高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第9课)直线与平面垂直(2) 6页

课 题：9．4直线和平面垂直 (二) ‎ 教学目的：‎ ‎1对直线与平面垂直的判定定理进一步加深理解，并应用此判定定理去处理有关垂直的问题；‎ ‎2 掌握直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题；能解决“当a∥α时，直线a与平面α的距离问题”；‎ 教学重点：直线与平面垂直的性质定理 教学难点：判定定理和性质定理的运用 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1直线和平面的位置关系 观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：‎ ‎（1）直线在平面内（无数个公共点）；‎ ‎（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；‎ ‎（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，‎ ‎2线面平行的判定 定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 推理模式：‎ ‎3线面平行的性质 定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 推理模式：‎ ‎4 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的 垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α ‎5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 讲解新课：‎ ‎1．直线和平面垂直的性质定理:‎ 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 ‎ 已知：如图， 求证：‎ 证明：（反证法）假定不平行于，则与相交或异面；‎ ‎（1）若与相交，设，‎ ‎∵ ‎ ‎∴过点有两条直线与平面垂直，‎ 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，‎ ‎∴与不相交；‎ ‎（2）若与异面，设，过作，‎ ‎∵ ∴ 又∵且，‎ ‎∴过点有直线和垂直于与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，‎ ‎∴与不异面，综上假设不成立， ‎ ‎∴．‎ ‎2．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．‎ ‎3．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．‎ 二、讲解范例：‎ 例1 已知直线平面，垂足为，直线，求证：在平面内 证明：设与确定的平面为，‎ 如果不在内，则可设，‎ ‎∵，∴，又∵，‎ 于是在平面内过点有两条直线垂直于，‎ 这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，‎ 所以一定在平面内 例2 已知一条直线和一个平面平行，求证直线上各点到平面的距离相等 证明：过直线上任意两点A、B分别引平面的垂线,垂足分别为 ‎∵ ∴‎ 设经过直线的平面为，‎ ‎∵// ∴ ∴四边形为平行四边形 ‎∴‎ 由A、B是直线上任意的两点，可知直线上各点到这个平面距离相等 例3．已知：a，b是两条异面直线，a^a，b^b，a∩b=，AB是a，b公垂线，交a于A，交b于B 求证：AB∥‎ 证明方法一：（利用线面垂直的性质定理）‎ 过A作∥b，则a，可确定一平面γ ‎∵AB是异面垂线的公垂线，‎ 即AB^a，AB^b ‎∴AB^ ‎ ‎∴AB^γ ‎∵a^α，b^β，a∩b=‎ ‎∴^a，^b ∴^ ‎∴^γ ∴AB∥‎ 证明方法二：（利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行）‎ ‎∵AB是异面直线a，b的公垂线，过AB与a作平面γ，γ∩a=m A B b a m n l α β γ g ‎∵a^a ∴a^m 又a^AB，ABÌγ ‎ ∴m∥AB 又过AB作平面g，g∩β=n 同理：n∥AB ‎ ∴m∥n，于是有m∥β 又a∩b= ∴m∥‎ ‎ ∴AB∥‎ 三、课堂练习：‎ ‎1．选择题 ‎ （1）直线与平面a内的两条直线都垂直，则直线与平面a的位置关系是 ‎ ‎ （A）平行 （B）垂直 （C）在平面a内 （D）无法确定 ‎ ‎ ‎ （2）对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：‎ ‎①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d 那么这样的直线b有（ ）‎ ‎（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条 答案：（1）D；（2）D ‎2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直 分析：用反证法，假设这两条异面直线同时和一个平面垂直，由直线和平面垂直的性质定理,那麽这两条直线平行，此与条件矛盾因此两条异面直线不能同时和一个平面垂直 ‎3．地面上有两根相距c米的直立旗杆，它们的长分别是a米，b米（b>a），求它们上端间的距离 分析：如图所示，ABC为直角三角形 ‎4．平行四边形ABCD所在平面a外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD 分析：由条件知，PO分别为等腰三角形PAC、PBD底边上的高，所以PO与AC、BD都垂直，从而PO与平面垂直由于AB、AD都在内，所以PO垂直于AB、AD ‎5．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．‎ ‎（1）求证：EF⊥平面GMC．‎ ‎（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．‎ 分析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；‎ 第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．‎ 解：（1）连结BD交AC于O，‎ ‎∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，‎ ‎∴EF⊥AC．‎ ‎∵AC∩GC＝C，‎ ‎∴EF⊥平面GMC．‎ ‎（2）可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG 四、小结 ：我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法．直线与平面垂直的性质定理，应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题 ‎ 五、课后作业：‎ ‎1．已知矩形ABCD的边长AB＝‎6cm，BC＝‎4cm，在CD上截取CE＝‎4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：‎ ‎（1）点C′到平面ABED的距离；‎ ‎（2）C′到边AB的距离；‎ ‎（3）C′到AD的距离．‎ 参考答案：‎ ‎（1）作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G，‎ 则C′H⊥AB，,可算得BE=4cm，HB=‎2cm，‎ ‎∴到平面ABED的距离为cm ‎⑵到平面AB的距离为cm ‎⑶到平面AD的距离为cm ‎2．如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．‎ 求证：BE不可能垂直于平面SCD．‎ 参考答案：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，‎ ‎∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．‎ ‎∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．‎ ‎∴ BE不可能垂直于平面SCD ‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎