2020高中数学模块综合测评（二）新人教A版必修5 8页

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2021-06-23 发布

2020高中数学模块综合测评（二）新人教A版必修5

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模块综合测评(二)‎ 满分：150分　时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知S＝，T＝{x|x2－(‎2a＋1)x＋a2＋a≥0}，若S∪T＝R，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1]　　　　　　 B．(－1,1]‎ C．[0,1] D．(0,1]‎ C　[S＝{x|00恒成立．‎ ‎∴(3－‎2a)2－‎4a2＝9－‎12a<0.‎ ‎∴a>.]‎ ‎5．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则等于(　　)‎ - 8 -‎ A.　　　B. C.　　　D. B　[在等差数列an，bn中，＝＝＝＝.]‎ ‎6．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，那么cos C的值为(　　) ‎ ‎【导学号：91432398】‎ A．－ B. C．－ D. A　[由题意知，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4，‎ 设a＝3k，b＝2k，c＝4k，‎ ‎∴cos C＝＝＝－.]‎ ‎7．已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n等于(　　)‎ A．9 B．21‎ C．27 D．36‎ C　[S3＋an＋an－1＋an－2＝4＝3(a1＋an)，∴a1＋an＝，‎ 又Sn＝＝＝18，‎ ‎∴n＝27.]‎ ‎8．已知点P(x，y)满足条件则z＝x－3y的最小值为(　　) ‎ ‎【导学号：91432399】‎ A．9　　　B．－‎6 C．－9　　　D．6‎ B　[作出可行域如图所示的阴影部分．‎ 由目标函数z＝x－3y得：‎ y＝x－，‎ ‎∴－为直线在y轴上的截距．‎ ‎∴平移直线l0：y＝x，当直线经过点A时，z取得最小值．‎ ‎∵∴∴A(3,3)．‎ ‎∴zmin＝3－3×3＝－6.]‎ - 8 -‎ ‎9．如图1，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船行驶方向与距离分别为(　　)‎ 图1‎ A．北偏东60°；10 B．北偏东40°；10 C．北偏东30°；10 D．北偏东20°；10 B　[由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，‎ AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，‎ 所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，‎ 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋102－‎ ‎2×10×10＝300，所以AC＝10.]‎ ‎10．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：91432400】‎ A．(－∞，6) B．(－∞，6]‎ C．[6，＋∞) D．(6，＋∞)‎ A　[由题意得：当x>0时，mx0)，则有x＋≥2＝6 ，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立．则实数m的取值范围是m<6.]‎ ‎11．若log4(‎3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)‎ A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 D　[由log4(‎3a＋4b)＝log2，得log2(‎3a＋4b)＝log2(ab)，所以‎3a＋‎ ‎4b＝ab，即＋＝1.‎ - 8 -‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7，当且仅当＝，即a ‎＝2＋4，b＝3＋2时取等号，故选D.]‎ ‎12．已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则 a＝(　　) ‎ ‎【导学号：91432401】‎ A．3 B．2‎ C．－2 D．－3‎ B　[画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，‎ 若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验x＝2，y＝0符合题意，∴‎2a＋0＝4，此时a＝2，故选B.]‎ 二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎13．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．‎ ‎2　[因为实数x，y满足xy＝1，所以x2＋2y2≥2＝2＝2，当且仅当x2＝2y2且xy＝1，即x2＝2y2＝时等号成立，故x2＋2y2的最小值为2.]‎ ‎14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________. ‎ ‎【导学号：91432402】‎ ‎15　[由于三边长构成公差为4的等差数列，‎ 故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.‎ 由一个内角为120°，知其必是最长边x＋4所对的角．‎ 由余弦定理得，(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos 120°，‎ ‎∴2x2－20x＝0，‎ ‎∴x＝0(舍去)或x＝10，‎ ‎∴S△ABC＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.]‎ ‎15．设Sn是数列{an}的前 n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.‎ ‎－　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.‎ ‎∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.‎ 又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．‎ ‎∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]‎ - 8 -‎ ‎16．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号) 【导学号：91432403】‎ ‎①③④　[因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确．]‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.‎ ‎(1)求通项an；‎ ‎(2)若Sn＝242，求n.‎ ‎[解]　(1)设{an}的首项为a1，公差为d，‎ 则解得 ‎∴通项an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.‎ ‎(2)由Sn＝na1＋d＝242，得12n＋×2＝242，解得n＝11，或n＝－22(舍去)．故 n＝11.‎ ‎18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B(p∈R)，且ac＝b2.‎ ‎(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；‎ ‎(2)若角B为锐角，求p的取值范围. ‎ ‎【导学号：91432404】‎ ‎[解]　(1)由题设并利用正弦定理，得解得或 ‎(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－‎2ac－2accos B＝p2b2－ b2－b2cos B，即p2＝＋cos B，因为00，所以p的取值范围为.‎ ‎19．(本小题满分10分)解关于x的不等式>0(a≠0)．‎ ‎[解]　∵x2－x＋3>0对x∈R恒成立，‎ ‎∴原不等式可化为x2＋ax>0，即x(x＋a)>0.‎ - 8 -‎ 又a≠0，∴当a<0时，解得x<0或x>－a；‎ 当a>0时，解得x<－a或x>0.‎ 综上，当a<0时，‎ 原不等式的解集为{x|x<0或x>－a}；‎ 当a>0时，原不等式的解集为{x|x<－a或x>0}．‎ ‎20．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，‎ c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值.‎ ‎【导学号：91432405】‎ ‎[解]　(1)因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，即2sin B＝sin A＋sin C，因为sin B＝sin(A＋C)，‎ 所以sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．‎ ‎(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，所以cos B＝≥＝＝，当且仅当a＝c＝b时，cos B取得最小值，此时三角形为正三角形．‎ ‎21．(本小题满分12分)在△ABC中，BC＝6，点D在BC边上，且(‎2AC－AB)cos A＝BCcos C.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若AD为△ABC的中线，且AC＝2，求AD的长；‎ ‎(3)若AD为△ABC的高，且AD＝3，求证：△ABC为等边三角形．‎ ‎[解]　(1)由(‎2AC－AB)cos A＝BCcos C及正弦定理，‎ 有(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，‎ 得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B，所以cos A＝.‎ 因为0°

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