- 108.50 KB
- 2021-06-22 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
二 第二课时 双曲线、抛物线的参数方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上,则|PF|等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:抛物线方程化为普通方程为y2=4x,准线方程为x=-1,
所以|PF|为P(3,m)到准线x=-1的距离,即为4.故选C.
答案:C
2.方程(t为参数)的图形是( )
A.双曲线左支 B.双曲线右支
C.双曲线上支 D.双曲线下支
解析:∵x2-y2=e2t+2+e-2t-(e2t-2+e-2t)=4.且x=et+e-t≥2=2.
∴表示双曲线的右支.
答案:B
3.点P(1,0)到曲线(其中,参数t∈R)上的点的最短距离是( )
A.0 B.1
C. D.2
解析:方程表示抛物线y2=4x的参数方程,其中p=2,设点M(x,y)是抛物线上任意一点,则点M(x,y)到点P (1,0)的距离d===|x+1|≥1,所以最短距离为1,选B.
答案:B
4.若曲线C的参数方程为(θ为参数),则曲线C上的点的轨迹是( )
A.直线x+2y-2=0
B.以(2,0)为端点的射线
C.圆(x-1)2+y2=1
D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段
解析:将曲线的参数方程化为普通方程得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).
答案:D
5.已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数),则该曲线是( )
A.线段 B.圆
C.双曲线 D.圆的一部分
解析:将所给参数方程的两式平方后相减,
得x2-y2=1.
6
并且由|x|=≥1,得x≥1或x≤-1,
从而易知结果.
答案:C
6.已知动圆方程x2+y2-xsin 2θ+2·ysin=0(θ为参数),则圆心的轨迹方程是________.
解析:圆心轨迹的参数方程为
即消去参数得:
y2=1+2x(-≤x≤).
答案:y2=1+2x(-≤x≤)
7.已知抛物线C的参数方程为(t为参数).若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r=________.
解析:由得y2=8x,
抛物线C的焦点坐标为F(2,0),
直线方程为y=x-2,即x-y-2=0.
因为直线y=x-2与圆(x-4)2+y2=r2相切,
由题意得r==.
答案:
8.曲线(α为参数)与曲线(β为参数)的离心率分别为e1和e2,则e1+e2的最小值为________.
解析:曲线(α为参数)的离心率
e1=,
曲线(β为参数)的离心率e2=,
∴e1+e2=≥=2.
当且仅当a=b时取等号,所以最小值为2.
答案:2
9.已知抛物线(t为参数,p>0)上的点M,N对应的参数值为t1,t2,且t1+t2=0,t1t2=-p2,求M,N两点间的距离.
解析:由题知M,N两点的坐标分别为(2pt,2pt1),(2pt,2pt2),
所以|MN|=
6
=
=2p|t1-t2|
=2p
=4p2.
故M,N两点间的距离为4p2.
10.如图所示,O是直角坐标系的原点,A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,A,B在什么位置时△AOB的面积最小?最小值是多少?
解析:根据题意,设点A,B的坐标分别为A(2pt,2pt1),B(2pt,2pt2)(t1≠t2,且t1t2≠0),则
|OA|= =2p|t1|,
|OB|= =2p|t2|.
因为OA⊥OB,所以·=0,
即2pt·2pt+2pt1·2pt2=0,所以t1·t2=-1.
又因△AOB的面积为:
S△AOB=|OA|·|OB|
=·2p|t1|·2p|t2|
=2p2|t1t2|
=2p2
=2p2≥2p2=4p2.
当且仅当t=,即t1=1,t2=-1或t1=-1,t2=1时,等号成立.
所以A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)或(2p,-2p),(2p,2p)时,△AOB的面积最小,最小值为4p2.
[B组 能力提升]
1.P为双曲线(θ为参数)上任意一点,F1,F2为其两个焦点,则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A.9x2-16y2=16(y≠0)
B.9x2+16y2=16(y≠0)
C.9x2-16y2=1(y≠0)
D.9x2+16y2=1(y≠0)
解析:由题意知a=4,b=3,可得c=5,
故F1(-5,0),F2(5,0),
6
设P(4sec θ,3tan θ),重心M(x,y),则
x==sec θ,y==tan θ.
从而有9x2-16y2=16 (y≠0).
答案:A
2.参数方程(0<θ<2π)表示( )
A.双曲线的一支,这支过点
B.抛物线的一部分,这部分过点
C.双曲线的一支,这支过点
D.抛物线的一部分,这部分过点
解析:∵x2=(cos +sin )2=1+sin θ=2y,
∴方程x2=2y表示抛物线.
又∵x==,
且0<θ<2π,
∴0≤x≤ ,故选B.
答案:B
3.抛物线,关于直线x+y-2=0对称的曲线的焦点坐标是________.
解析:抛物线的普通方程为y2=x,是以x轴为对称轴,顶点在原点,开口向右的抛物线,当关于直线x+y-2=0对称时,其顶点变为(2,2),对称轴相应变为x=2,且开口方向向下,所以焦点变为,即.
答案:
4.在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C
6
的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为________.
解析:先将参数方程与极坐标方程化为普通方程,再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a,b,c的等式,再结合a2=b2+c2求得离心率.
由已知可得椭圆标准方程为
+=1(a>b>0).
由ρsin=m可得ρsin θ+ρcos θ=m,即直线的普通方程为x+y=m,又圆的普通方程为x2+y2=b2,不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0),可得c=m.又因为直线l与圆O相切,所以=b,因此c=b,即c2=2(a2-c2),整理,得=,故椭圆C的离心率为e=.
答案:
5.如图,自双曲线x2-y2=1上一动点Q引直线l:x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN中点P的轨迹方程.
解析:设点Q的坐标为(sec φ,tan φ),(φ为参数).
∵QN⊥l,
∴可设直线QN的方程为x-y=λ.①
将点Q的坐标代入①得:λ=sec φ-tan φ.
所以线段QN的方程为x-y=sec φ-tan φ.②
又直线l的方程为x+y=2.③
由②③解得点N的横坐标xN=.
设线段QN中点P的坐标为(x,y),
则x==,④
4×④-②得
3x+y-2=2sec φ.⑤
4×④-3×②得
x+3y-2=2tan φ.⑥
⑤2-⑥2化简即得所求的轨迹方程为
2x2-2y2-2x+2y-1=0.
6.已知曲线C的方程为
(1)当t是非零常数,θ为参数时,C是什么曲线?
6
(2)当θ为不等于(k∈Z)的常数,t为参数时,C是什么曲线?
(3)两曲线有何共同特征?
解析:(1)将原参数方程记为①,将参数方程①化为
平方相加消去θ,得+=1.②
因为(et+e-t)2>(et-e-t)2>0,故方程②的曲线为椭圆,即C为椭圆.
(2)将方程①化为
平方相减消去t,得-=1.③
所以方程③的曲线为双曲线,即C为双曲线.
(3)在方程②中2-2=1,则c=1,
椭圆②的焦点坐标为(-1,0),(1,0),因此椭圆和双曲线有共同的焦点.
6
相关文档
- 高中数学必修2测试试卷2021-06-229页
- 数学理·辽宁省大连市庄河高中20172021-06-2220页
- 高中数学人教A版必修四全册教案1_32021-06-222页
- 2020年高中数学第二章平面与平面平2021-06-226页
- 高中数学:新人教A版选修1-1 3_4生活2021-06-224页
- 2020高中数学 章末综合测评2 随机2021-06-229页
- 数学卷·2018届四川省成都市经开区2021-06-2218页
- 高中数学必修1人教A同步练习试题及2021-06-223页
- 数学文卷·2018届吉林省长春市普通2021-06-229页
- 2020学年度高中数学 综合检测试题 2021-06-229页