+3d=1
,
∴ a1=-5
d=2
,∴a11=a1+10d=15.
解法二:∵6+9=4+11,
∴a4+a11=a6+a9=16,∴a11=15.
2.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( )
A.14 B.21
C.28 D.35
[答案] C
[解析] ∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4.
又 a1+a2+…+a7=7a4=28.
3.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
[答案] D
[解析] 由题设 a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,
∴a51=0.
4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( )
A.-1 B.1
C.3 D.7
[答案] B
[解析] ∵{an}是等差数列,
∴a1+a3+a5=3a3=105,∴a3=35,
a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33,
∴d=a4-a3=-2,
a20=a4+16d=33-32=1.
5.在 a 和 b 之间插入 n 个数构成一个等差数列,则其公差为( )
A.b-a
n
B.a-b
n+1
C.b-a
n+1
D.b-a
n-1
[答案] C
[解析] ∵a1=a,an+2=b,
∴公差 d= an+2-a1
n+2-1
=b-a
n+1
.
6.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13 等
于( )
A.120 B.105
C.90 D.75
[答案] B
[解析] ∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5,
又∵a1a2a3=80,∴a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16,
∵d>0,∴d=3.
则 a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105.
二、填空题
7.等差数列{an}中,已知 a2+a3+a10+a11=36,则 a5+a8=__________.
[答案] 18
[分析] 利用等差数列的性质求解,或整体考虑问题,求出 2a1+11d 的值.
[解析] 解法 1:根据题意,有
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=36,
∴4a1+22d=36,则 2a1+11d=18.
∴a5+a8=(a1+4d)+(a1+7d)=2a1+11d=18.
解法 2:根据等差数列性质,可得
a5+a8=a3+a10=a2+a11=36÷2=18.
8.已知等差数列{an}中,a3、a15 是方程 x2-6x-1=0 的两根,则 a7+a8+a9+a10+a11=
__________.
[答案] 15
[解析] ∵a3+a15=6,又 a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15,∴a7+a8+a9+a10+a11=(2+
1
2)(a3+a15)=5
2
×6=15.
三、解答题
9.已知等差数列{an}的公差 d>0,且 a3a7=-12,a4+a6=-4,求{an}的通项公式.
[解析] 由等差数列的性质,得
a3+a7=a4+a6=-4,
又∵a3a7=-12,
∴a3、a7 是方程 x2+4x-12=0 的两根.
又∵d>0,∴a3=-6,a7=2.
∴a7-a3=4d=8,∴d=2.
∴an=a3+(n-3)d=-6+2(n-3)=2n-12.
10.四个数成等差数列,其平方和为 94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个
数的积少 18,求此四个数.
[解析] 设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,据题意得,
(a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94
⇒2a2+10d2=47.①
又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18⇒8d2=18⇒d=±3
2
代入①得 a=±7
2
,故所求四数为
8,5,2,-1 或 1,-2,-5,-8 或-1,2,5,8 或-8,-5,-2,1.
一、选择题
1.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn}
的第 37 项为( )
A.0 B.37
C.100 D.-37
[答案] C
[解析] ∵数列{an},{bn}都是等差数列,
∴{an+bn}也是等差数列.
又∵a1+b1=100,a2+b2=100,
∴{an+bn}的公差为 0,
∴数列{an+bn}的第 37 项为 100.
2.数列{an}中,a2=2,a6=0 且数列{ 1
an+1}是等差数列,则 a4 等于( )
A.1
2 B.1
3
C.1
4 D.1
6
[答案] A
[解析] 令 bn= 1
an+1
,则 b2= 1
a2+1
=1
3
,b6= 1
a6+1
=1,
由条件知{bn}是等差数列,
∴b6-b2=(6-2)d=4d=2
3
,
∴d=1
6
,∴b4=b2+2d=1
3
+2×1
6
=2
3
,
∵b4= 1
a4+1
,∴a4=1
2.
3.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于 x 的方程:x2+(a4+a6)x+10=0( )
A.无实根 B.有两个相等实根
C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根
[答案] A
[解析] ∵a4+a6=a2+a8=2a5,
即 3a5=9,∴a5=3,
方程为 x2+6x+10=0,无实数解.
4.下列命题中正确的个数是( )
(1)若 a,b,c 成等差数列,则 a2,b2,c2 一定成等差数列;
(2)若 a,b,c 成等差数列,则 2a,2b,2c 可能成等差数列;
(3)若 a,b,c 成等差数列,则 ka+2,kb+2,kc+2 一定成等差数列;
(4)若 a,b,c 成等差数列,则1
a
,1
b
,1
c
可能成等差数列.
A.4 个 B.3 个
C.2 个 D.1 个
[答案] B
[解析] 对于(1)取 a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,(1)错.
对于(2),a=b=c⇒2a=2b=2c,(2)正确;
对于(3),∵a,b,c 成等差数列,
∴a+c=2B.
∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4
=2(kb+2),(3)正确;
对于(4),a=b=c≠0⇒1
a
=1
b
=1
c
,(4)正确,综上选 B.
二、填空题
5.若 x≠y,两个数列 x,a1,a2,a3,y 和 x,b1,b2,b3,b4,y 都是等差数列,则a2-a1
b3-b2
=________.
[答案] 5
4
[解析] 设两个等差数列的公差分别为 d1,d2,
由已知,得 y=x+4d1,
y=x+5d2,
即 4d1=y-x,
5d2=y-x,
解得d1
d2
=5
4
,即a2-a1
b3-b2
=d1
d2
=5
4.
6.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面
积为________.
[答案] 15 3
[解析] 设△ABC 的三边长为 a-4,a,a+4(a>4),
则a2+a-42-a+42
2aa-4
=-1
2
,
解得 a=10,三边长分别为 6,10,14.
所以 S△ABC=1
2
×6×10× 3
2
=15 3.
三、解答题
7.在△ABC 中,三边 a、b、c 成等差数列, a、 b、 c也成等差数列,求证△ABC 为正
三角形.
[证明] ∵ a+ c=2 b,平方得 a+c+2 ac=4b,又∵a+c=2b,∴ ac=b,故( a- c)2
=0,
∴a=b=C.故△ABC 为正三角形.
8.设数列{an}是等差数列,bn=(1
2)an 又 b1+b2+b3=21
8
,b1b2b3=1
8
,求通项 an.
[解析] ∵b1b2b3=1
8
,又 bn=(1
2)an,∴(1
2)a1·(1
2)a2·(1
2)a3=1
8.
∴(1
2)a1+a2+a3=1
8
,∴a1+a2+a3=3,
又{an}成等差数列∴a2=1,a1+a3=2,
∴b1b3=1
4
,b1+b3=17
8
,
∴
b1=2
b3=1
8
或
b1=1
8
b3=2
,即 a1=-1
a3=3
或 a1=3
a3=-1
,
∴an=2n-3 或 an=-2n+5.
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