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  • 2021-06-22 发布

2020年高中数学第二章参数方程二第二课时双曲线、抛物线的参数方程优化练习新人教A版选修

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二 第二课时 双曲线、抛物线的参数方程 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上,则|PF|等于(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ 解析:抛物线方程化为普通方程为y2=4x,准线方程为x=-1,‎ 所以|PF|为P(3,m)到准线x=-1的距离,即为4.故选C.‎ 答案:C ‎2.方程(t为参数)的图形是(  )‎ A.双曲线左支 B.双曲线右支 C.双曲线上支 D.双曲线下支 解析:∵x2-y2=e2t+2+e-2t-(e2t-2+e-2t)=4.且x=et+e-t≥2=2.‎ ‎∴表示双曲线的右支.‎ 答案:B ‎3.点P(1,0)到曲线(其中,参数t∈R)上的点的最短距离是(  )‎ A.0 B.1‎ C. D.2‎ 解析:方程表示抛物线y2=4x的参数方程,其中p=2,设点M(x,y)是抛物线上任意一点,则点M(x,y)到点P (1,0)的距离d===|x+1|≥1,所以最短距离为1,选B.‎ 答案:B ‎4.若曲线C的参数方程为(θ为参数),则曲线C上的点的轨迹是(  )‎ A.直线x+2y-2=0‎ B.以(2,0)为端点的射线 C.圆(x-1)2+y2=1‎ D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段 解析:将曲线的参数方程化为普通方程得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).‎ 答案:D ‎5.已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数),则该曲线是(  )‎ A.线段 B.圆 C.双曲线 D.圆的一部分 解析:将所给参数方程的两式平方后相减,‎ 得x2-y2=1.‎ 6‎ 并且由|x|=≥1,得x≥1或x≤-1,‎ 从而易知结果.‎ 答案:C ‎6.已知动圆方程x2+y2-xsin 2θ+2·ysin=0(θ为参数),则圆心的轨迹方程是________.‎ 解析:圆心轨迹的参数方程为 即消去参数得:‎ y2=1+2x(-≤x≤).‎ 答案:y2=1+2x(-≤x≤)‎ ‎7.已知抛物线C的参数方程为(t为参数).若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r=________.‎ 解析:由得y2=8x,‎ 抛物线C的焦点坐标为F(2,0),‎ 直线方程为y=x-2,即x-y-2=0.‎ 因为直线y=x-2与圆(x-4)2+y2=r2相切,‎ 由题意得r==.‎ 答案: ‎8.曲线(α为参数)与曲线(β为参数)的离心率分别为e1和e2,则e1+e2的最小值为________.‎ 解析:曲线(α为参数)的离心率 e1=,‎ 曲线(β为参数)的离心率e2=,‎ ‎∴e1+e2=≥=2.‎ 当且仅当a=b时取等号,所以最小值为2.‎ 答案:2 ‎9.已知抛物线(t为参数,p>0)上的点M,N对应的参数值为t1,t2,且t1+t2=0,t1t2=-p2,求M,N两点间的距离.‎ 解析:由题知M,N两点的坐标分别为(‎2pt,‎2pt1),(‎2pt,‎2pt2),‎ 所以|MN|= 6‎ ‎= ‎=2p|t1-t2|‎ ‎=2p ‎=4p2.‎ 故M,N两点间的距离为4p2.‎ ‎10.如图所示,O是直角坐标系的原点,A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,A,B在什么位置时△AOB的面积最小?最小值是多少?‎ 解析:根据题意,设点A,B的坐标分别为A(‎2pt,‎2pt1),B(‎2pt,‎2pt2)(t1≠t2,且t1t2≠0),则 ‎|OA|= =2p|t1|,‎ ‎|OB|= =2p|t2|.‎ 因为OA⊥OB,所以·=0,‎ 即‎2pt·‎2pt+‎2pt1·‎2pt2=0,所以t1·t2=-1.‎ 又因△AOB的面积为:‎ S△AOB=|OA|·|OB|‎ ‎=·2p|t1|·2p|t2| ‎=2p2|t1t2| ‎=2p2 ‎=2p2≥2p2=4p2.‎ 当且仅当t=,即t1=1,t2=-1或t1=-1,t2=1时,等号成立.‎ 所以A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)或(2p,-2p),(2p,2p)时,△AOB的面积最小,最小值为4p2.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.P为双曲线(θ为参数)上任意一点,F1,F2为其两个焦点,则△F1PF2重心的轨迹方程是(  )‎ A.9x2-16y2=16(y≠0)‎ B.9x2+16y2=16(y≠0)‎ C.9x2-16y2=1(y≠0)‎ D.9x2+16y2=1(y≠0)‎ 解析:由题意知a=4,b=3,可得c=5,‎ 故F1(-5,0),F2(5,0),‎ 6‎ 设P(4sec θ,3tan θ),重心M(x,y),则 x==sec θ,y==tan θ.‎ 从而有9x2-16y2=16 (y≠0).‎ 答案:A ‎2.参数方程(0<θ<2π)表示(  )‎ A.双曲线的一支,这支过点 B.抛物线的一部分,这部分过点 C.双曲线的一支,这支过点 D.抛物线的一部分,这部分过点 解析:∵x2=(cos +sin )2=1+sin θ=2y,‎ ‎∴方程x2=2y表示抛物线.‎ 又∵x==,‎ 且0<θ<2π,‎ ‎∴0≤x≤ ,故选B.‎ 答案:B ‎3.抛物线,关于直线x+y-2=0对称的曲线的焦点坐标是________.‎ 解析:抛物线的普通方程为y2=x,是以x轴为对称轴,顶点在原点,开口向右的抛物线,当关于直线x+y-2=0对称时,其顶点变为(2,2),对称轴相应变为x=2,且开口方向向下,所以焦点变为,即.‎ 答案: ‎4.在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C 6‎ 的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为________.‎ 解析:先将参数方程与极坐标方程化为普通方程,再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a,b,c的等式,再结合a2=b2+c2求得离心率.‎ 由已知可得椭圆标准方程为 +=1(a>b>0).‎ 由ρsin=m可得ρsin θ+ρcos θ=m,即直线的普通方程为x+y=m,又圆的普通方程为x2+y2=b2,不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0),可得c=m.又因为直线l与圆O相切,所以=b,因此c=b,即c2=2(a2-c2),整理,得=,故椭圆C的离心率为e=.‎ 答案: ‎5.如图,自双曲线x2-y2=1上一动点Q引直线l:x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN中点P的轨迹方程.‎ 解析:设点Q的坐标为(sec φ,tan φ),(φ为参数).‎ ‎∵QN⊥l,‎ ‎∴可设直线QN的方程为x-y=λ.①‎ 将点Q的坐标代入①得:λ=sec φ-tan φ.‎ 所以线段QN的方程为x-y=sec φ-tan φ.②‎ 又直线l的方程为x+y=2.③‎ 由②③解得点N的横坐标xN=.‎ 设线段QN中点P的坐标为(x,y),‎ 则x==,④‎ ‎4×④-②得 ‎3x+y-2=2sec φ.⑤‎ ‎4×④-3×②得 x+3y-2=2tan φ.⑥‎ ‎⑤2-⑥2化简即得所求的轨迹方程为 ‎2x2-2y2-2x+2y-1=0.‎ ‎6.已知曲线C的方程为 ‎(1)当t是非零常数,θ为参数时,C是什么曲线?‎ 6‎ ‎(2)当θ为不等于(k∈Z)的常数,t为参数时,C是什么曲线?‎ ‎(3)两曲线有何共同特征?‎ 解析:(1)将原参数方程记为①,将参数方程①化为 平方相加消去θ,得+=1.②‎ 因为(et+e-t)2>(et-e-t)2>0,故方程②的曲线为椭圆,即C为椭圆.‎ ‎(2)将方程①化为 平方相减消去t,得-=1.③‎ 所以方程③的曲线为双曲线,即C为双曲线.‎ ‎(3)在方程②中2-2=1,则c=1,‎ 椭圆②的焦点坐标为(-1,0),(1,0),因此椭圆和双曲线有共同的焦点.‎ 6‎