全国大联考 2020 届 1 月联考理科数学试卷（A） 8页

理科数学试卷·第 1 页（共 8 页） 20·LK·YG1 秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 1 月 2 日 15:00~17:00] 全国大联考 2020 届 1 月联考 理科数学试卷（A） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，需用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 3．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。 4．考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 (1 ) 1z i i+ = − （i 是虚数单位），则 的共轭复数 z = A． i− B． 2i− C． D． 2i 2.已知全集UR= ，设函数 lg( 1)yx=−的定义域为集合 A ，函数 2 2 10y x x= + + 的值 域为集合 B ，则A∩(CUB)= A．[1,3] B．[1,3) C．(1,3] D．(1,3) 3.已知等比数列{}na 为递增数列，且 2 5 10aa= ， 212( ) 5n n na a a+++=，则 5a = A．16 B．32 C． 49 D．81 4.点 (4, 2)P − 与圆 224xy+=上任一点连线的中点轨迹方程是 A． 22( 2) ( 1) 1xy− + + = B． 22( 2) ( 1) 4xy− + + = C． 22( 4) ( 2) 4xy+ + − = D． 22( 2) ( 1) 1xy+ + − = 5.一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6 名工人中安 排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能 从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 A． 24 种 B．36种 C． 48 种 D．72 种 此 试 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考 证号 考场号 座位号 理科数学试卷·第 2 页（共 8 页） 20·LK·YG1 6. 若直线 2yx= 上存在点 ( , )xy满足约束条件 30 2 3 0 xy xy xm + −   − −    ，则实数 m 的最大值为 A． 2 B． 3 2 C．1 D． 1− 7. 如图，圆周上按顺时针方向标有1， 2 ，3， 4 ，5五个点.一只青 蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下 一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从5 这点跳起，经 2018 次跳后它将停在的点是 A． B． C．3 D． 4 8.如程序框图所示，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 的值.若要使输入的 的值与输出 的 的值相等，则这样的 的值有 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 9.半径为 R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积 之差是 A． 22 R B． 25 2 R C． 23 R D． 27 2 R 10.若从数字0 ，1， 2 ，3， 4 ，5中任取三个不同的数作为二次函数 2y ax bx c= + + 的 系数，则与 x 轴有公共点的二次函数的概率是 理科数学试卷·第 3 页（共 8 页） 20·LK·YG1 A． 1 5 B． 1 2 C． 13 50 D． 17 50 11.过双曲线 22 221( 0, 0)xy abab− =   的左焦点 ( ,0)( 0)F c c−，作圆 2 22 4 axy+=的切 线，切点为 E ，延长 FE 交双曲线右支于点 P ，若OE⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (OF⃗⃗⃗⃗⃗ +OP⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率 为 A． 10 B． 10 5 C． 10 2 D． 2 12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面， 记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 ( )( (0) 0)S t S = ，则导函数 '( )y S t= 的图象大致为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.在 ABC 中， M 是线段 BC 的中点， 3AM = ， 10BC = ，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 14.若 2 3 1()nx x+ 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是 ． 15.若数列{}na 是正项数列，且 12 na a a+ ++ 2*3 ( )n n n N= +  ，则 12 2 3 1 naaa n+ + + =+ ． 16.对于实数 a 和b ，定义运算“*”： 2 2 , , a ab a bab b ab a b  −= − .设 ( ) (2 1) ( 1)f x x x= −  − ，且 关于 x 的方程 ( ) ( )f x m m R=恰有三个互不相等的实数根 1x ， 2x ， 3x ，则 1 2 3x x x 的取值 范围是 ． 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（12 分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方 图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. 理科数学试卷·第 4 页（共 8 页） 20·LK·YG1 （1）求在未来连续3天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低 于50个的频率； （2）用 X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量 的分布列，期 望 ()EX 及方差 ()DX . 18.（12 分）在锐角 ABC 中， a 、b 、 c 分别为角 A 、 B 、C 所对的边，且 3 2 sina c A= . （1）确定角C 的大小； （2）若 7c = ，且 的面积为 33 2 ，求 ab+ 的值. 此 试 卷 只 装 订 不 密 封 ———————————————————————————————————————————————————————— 理科数学试卷·第 5 页（共 8 页） 20·LK·YG1 19.（12 分）三棱锥 A BCD− 及其侧视图、俯视图如图所示.设 M ， N 分别为线段 AD ， AB 的中点， P 为线段 BC 上的点，且 MN NP⊥ . （1）证明： 为线段 的中点； （2）求二面角 A NP M−−的余弦值. 此 试卷只装订不密封 ———————————————————————————————————————————————————————— 理科数学试卷·第 6 页（共 8 页） 20·LK·YG1 20.（12 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 22 221( 0)xy abab+ =   的左、右焦点 分别为 1( ,0)Fc− ， 2 ( ,0)Fc ，已知点(1, )e 和 3( , )2e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设 A ， B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且 直线 1AF 与直线 2BF 平行， 2AF 与 1BF 交于点 P ， （i）若 12 6 2AF BF−=，求直线 的斜率； （ii）求证： 12PF PF+ 是定值. 理科数学试卷·第 7 页（共 8 页） 20·LK·YG1 21.（12 分）已知函数 1( ) ln 1( )af x x ax a Rx −= − + −  . （1）当 1 2a  时，讨论 ()fx的单调性； （2）设 2( ) 2 4g x x bx= − + .当 1 4a = 时，若对任意 1 (0,2)x  ，存在 2 [1,2]x  ，使 12( ) ( )f x g x ，求实数b 的取值范围. 理科数学试卷·第 8 页（共 8 页） 20·LK·YG1 选考题：请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（ 10 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos sin xa yb   =  = （ 0ab， 为参数）， 在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C 是圆心在极轴上，且经过极点 的圆.已知曲线 上的点 3(1, )2M 对应的参数 3  = ，射线 3  = 与曲线 交于点 (1, )3D  . （1）求曲线 ， 的方程； （2）若点 1( , )A ， 2( , )2B + 在曲线 上，求 22 12 11 + 的值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】（ 10 分） 已知函数 ( ) 2f x x a a= − + . （1）若不等式 ( ) 6fx 的解集为 | 2 3xx−   ，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 ( ) ( )f n m f n − − 成立，求实数 m 的取值范围. 此 试 卷 只 装 订 不 密 封 ————————————————————————————————————————————————————————