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- 2021-06-23 发布
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课 题：49函数y=Asin(ωx+φ) 的图象（3）
教学目的：
1会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；
2会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象；
3会求一些函数的振幅、周期、最值等
教学重点：
1“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；
2图象变换过程的理解；
3一些相关概念
教学难点：多种变换的顺序
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．振幅变换:y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期
3 相位变换: 函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
二、讲解新课：
例1 画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图
解：(五点法)由T＝，得T＝π 列表：
x
–
2x+
0
π
2π
3sin(2x+
0
3
0
–3
0
描点画图：
左移个单位
这种曲线也可由图象变换得到：
纵坐标不变
横坐标变为倍
即：y＝sinx y＝sin(x＋)
纵坐标变为3倍
横坐标不变
y＝sin(2x＋) y＝3sin(2x＋)
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)
另外，注意一些物理量的概念:
A ：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：称为频率；
ωx＋：称为相位x＝0时的相位 称为初相
评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象
例2已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)其中｜｜＜的图象，那么
Aω＝，＝ Bω＝，＝－
Cω＝2，＝ Dω＝2，＝－
解析：由图可知，点(0，1)和点(，0)都是图象上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin＝1，即sin＝，又｜｜＜，∴＝
又由“五点法”作图可知，点(，0)是“第五点”，所以ωx＋＝2π，即ω·π＋＝2π，解之得ω＝2，故选C
解此题时，若能充分利用图象与函数式之间的联系，则也可用排除法来巧妙求解，即：
解：观察各选择答案可知，应有ω＞0
观察图象可看出，应有T＝＜2π，∴ω＞1 ，故可排除A与B
由图象还可看出，函数y＝2sin(ωx＋)的图象是由函数y＝2sinωx的图象向左移而得到的 ∴＞0，又可排除D，故选C
例3已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )
Ay＝2sin(3x－) By＝2sin(3x＋)
Cy＝2sin(＋) Dy＝2sin(－)
解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点(，2)和点(，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：
解得 答案：B
由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中
三、课堂练习：
1已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式
解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16
∴ω＝＝
又A＝ ∴y＝sin(x＋)
把(2，)代入上式得：＝sin(×2＋)·
∴sin(＋)＝1，而0＜＜2π ∴＝
∴所求解析式为：y＝sin(x＋)
2已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜）在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式
分析：由y＝Asin(ωx＋φ)的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求
解：由题意A＝2，＝－ ∴T＝π＝，∴ω＝2
∴y＝2sin(2x＋)又x＝时y＝2
∴2＝2sin(2×＋)
∴＋＝ ＜
∴＝
∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋)
3若函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y＝sinx的图象，则有y＝f(x)是( )
Ay＝sin(2x＋)＋1 By＝sin(2x－)＋1
Cy＝sin(2x－)＋1 Dy＝sin(x＋)＋1
解析：由题意可知
y＝f［ (x＋)］－1＝sinx
即y＝f［ (x＋)］＝sinx＋1
令 (x＋)＝ｔ，则x＝2ｔ－
∴f(ｔ)＝sin(2ｔ－)＋1
∴f(x)＝sin(2x－)＋1 答案：B
4函数y＝3sin(2x＋)的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到 ( ) 答案：B
A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍
D向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍
四、小结 平移法过程：
作y=sinx（长度为2p的某闭区间）
得y=sin(x+φ)
得y=sinωx
得y=sin(ωx+φ)
得y=sin(ωx+φ)
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上
沿x轴平 移|φ|个单位
横坐标 伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短
沿x轴平 移||个单位
纵坐标伸 长或缩短
纵坐标伸 长或缩短
两种方法殊途同归
(1) y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换
（2）y=sinx周期变换 y=sinωx相位变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换
图a
五、课后作业：
1如图a是周期为2π的三角函数y＝f（x）的图象，那么f（x）可以写成( )
Asin（1＋x)
Bsin（－1－x）
图b
Csin（x－1）
Dsin（1－x）
2如图b是函数y＝Asin(ωx＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )
AA＝3，Ｔ＝，φ＝－
图c
BA＝1，Ｔ＝，φ＝－
CA＝1，Ｔ＝，φ＝－
图d
DA＝1，Ｔ＝，φ＝－
3如图c是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，它的解析式为( )
A B
图e
C D
4函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在同一周期内，当x＝时，有yｍax＝2，当x＝0时，有ymin＝－2，则函数表达式是
图f
5如图d是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜的一段图象，则函数f（x）的表达式为
6如图e，是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜的一段图象，则f（x）的表达式为
7如图f所示的曲线是y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式
图g
8函数y＝Asin（ωx＋φ）＋ｋ（A＞0，ω＞0）在同一周期内，当x＝时，y有最大值为，当x＝时，y有最小值－，求此函数的解析式
9已知f（x）＝sin（x＋θ）＋cos（x－θ）为偶函数，求θ的值
图h
10．由图g所示函数图象，求y＝Asin（ωx＋φ）
（｜φ｜＜π）的表达式
选题意图：考查数形结合的思想方法
11．函数y＝Asin(ωx＋φ）（｜φ｜＜π）的图象如图h，求函数的表达式
选题意图：考查数形结合的思想方法
参考答案：
1D 2B 3D 4y＝2sin(3x－)
52sin(3x＋) 6
7y＝2sin(2x＋) 8y＝
9θ＝kπ－，k∈Z
10 解：由图象可知A＝2
又（－，0）为五点作图的第一个点
因此2×（－）＋φ＝0，∴φ＝
因此所求函数表达式为y＝2sin(2x＋)
说明：在求y＝Asin（ωx＋φ）的过程中，A由函数的最值确定，ω由函数的周期确定，φ可通过图象的平移或“五点法”作图的过程确定
11 解：由函数图象可知A＝1
函数的周期为T＝2［3－（－1）］＝8，即＝8 ∴ω＝
又(－1，1)为“五点法”作图的第二个点
即（－1）＋φ＝，∴φ＝
∴所求函数表达式为y＝sin（x＋）
说明：如果利用点(－1，1)，（1，0），（3，－1）在函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象上，得到
，则很难确定函数关系式中的A、ω、φ
六、板书设计（略）
七、课后记：
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