高考数学专题复习教案： 函数模型及其应用备考策略 3页

函数模型及其应用备考策略 主标题：函数模型及其应用备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：函数模型，分段函数，二次函数，备考策略 难度：4‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　利用图象刻画实际问题 ‎【例1】 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)．‎ 解析　小明匀速运动时，所得图象为一条直线段，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.‎ 答案　C ‎【备考策略】抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．‎ 考点二　二次函数模型 ‎【例2】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．‎ ‎(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；‎ ‎(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？‎ 解　(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.‎ 由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，‎ 所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．‎ ‎(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元．‎ 依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．‎ 令t＝(0≤t≤2)，‎ 则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，‎ 所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元.‎ ‎【备考策略】 二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．‎ 考点三　分段函数模型 ‎【例3】某旅游景点预计2016年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝ ‎(1)写出2016年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；‎ ‎(2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？‎ 解　(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，‎ 当2≤x≤12，且x∈N*时，‎ f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．‎ ‎(2)第x个月旅游消费总额为 g(x)＝ 即g(x)＝ ‎①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，解得x ‎＝5或x＝(舍去)．‎ 当1≤x＜5时，g′(x)＞0，当5＜x≤6时，g′(x)＜0，‎ ‎∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元)．‎ ‎②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)．‎ 综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．‎ 规律方法 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．‎ ‎(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．‎