2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（四）三角函数 7页

课时达标训练(四) 三角函数 A组 ‎1．(2019·如皋中学模拟)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a＝3，c＝5，B＝2A，求b的值；‎ ‎(2)若acos C＋c＝b，cos＝，求sin B的值．‎ 解：(1)由B＝2A得sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，‎ 由正弦定理和余弦定理可得b＝2a·.‎ 将a＝3，c＝5代入，得b＝2.‎ ‎(2)由acos C＋c＝b及正弦定理得，‎ sin Acos C＋sin C＝sin B，‎ 又sin B＝sin(A＋C)，所以sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin C，‎ 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin C，‎ 所以cos Asin C＝sin C，因为sin C≠0，所以cos A＝，‎ 又0＜A＜π，所以A＝.‎ 则0＜C＜，所以＜C＋＜.‎ 因为cos＝，‎ 所以sin＝ ＝.‎ 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin＝.‎ ‎2．(2019·淮阴中学模拟)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象上相邻两个对称轴之间的距离为π，且函数图象过点.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f(α)＝(α为锐角)，求sin的值．‎ 解：(1)由于函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象上相邻两个对称轴之间的距离为π，‎ 所以＝π，即T＝2π.‎ 又ω＞0，故ω＝＝1，所以f(x)＝2cos(x＋φ)．‎ 因为函数图象过点，‎ 所以f＝2cos＝－2，‎ 所以cos＝－1，‎ 所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，‎ 又－＜φ＜，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝2cos.‎ ‎(2)由f(α)＝，得cos＝.‎ 因为α为锐角，cos＞0，所以0＜α＋＜，‎ 所以sin＝ ＝，‎ 所以sin＝sin＝sin＝sin＝2sincos ‎＝2××＝.‎ ‎3．(2019·盐城中学)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，sin Asin Ccos B＝ksin2B(k∈R)．‎ ‎(1)若k＝，且b2＝ac，求sin的值；‎ ‎(2)若k＝1，求cos 2B的最小值．‎ 解：(1)由k＝得sin Asin Ccos B＝sin2B.‎ 在△ABC中，由＝＝得accos B＝b2，‎ 因为b2＝ac，‎ 所以cos B＝，又0＜B＜π，所以sin B＝＝，‎ 所以sin＝sin Bcos＋cos Bsin＝.‎ ‎(2)当k＝1时，sin Asin Ccos B＝sin2B.‎ 由正、余弦定理得ac·＝b2，化简得a2＋c2＝3b2，‎ 所以cos B＝＝≥＝.‎ 所以cos 2B＝2cos2B－1≥2×－1＝－，‎ 当且仅当a＝c时，cos 2B的最小值为－.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，若角α，β的顶点都为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，角α的终边经过点P，角β的终边经过点Q(sin2θ，－1)，且·＝－.‎ ‎(1)求cos 2θ的值；(2)求tan(α＋β)的值．‎ 解：(1)由·＝－，‎ 得sin2θ－cos2θ＝－，∴sin2θ＝2cos2θ－1，‎ 即＝cos 2θ，解得cos 2θ＝.‎ ‎(2)由(1)，知sin2θ＝＝，‎ 则cos2θ＝，‎ 得P，Q，‎ ‎∴tan α＝，tan β＝－3，‎ 故tan(α＋β)＝ ‎＝＝－.‎ B组 ‎1．(2019·南通等七市三模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin B＋sin C)．‎ ‎(1)求角C的值；‎ ‎(2)若a＝4b，求sin B的值．‎ 解：(1)由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin B＋sin C)及正弦定理＝＝，得a(a－b)＝(c－b)(b＋c)，‎ 即a2＋b2－c2＝ab.‎ 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得cos C＝.‎ 又0＜C＜π，所以C＝.‎ ‎(2)法一：由a＝4b及a2＋b2－c2＝ab，‎ 得c2＝16b2＋b2－4b2＝13b2，即c＝b.‎ 由正弦定理＝，得＝，‎ 所以sin B＝.‎ 法二：由a＝4b及正弦定理＝，得sin A＝4sin B.‎ 由A＋B＋C＝π，得sin(B＋C)＝4sin B，‎ 因为C＝，所以sin B＋cos B＝4sin B，‎ 即7sin B＝cos B.‎ 又sin2B＋cos2B＝1，所以sin2B＝，‎ 因为在△ABC中，sin B＞0，所以sin B＝.‎ ‎2．已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ ，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．‎ 解：(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－.‎ ‎∴cos2x－sin 2x＝＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝ sin＋.‎ 由正弦定理，得＝，可得sin A＝，‎ ‎∴A＝.∴f(x)＋4cos＝sin－.‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴2x＋∈.‎ ‎∴－1≤f(x)＋4cos≤－.‎ ‎∴f(x)＋4cos的取值范围为.‎ ‎3．(2019·南师附中、淮阴中学四月联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝8，cos B＝－，C＝.‎ ‎(1)求a；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 解：(1)因为cos B＝－，B∈(0，π)，‎ 所以sin B＝＝ ＝.‎ 在△ABC中，‎ sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin＝sin Bcos＋cos Bsin＝×＋×＝.‎ 由正弦定理得a＝＝＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，‎ cos A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos＝－cos Bcos＋sin Bsin＝×＋×‎ eq f( (2),2)＝.‎ cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝，‎ sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝，‎ 因此cos＝cos 2Acos－sin 2Asin＝×－×＝.‎ ‎4.如图所示，角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈，△AOB为正三角形．‎ ‎(1)若点C的坐标为，求cos∠BOC；‎ ‎(2)记f(θ)＝BC2，求函数f(θ)的解析式和值域．‎ 解：(1)因为点C的坐标为，‎ 根据三角函数的定义，‎ 得sin∠COA＝，cos∠COA＝.‎ 因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝.‎ 所以cos∠BOC＝cos ‎＝cos∠COAcos－sin∠COAsin ‎＝×－×＝.‎ ‎(2)因为∠AOC＝θ，所以∠BOC＝＋θ.‎ 在△BOC中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOC＝12＋12－2×1×1×cos＝2－2cos.‎ 因为0<θ<，所以<θ＋<.‎ 所以－