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  • 2021-06-22 发布

高中数学(人教版必修5)配套练习:2-2等差数列第2课时

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第二章 2.2 第 2 课时 一、选择题 1.等差数列{an}中,a6+a9=16,a4=1,则 a11=( ) A.64 B.30 C.31 D.15 [答案] D [解析] 解法一:∵ a6+a9=16 a4=1 ,∴ 2a1+13d=16 a1+3d=1 , ∴ a1=-5 d=2 ,∴a11=a1+10d=15. 解法二:∵6+9=4+11, ∴a4+a11=a6+a9=16,∴a11=15. 2.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( ) A.14 B.21 C.28 D.35 [答案] C [解析] ∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4. 又 a1+a2+…+a7=7a4=28. 3.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( ) A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a100≤0 D.a51=0 [答案] D [解析] 由题设 a1+a2+a3+…+a101=101a51=0, ∴a51=0. 4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( ) A.-1 B.1 C.3 D.7 [答案] B [解析] ∵{an}是等差数列, ∴a1+a3+a5=3a3=105,∴a3=35, a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33, ∴d=a4-a3=-2, a20=a4+16d=33-32=1. 5.在 a 和 b 之间插入 n 个数构成一个等差数列,则其公差为( ) A.b-a n B.a-b n+1 C.b-a n+1 D.b-a n-1 [答案] C [解析] ∵a1=a,an+2=b, ∴公差 d= an+2-a1 n+2-1 =b-a n+1 . 6.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13 等 于( ) A.120 B.105 C.90 D.75 [答案] B [解析] ∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5, 又∵a1a2a3=80,∴a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16, ∵d>0,∴d=3. 则 a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105. 二、填空题 7.等差数列{an}中,已知 a2+a3+a10+a11=36,则 a5+a8=__________. [答案] 18 [分析] 利用等差数列的性质求解,或整体考虑问题,求出 2a1+11d 的值. [解析] 解法 1:根据题意,有 (a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=36, ∴4a1+22d=36,则 2a1+11d=18. ∴a5+a8=(a1+4d)+(a1+7d)=2a1+11d=18. 解法 2:根据等差数列性质,可得 a5+a8=a3+a10=a2+a11=36÷2=18. 8.已知等差数列{an}中,a3、a15 是方程 x2-6x-1=0 的两根,则 a7+a8+a9+a10+a11= __________. [答案] 15 [解析] ∵a3+a15=6,又 a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15,∴a7+a8+a9+a10+a11=(2+ 1 2)(a3+a15)=5 2 ×6=15. 三、解答题 9.已知等差数列{an}的公差 d>0,且 a3a7=-12,a4+a6=-4,求{an}的通项公式. [解析] 由等差数列的性质,得 a3+a7=a4+a6=-4, 又∵a3a7=-12, ∴a3、a7 是方程 x2+4x-12=0 的两根. 又∵d>0,∴a3=-6,a7=2. ∴a7-a3=4d=8,∴d=2. ∴an=a3+(n-3)d=-6+2(n-3)=2n-12. 10.四个数成等差数列,其平方和为 94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个 数的积少 18,求此四个数. [解析] 设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,据题意得, (a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94 ⇒2a2+10d2=47.① 又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18⇒8d2=18⇒d=±3 2 代入①得 a=±7 2 ,故所求四数为 8,5,2,-1 或 1,-2,-5,-8 或-1,2,5,8 或-8,-5,-2,1. 一、选择题 1.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn} 的第 37 项为( ) A.0 B.37 C.100 D.-37 [答案] C [解析] ∵数列{an},{bn}都是等差数列, ∴{an+bn}也是等差数列. 又∵a1+b1=100,a2+b2=100, ∴{an+bn}的公差为 0, ∴数列{an+bn}的第 37 项为 100. 2.数列{an}中,a2=2,a6=0 且数列{ 1 an+1}是等差数列,则 a4 等于( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 [答案] A [解析] 令 bn= 1 an+1 ,则 b2= 1 a2+1 =1 3 ,b6= 1 a6+1 =1, 由条件知{bn}是等差数列, ∴b6-b2=(6-2)d=4d=2 3 , ∴d=1 6 ,∴b4=b2+2d=1 3 +2×1 6 =2 3 , ∵b4= 1 a4+1 ,∴a4=1 2. 3.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于 x 的方程:x2+(a4+a6)x+10=0( ) A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根 [答案] A [解析] ∵a4+a6=a2+a8=2a5, 即 3a5=9,∴a5=3, 方程为 x2+6x+10=0,无实数解. 4.下列命题中正确的个数是( ) (1)若 a,b,c 成等差数列,则 a2,b2,c2 一定成等差数列; (2)若 a,b,c 成等差数列,则 2a,2b,2c 可能成等差数列; (3)若 a,b,c 成等差数列,则 ka+2,kb+2,kc+2 一定成等差数列; (4)若 a,b,c 成等差数列,则1 a ,1 b ,1 c 可能成等差数列. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 [答案] B [解析] 对于(1)取 a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,(1)错. 对于(2),a=b=c⇒2a=2b=2c,(2)正确; 对于(3),∵a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2B. ∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4 =2(kb+2),(3)正确; 对于(4),a=b=c≠0⇒1 a =1 b =1 c ,(4)正确,综上选 B. 二、填空题 5.若 x≠y,两个数列 x,a1,a2,a3,y 和 x,b1,b2,b3,b4,y 都是等差数列,则a2-a1 b3-b2 =________. [答案] 5 4 [解析] 设两个等差数列的公差分别为 d1,d2, 由已知,得 y=x+4d1, y=x+5d2, 即 4d1=y-x, 5d2=y-x, 解得d1 d2 =5 4 ,即a2-a1 b3-b2 =d1 d2 =5 4. 6.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面 积为________. [答案] 15 3 [解析] 设△ABC 的三边长为 a-4,a,a+4(a>4), 则a2+a-42-a+42 2aa-4 =-1 2 , 解得 a=10,三边长分别为 6,10,14. 所以 S△ABC=1 2 ×6×10× 3 2 =15 3. 三、解答题 7.在△ABC 中,三边 a、b、c 成等差数列, a、 b、 c也成等差数列,求证△ABC 为正 三角形. [证明] ∵ a+ c=2 b,平方得 a+c+2 ac=4b,又∵a+c=2b,∴ ac=b,故( a- c)2 =0, ∴a=b=C.故△ABC 为正三角形. 8.设数列{an}是等差数列,bn=(1 2)an 又 b1+b2+b3=21 8 ,b1b2b3=1 8 ,求通项 an. [解析] ∵b1b2b3=1 8 ,又 bn=(1 2)an,∴(1 2)a1·(1 2)a2·(1 2)a3=1 8. ∴(1 2)a1+a2+a3=1 8 ,∴a1+a2+a3=3, 又{an}成等差数列∴a2=1,a1+a3=2, ∴b1b3=1 4 ,b1+b3=17 8 , ∴ b1=2 b3=1 8 或 b1=1 8 b3=2 ,即 a1=-1 a3=3 或 a1=3 a3=-1 , ∴an=2n-3 或 an=-2n+5.