高中同步数学教案第7章 数列 59页

第七章 数 列 ‎ 7、1 数列 ‎ 1、数列的概念：‎ ‎ 按一定次序排列的一列数叫做数列。‎ ‎ 如： ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎ ‎ ‎ 数列中的每一个数，叫做这个数列的项，并且依次叫做数列的第项、第项、第项、、第项、‎ ‎ 2、数列的表示：‎ ‎ 数列一般可以写成，简记为，其中是数列的第项。‎ ‎ 3、数列的分类：‎ ‎ 有限数列、无穷数列。‎ ‎ 4、数列的单调性：‎ ‎ 递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。‎ ‎ 5、通项公式：‎ ‎ 如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为。‎ 数列实际上是一类特殊的函数，它的定义域是正整数集或它的有限 子集，通项公式即为解析式，数列的项就是自变量依次 取时得到的一列函数值。‎ ‎ 6、数列的图像表示：‎ ‎ 是一群孤立的点。‎ ‎ 7、数列的递推公式：‎ ‎ 数列也可以由初始项及项与项的关系给出，称为数列的递推公式。 如：‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ 。‎ ‎ 。‎ ‎ 8、数列的前项和：‎ ‎ 数列的前项之和，常用表示。即。‎ ‎ 与通项的基本关系是： 。‎ 例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项： ‎ ‎（1）；‎ ‎（2） ‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）；‎ ‎（6）；‎ ‎（7）；‎ ‎（8）；‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ 解：（1）；‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）；‎ ‎ （4）； ‎ ‎ （5）；‎ ‎ （6）； ‎ ‎ （7） ；‎ ‎ （8）‎ ‎ （9）‎ ‎ （10）‎ ‎ 例2、数列中，，且，则 。‎ 解：当时，；‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 两式相除，（简单阶商法）‎ ‎ ∴，，∴。‎ 例3、已知数列的通项公式，求数列的最大项。‎ 解：。‎ 例4、已知，则在数列中, 最大项为第_ __ _项，最小项为第______项。‎ 解：由知：最大，最小。‎ 例5、已知数列的通项公式，试问数列 有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若无，说明理由。‎ 解：‎ 当时, ，即：，；‎ 当时, ，即：，；‎ 当时, ，即：，；‎ 故 所以，数列有最大项, 为第项。‎ 例6、已知数列的前项和。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和。‎ 解：（1）。‎ ‎（2）。‎ ‎7、2 等差数列 ‎1、等差数列的定义：‎ ‎ 考察下面的数列：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一般地，一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。‎ ‎2、等差数列的通项公式：。‎ 注意: 1） 等差数列的通项公式是关于的一次函数 ‎2） 如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成等差数列。‎ ‎3）时，递增数列；时，递减数列；时，常数列。‎ ‎3、等差中项：‎ 若成等差数列，则称为与的等差中项，且；‎ ‎ 成等差数列的充要条件是。‎ ‎4、等差数列的证明方法：‎ ‎（1）用定义：只需证常数；‎ ‎（2）用中项性质：只需证。‎ ‎5、等差数列的图像：‎ ‎ 一条直线上均匀分布的一群孤立的点。‎ 例1、在与之间顺次插入个数，使这五个数成等差数列，求此数列的通项公式。‎ 例2、在等差数列中，已知，，求。‎ 解：或。‎ 例3、（1）已知数列中，其前项和，问这个数列成等差数列吗？‎ ‎ （2）已知数列中，其前项和，求证这个数列是等差数列。‎ ‎ 6、等差数列前项和：‎ ‎ ；‎ ‎ ‎ ‎ 强调推导方法：‎ ‎ ‎ ‎ 例4、已知为等差数列，前项的和，前项的和，求前项的和。‎ ‎ ‎ ‎ 解：设的首项为，公差为，利用，得：‎ ‎ 解得：‎ ‎∴。‎ ‎ 例5、等差数列的首项为23，公差为，设其前项和为，求的最大值。‎ ‎ 解：。‎ ‎ 例6、等差数列中，，且，求，使最小。‎ ‎ 解：。‎ ‎ 例7、已知数列的前项和，试求此数列前（）个奇数项之和。‎ ‎ 解：。‎ ‎ 例8、在等差数列中， ，‎ ‎ 求证：。‎ 例9、已知两个等差数列和，前项和分别为和，且，求。‎ ‎ 7、等差数列的性质：‎ ‎ （1）；‎ ‎ （2）成等差数列；‎ ‎ （3）若，且，则 ‎ （4）等差数列共项，前项和为，中项和为，后项和为，则也成等差数列。‎ ‎ 例10、（1）在等差数列中，，则 ；‎ ‎ （2）在等差数列中，，则 ；‎ ‎ （3）在等差数列中，，，，则 ；‎ ‎ （4）已知共有项的等差数列，前项和为，最后项和为，所有项和为，则 ；‎ ‎ （5）在等差数列中，前项和为，前项和为，则前项和 为 。‎ ‎ 解：（1）；（2）； （3）； （4）；（5）。‎ ‎ 例11、等差数列中，，且，为其前项和，则 （ ）‎ A）都小于，都大于 ‎ B）都小于，都大于 C）都小于，都大于 ‎ D）都小于，都大于 ‎ 解：由题意知，可得，，又，∴；‎ 由等差数列的性质知：， ∴‎ 答案：‎ ‎ 例12、在等差数列中，公差为，且，则_________。‎ 解： ‎ ‎ 例13、设等差数列的前项和为，已知，，；求公差的取值范围；‎ ‎ 解：‎ 例14、已知等差数列项数为，若为奇数，且奇数项之和为，偶数项之和为，，求项数及末项。‎ ‎ 解：，。‎ ‎ 7.3 等比数列 ‎ 1、等比数列的定义 ‎ 考察下面的数列：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一般地，一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。‎ 等比数列中，。‎ ‎ 2、等比数列的通项公式：。‎ ‎ 3、等比中项：‎ 若成等比数列，则为的等比中项。‎ ‎ 成等比数列的必要不充分条件是。‎ ‎ 4、等比数列的证明方法：‎ ‎（1）用定义：只需证（常数）；‎ ‎（2）用等比中项性质：只需证。‎ ‎ 5、等比数列前n项和 已知等比数列首项为，公比为，它的前项和，‎ 如何用表示？‎ ‎ 解： ①‎ ‎ ①式两边同乘于，得 ‎ ②‎ ‎ ①②得 ‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 又当时，，‎ ‎ ‎ ‎ 6、等比数列的性质：‎ ‎ （1）；‎ ‎ （2）成等比数列；‎ ‎ （3）若，且，则；‎ ‎ （4）等比数列共项，前项和为，中项和为，后项和为，则也成等比数列。‎ ‎ ‎ ‎ 例1、（1）在等比数列中，，，则 。‎ ‎ （2）在等比数列中，，，则 。‎ ‎ （3）在等比数列中，，，则数列前项和为 。‎ ‎ 解：（1）；‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3），或 例2、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水注满，再倒出1升混合溶液，用水注满，这样继续进行，一共倒了5次，这时容器里有纯酒精多少？‎ ‎（保留3位有效数字）‎ ‎ 解： （升）‎ ‎ 例3、求和：。‎ ‎ 解：时，原式；‎ ‎ 时，原式。‎ 例4、已知是等比数列的前项和，成等差数列，‎ ‎ 求证：成等差数列。‎ 例5、已知数列的前项和，当常数满足什么条件时，‎ ‎ 数列是等比数列。‎ ‎ 解：。‎ ‎ 例6、已知数列是等比数列，首项是，又其中连续项分别是一个公差不为的等差数列的第项，求。‎ ‎ 解：。‎ ‎ 例7、（1）在等比数列中，，则 ；‎ ‎ （2）在等比数列中，，且，则 ；‎ ‎ （3）在等比数列中，，且，，则通项公式为 ；‎ ‎ （4）在等比数列中，前项和为，前项和为，则前项和 为 。‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ （2）‎ ‎ （3），或 ‎（4）‎ ‎ 例8、已知七个数组成的数列中，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且偶数项之积比奇数项之和大，中间三项的和为，求中间项的值及首末两项之和的大小。‎ ‎ 解：。‎ ‎ 例9、设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项之和为6560，且前 项中数值最大的项为54，求此数列。‎ ‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎ 代入（1）， ，得：，从而，‎ ‎ ∴递增，∴前项中数值最大的项应为第项。‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴，∴此数列为 ‎ 例10、已知数列中，且，求。‎ ‎ 解： 又 ‎ 是公比为2的等比数列，其首项为，‎ 当n≥2时, ∴‎ ‎ 例11、设数列前项之和为，若且 ‎ ，‎ ‎ 求：数列通项？‎ ‎ ‎ ‎ 解：∵，∴，即 ‎ 即：，∴时，成等比数列，‎ ‎ 又：，‎ ‎ ∴不成等比数列。‎ ‎ 例12、已知数列中，，，求此数列前项之和。‎ ‎ 解：。‎ 例13、已知命题：若数列为等差数列，且，，则。‎ 现已知数列为等比数列，且，，类比等差数列中的结论，则可得到 。‎ ‎ ‎ 解：。‎ ‎ 特殊数列求和 ‎ 1、由等差数列、等比数列对应项和组成的数列——拆项相加 ‎ 例1、求数列 ‎ ‎ ‎ 的前n项和。‎ ‎ 解：‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎。‎ ‎ 例2、数列中，已知，‎ ‎ 求。‎ ‎ 解：。‎ ‎ 2、由等差数列、等比数列对应项积组成的数列——错位相减 ‎ 例3、设数列为 ‎ 求此数列前项的和。‎ ‎ 解： ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①-②，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 例4、求和：。‎ ‎ 解：。‎ ‎ ‎ ‎ 3、通项是分式的数列——裂项相消 ‎ 例5、求下列数列前项和 ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎ （4）‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎ （4）‎ ‎ 递推数列的通项 ‎ 例1、在数列中，，，求通项。‎ ‎ 解：累加法，。‎ ‎ 例2、在数列中，，，求通项。‎ ‎ 解：累乘法，‎ ‎ 例3、在数列中，，，求通项。‎ ‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎ 例4、在数列中，，，求通项。‎ ‎ 解：‎ ‎ 例5、在数列中，，，求通项。‎ ‎ 解：取倒数，。‎ ‎ 例6、在数列中，，，求通项。‎ ‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎ 例7、在数列中，，，求数列前项和。‎ ‎ 解：‎ 例8、已知 求通项公式。‎ ‎ ‎ 解： ‎ 将上式两边同乘以得：‎ 是以1为首项，1为公差的AP。‎ 例9、在数列中，，，，求通项。 ‎ 解：。‎ ‎7.4 数学归纳法 ‎1、归纳法 考察下面两个问题：‎ 问题1：在数列中，，，先算出的值，再推测通项的公式；‎ 过程：，由此得到：，‎ 问题2：在数列中，，先算出的值，再推测通项的公式；‎ 过程：，，，由此得到：，‎ 解决以上两个问题用的都是归纳法。‎ 归纳法：由一些特殊事例推出一般性结论的推理方法，叫做归纳法。‎ 特点：由特殊一般。‎ 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。‎ ‎2、完全归纳法：‎ ‎ 把所有对象一一加于研究，从而推出一般性结论的推理方法，称为完全归纳法。‎ 特点：完全归纳法得出的结论是可靠的。但通常要求研究的对象数量不多，才采用完全归纳法。‎ ‎3、不完全归纳法：‎ 对一个或几个(但不是全部)特殊对象加于研究，从而得出一般性结论的推理方法，叫做不完全归纳法。‎ 特点：不完全归纳法往往是不可靠的。（如问题1）‎ 因此，使用不完全归纳法探究数学命题时，必须对你归纳出的结论加于证明，才能判断命题正确与否，我们通常用数学归纳法加于证明。‎ ‎4、数学归纳法：‎ 数学归纳法通常用来证明与正整数有关的命题，如：‎ 求证：‎ 数学归纳法的证明思想是递推。‎ ‎ 先证明当取第一个正整数时命题成立；然后假设当时命题成立，推出当时命题也成立，从而可得出命题对于从开始的所有正整数 都成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。‎ ‎5、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：‎ ‎（1）证明：当取第一个正整数时，命题成立；‎ ‎（2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立；‎ 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立。‎ ‎6、说明：‎ ‎ 数学归纳法的证明思想是递推，（1）是递推的基础，（2）是递推的依据。两者缺一不可。‎ ‎ 数学归纳法证明的难点是第二步递推依据的证明，必须用到时命题成立这个归纳假设，否则就不是数学归纳法，同时注意关键步骤证明严谨规范，不能跳步。‎ ‎ 注意解题格式，一步一小结，两步一大结。‎ ‎7、5 数学归纳法的应用 ‎1、用数学归纳法证明恒等式 例1、用数学归纳法证明：。‎ 证明：（1）当时，左边，右边，∴等式成立；‎ ‎（2）假设当时，等式成立，即：，‎ 那么当时,‎ 即当时，等式也成立,‎ ‎∴由(1)和(2)，可知等式对任何都成立。‎ 注：运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可；理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明命题成立时必须要用到时命题成立这个条件，这种理解能使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质。‎ 例2、用数学归纳法证明：‎ ‎。‎ 证：见书P33‎ 例3、用数学归纳法证明：‎ ‎。‎ 证：（1）当时，左边，右边，∴等式成立；‎ ‎（2）假设当时等式成立，‎ 即：，‎ 则时，‎ ‎ 即时，等式也成立；‎ ‎∴由（1）（2）知，等式对任何都成立。‎ 练习：用数学归纳法证明：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎2、用数学归纳法证明不等式 例1、求证：。‎ 证：（1）当时，左边，∴不等式成立；‎ ‎（2）假设当时不等式成立，‎ ‎ 即 ‎ 则当时，‎ ‎ 即时，不等式也成立；‎ 由（1）（2）知，不等式对任何都成立。‎ 例2、求证：‎ 练习：‎ ‎（1）记 求证：。‎ 解：数学归纳法，放缩。‎ ‎（2）用数学归纳法证明：‎ ‎（3）设是互不相等的正数，且成等差数列，求证：(且)。‎ 证明：（1）当时，‎ 右边，‎ ‎∴不等式成立；‎ ‎（2）假设当时，不等式成立，即(且)，‎ 即(且)‎ 则当时，‎ 即时，不等式也成立；‎ ‎∴由（1）（2）知，不等式对任何且都成立。‎ ‎3、用数学归纳法证明整除性问题 例1、设，求证：能被整除。‎ 证：（1）当时，，能被整除；‎ ‎（2）假设当时成立，即能被整除，‎ 则当时，‎ 由假设能被整除，又是连续两个自然数的积，为偶数，也能被6整除，所以也能被整除；‎ 由（1）、（2）知，能被整除。‎ 例2、用数学归纳法证明：是的倍数。‎ 证：（1）当时，原式=，结论成立；‎ ‎（2）假设当时成立，即是13的倍数，‎ 则当时，‎ 由归纳假设知是13的倍数，又也是13的倍数，所以也是13的倍数；‎ 由（1）、（2）知，是的倍数 练习：用数学归纳法证明： （是正奇数）能被整除。‎ ‎4、数学归纳法证明数列问题 例1、在数列中，，用数学归纳法证明：。‎ 例2、在数列中，，且，求证：‎ 例3、在1与9之间插入个正数，使成等比数列，在1与9之间插入个正数，使成等差数列，设，，；‎ ‎（1）求、；‎ ‎（2）设，是否存在最大自然数，使对于都有 被整除，试说明理由。‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎ （2）‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ 由此猜想：最大自然数；‎ 用数学归纳法证明上述猜想：‎ ‎（1）当时，猜想显然成立；‎ ‎（2）假设当时成立，即能被整除，‎ 则当时，‎ 由归纳假设知能被整除，又也能被64整除，所以也能被整除；‎ 由（1）、（2）知，能被整除；‎ 又因为，所以存在最大自然数，使能被整除。‎ 例4、是否存在常数，使等式对一切自然数都成立，并证明你的结论。‎ 解：假设存在常数使题设的等式成立，这时 ‎（1）时，等式成立；‎ ‎（2）假设当时等式成立，‎ 即 则当时， ‎ ‎ ‎ 即时，等式也成立；‎ ‎∴由（1）（2）知，等式对任何都成立。‎ 综上所述，当时，题设的等式对一切自然数都成立。‎ ‎7、6 归纳—猜想—论证 例1、依次计算数列 1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，的前四项的值，由此猜测 的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 猜想 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立；‎ ‎（2）假设当时等式成立，即：‎ ‎；‎ ‎ 那么当时,‎ ‎ ‎ ‎ 即当时，等式也成立,‎ ‎ ∴由(1)和(2)可以判定，等式对任何都成立。‎ 例2、已知数列，设为该数列前n项和，计算的值，根据计算结果猜测关于n的表达式，并用数学归纳法加以证明。‎ 解： ‎ ‎ ‎ 猜想 证明：（1）当时，左边右边=，等式成立；‎ ‎（2）假设当时等式成立，即：‎ ‎；‎ 那么当时,‎ ‎ 即当时，等式也成立,‎ ‎∴由(1)和(2)可以判定，等式对任何都成立。‎ 例3、设正数数列的前n项和为，猜想，并加以证明。‎ 解： 当n=1时，‎ 当n=2时，‎ 当n=3时，‎ ‎ 当n=4时，‎ ‎ 猜测：‎ ‎ 证明：（1）当时，左边=1，右边=1-0=1，等式成立；‎ ‎（2）假设当时等式成立，即：；‎ 那么当时,‎ ‎ 即当时，等式也成立,‎ ‎ ∴由(1)和(2)可以判定，等式对任何都成立 课堂练习：‎ ‎1、数列满足，猜测，并用数学归纳法证明。‎ ‎ ‎ 解： （证明略） ‎ ‎2、已知数列，前项和，猜测，并用数学归纳法证明。‎ 解： （证明略）‎ ‎3、数列是正数数列，其前n 项的和为，并对所有自然数n, 与2的等差中项等于与2的等比中项，猜测，并用数学归纳法证明。‎ 解： （证明略）‎ ‎4、已知数列满足，猜测，并用数学归纳法证明。‎ 解： ‎ ‎7、7 数列的极限 ‎1、数列极限的描述性定义 请考察下列的无穷数列，并观察当无限增大时，项的变化趋势：‎ ‎（1） ； ‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎(1)“项”随的增大而减小，当无限增大时，相应的项可以“无限趋近”于常数。‎ ‎(2)“项”正负交错地排列，当无限增大时，相应的项可以“无限趋近”于常数。‎ ‎(3)“项”随的增大而增大，当无限增大时，相应的项可以“无限趋近”于常数。‎ 数列极限的描述性定义：‎ 一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项无限趋近于一个常数，那么叫做数列的极限，或叫做数列收敛于，记作，读作“趋向于无穷大时，的极限等于”；‎ 问题1、是不是每个数列都有极限呢？ ‎ ‎ 答：不是，如；‎ 问题2、下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限；‎ ‎（1）；‎ ‎（2）无穷数列：； ‎ 答：（1）没极限； （2）有极限，极限是。‎ ‎2、掌握三个常用极限：‎ ‎ A）； ‎ ‎ B) ；‎ ‎ C) 当时，；‎ 注：‎ 例1、判断是否存在极限，并说明理由。‎ 例2、下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？‎ ‎ 1） ‎ ‎ 2） ‎ ‎3） ‎ ‎4）‎ 解：1）：0,1,0,1,0,1,…… 不存在极限 ‎2）： 极限为0‎ ‎3）： 极限为0‎ ‎4）：先考察： 无限趋近于0‎ ‎ ∴ 数列的极限为 ‎3、数列极限的运算法则 如果 ， ，那么 ‎1）；‎ ‎2）； ‎ ‎3）；‎ ‎4）‎ 说明：两个数列的和、积的极限的运算性质可推广到任意有限个数列的情况，‎ ‎ 若 ， ， ， 那么 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例1、求下列各式的极限 ‎1）、；‎ ‎2）、；‎ 例2、求下列各式的极限 ‎1）、；‎ ‎2）；‎ ‎3）；‎ ‎4）‎ ‎5）‎ 例3、求下列各式的极限 ‎1） ‎ ‎2） ‎ ‎3） ‎ 例4、求下列各式的极限 ‎1）‎ ‎2）‎ 解：‎ ‎3）。‎ 例5、已知，求常数的值。‎ 解：。‎ 例6、已知，求的取值范围。‎ 解：‎ 例7、首项为1，公比为的等比数列的前项的和为，又设，求 解： ‎ 当时， 当时，不存在 当时， ‎ 当时， ‎ 例8、若，求的取值范围。‎ 解：，要使该式有极限，且极限为 ‎ ‎ ‎7.8 无穷等比数列各项的和 ‎1、无穷等比数列各项和的概念 已知等比数列，求这个数列的前n项和；‎ 并求当时，这个和的极限。‎ 解：公比 , ‎ ‎ ‎ 解释：“无穷递缩等比数列”‎ ‎1° 数列本身是无穷等比数列；‎ ‎2° 当 | q | <1时，数列单调递减，故称“递缩”；‎ 无穷等比数列前n项和是 ‎ 当时， ‎ 我们把的无穷等比数列的前项和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即 ‎ 说明：只有当时，无穷等比数列各项的和才有意义。‎ ‎ 当时，不存在，也就不存在，因此在使用公式 ‎ 时，必须强调。‎ 例1、求无穷数列各项和。‎ 解： ‎ 例2、化下列循环小数为分数：‎ ‎1） 2） 3）‎ 解：1）‎ ‎2）‎ ‎ 3）‎ 例3、某无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。‎ 解：设首项为 ，公比为 ，( ) 则 ‎ ‎ ‎∴各项的立方和：‎ 例4、已知无穷等比数列的各项的和是，求首项的取值范围。‎ 解： ‎ ‎ ‎ 例5、一个无穷等比数列的每一项都是它后面所有项的和的4倍，且，求它的所有偶数项的和。‎ ‎ 解：‎ ‎ 所有偶数项的和 例6、若在无穷等比数列中，所有奇数项之和为36，所有偶数项之和为12，问此数列从第几项开始，每项都小于。‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ 从第7项开始，每项都小于。‎ 例7、正方形的边长等于1，联接这个正方形各边的中点得到一个小正方形 ‎ ‎；又联接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形 ；如此无限继续下去。求所有这些正方形的周长的和与面积的和。‎ 解：周长和；面积和。‎ 例8、如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为。若，求所有正方形的面积的和。‎ ‎ ‎ 解：‎ 例9、一动点由坐标原点出发，首先向右移动一个单位到,然后沿着原方向逆时针旋转的方向移动个单位到点。若照此继续下去，每次都沿逆时针旋转的方向，移动上次所移动距离的一半，求此动点的极限位置所对应的点的坐标。‎ 解：水平方向移动的代数和为 垂直方向移动的代数和为 极限点的坐标为 例10、设是正三角形边上一点，从向作垂线，垂足为，从向作垂线，垂足为，从向作垂线，垂足为，再由开始重复上述作法，得到，当时，无限接近于哪一点。‎ 解：当时，无限接近于上靠近的三等分点。‎ 例11、设数列中，，‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求；‎ ‎（3）求。‎ 解：（1） ； （2） ； （3）1。‎ 例12、已知数列满足，，数列是公比为的等比数列，，设，求。‎ 解：当时，；‎ ‎ 当时，。‎