高中数学必修1示范教案（1_1 方程的根与函数的零点 第2课时） 6页

第2课时 方程的根与函数的零点 复习 提出问题 ‎①已知函数f(x)=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围.‎ ‎②证明函数f(x)=x2+6x+10没有零点.‎ ‎③已知函数f(x)=2mx2-x+m有一个零点，求实数m的范围.‎ ‎④已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m的范围.‎ 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.‎ 讨论结果：①因为Δ=m2-4m<0或m=0,∴0≤m<4.‎ ‎②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点.‎ ‎③Δ=1-4m2=0或m=0,∴m=或m=或m=0.‎ ‎④Δ=16m2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1.‎ 导入新课 思路1.(情景导入)‎ 歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义.‎ 请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x轴的？‎ 学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0.‎ 思路2.(直接导入)‎ 教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点?‎ ‎②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.‎ 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.‎ 讨论结果：①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.‎ ‎②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.‎ 因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”‎ 应用示例 思路1‎ 例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.‎ 活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:‎ 因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0，及函数单调性.‎ 解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ f(x)‎ ‎-4‎ ‎-1.3069‎ ‎1.0986‎ ‎3.3863‎ ‎5.6094‎ ‎7.7918‎ ‎9.9450‎ ‎12.0794‎ ‎14.1972‎ 由表和图3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.‎ 图3-1-1-15 图3-1-1-16‎ 变式训练 证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.‎ 证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3,‎ ‎∴f(1)f(10)<0.‎ ‎∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.‎ ‎∵y=lgx为增函数，y=x-8是增函数，‎ ‎∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数.‎ ‎∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.‎ 点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.‎ 例2已知函数f(x)=3x+,‎ ‎(1)判断函数零点的个数.‎ ‎(2)找出零点所在区间.‎ 解：(1)设g(x)=3x,h(x)=,‎ 作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数.‎ 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x+有且仅有一个零点.‎ 图3-1-1-17‎ ‎(2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x∈(0,1).‎ 变式训练 证明函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.‎ 证明:利用计算机作出x，f(x)的对应值表：‎ x ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ f(x)‎ ‎-7.5‎ ‎-3‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎28‎ ‎48‎ ‎84‎ ‎172‎ 图3-1-1-18‎ 由表和图3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.‎ 设x1,x2∈(-∞,+∞),且x10.‎ ‎∴f(x1)-f(x2)<0.‎ ‎∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.‎ 则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.‎ 思路2‎ 例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.‎ 图3-1-1-19‎ 证明:如图3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,‎ ‎∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.‎ ‎∴函数y=2|x|-2有两个零点.‎ 要证恰有两个零点,‎ 需证函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为单调的.‎ ‎∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|-2可化为y=2x-1,‎ 下面证明f(x)=2x-1在(0，+∞)上为增函数.‎ 证明：设x1,x2为(0，+∞)上任意两实数，且00,2-x2-1<0.‎ ‎∴2 (2-x2-1)<0.‎ ‎∴f(x1)-f(x2)<0.‎ ‎∴f(x1)0.‎ ‎∴f(x1)-f(x2)>0.‎ ‎∴函数f(x)=x+-3在(0，1)上为减函数.‎ 同理函数f(x)=x+-3在(1，+∞)上为增函数.‎ ‎∴函数f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).‎ 图3-1-1-20‎ 点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n个零点，先找出有n个，再利用单调性证明仅有n个.‎ 例2已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是0、1、2,如图3-1-1-21，‎ 求证:b<0.‎ 图3-1-1-21‎ 活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:‎ 方法一：把零点代入，用a、c表示b.‎ 方法二：用参数a表示函数.‎ 证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,‎ 所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.‎ 所以a=,c=b.‎ 所以f(x)=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2).‎ 当x<0时，f(x)<0，所以b<0.‎ 证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).‎ 当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0.‎ 变式训练 函数y=ax2-2bx的一个零点为1，求函数y=bx2-ax的零点.‎ 答案:函数y=bx2-ax的零点为0、2.‎ 点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题.‎ ‎(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题.‎ ‎(2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化.‎ 知能训练 ‎1.函数f(x)=lgx-2x2+3的零点一定位于下列哪个区间?( )‎ A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎2.若函数f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零点，则实数m的取值范围是( )‎ A.［4］ B.(-∞,-2］∪［1,+∞)‎ C.［-1,2］ D.(-2,1)‎ ‎3.已知函数f(x)=－3x5－6x＋1,有如下对应值表：‎ x ‎-2‎ ‎-1.5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ f(x)‎ ‎109‎ ‎44.17‎ ‎1‎ ‎-8‎ ‎-107‎ 函数y＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？‎ 答案:1.B 2.B 3.(0，1),因为f(0)·f(1)<0.‎ 点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握.‎ 拓展提升 方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？‎ 分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.‎ 图3-1-1-22‎ 解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点.‎ ‎(2)通过证明函数的单调性,知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x∈(1,2).‎ 请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.‎ 课堂小结 ‎(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.‎ ‎(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.‎ 作业 课本P88练习2.‎ 设计感想 如何用数学语言描述“穿过”是本节的关键，本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言的区别,并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理.本节多次用计算机作图来感知函数零点，在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明，所以本节是数与形的完美统一.‎