2020高中数学 课时分层作业4 三角函数线及其应用 新人教A版必修4 5页

课时分层作业(四)　三角函数线及其应用 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．‎ 其中正确说法的个数为(　　)‎ A．1　　　　 B．2　　　　‎ C．3　　　　 D．0‎ C　[和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.]‎ ‎2．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有(　　)‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b C　[如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b＝OM＞0，a＝MP＜0，‎ c＝AT＜0，且MP＞AT.‎ ‎∴b＞a＞c，即c＜a＜b.]‎ ‎3．sin 3的取值所在的范围是(　　) ‎ ‎ 【导学号：84352035】‎ A. B. C. D. B　[因为＜3＜π；作出图形(如图)‎ 观察可知sin π＜sin 3＜sin，即0＜sin 3＜，故选B.]‎ ‎4．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α 5‎ 的值为(　　)‎ A. B. C. D.或 D　[由已知得角α的终边应落在直线y＝－x上，‎ 又0＜α＜2π，所以α＝或.]‎ ‎5．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是(　　)‎ A．cos 1＞cos 2＞cos 3 B．cos 1＞cos 3＞cos 2‎ C．cos 3＞cos 2＞cos 1 D．cos 2＞cos 1＞cos 3‎ A　[作出已知三个角的余弦线(如图)，‎ 观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.]‎ 二、填空题 ‎6．已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为________. 【导学号：84352036】‎ AT>MP>OM　[如图：‎ 因为θ∈，所以θ>，根据三角函数线的定义可知AT>MP>OM.]　‎ ‎7．下列四个命题中：‎ ‎①α一定时，单位圆中的正弦线一定；‎ ‎②单位圆中，有相同正弦线的角相等；‎ ‎③α和α＋π有相同的正切线；‎ ‎④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．‎ 其中正确命题的序号为________．‎ 5‎ ‎①④　[①正确．②错误．例如和有相同的正弦线，但是它们不相等，③错误．当α＝时，α＋π＝，这两个角都不存在正切线．④正确．]　‎ ‎8．函数y＝的定义域为________. ‎ ‎ 【导学号：84352037】‎ (k∈Z)　[因为2cos x－1≥0，‎ 所以cos x≥.如图：‎ 作出余弦值等于的角：－和，在图中所示的阴影区域内的每一个角x，其余弦值均大于或等于，因而满足cos x≥的角的集合为(k∈Z)．所以函数定义域为(k∈Z)．]‎ 三、解答题 ‎9．求函数y＝logsin x(2cos x＋1)的定义域．‎ ‎[解]　由题意得，要使函数有意义，则须如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求．‎ 所以所求函数的定义域为 .‎ ‎10．利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1. ‎ ‎【导学号：84352038】‎ ‎[证明]　在△OMP中，OP＝1，OM＝|cos α|，MP＝|sin α|，‎ 因为三角形两边之和大于第三边，‎ 所以|sin α|＋|cos α|≥1.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．在(0,2π)内，使得|sin x|＞|cos x|成立的x的取值范围是(　　)‎ A.∪ B. 5‎ C.∪ D.∪ C　[|sin x|＞|cos x|可转化为x的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知 在(0,2π)内，使得|sin x|＞|cos x|成立的x的取值范围是∪.]‎ ‎2．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[∵π＜3＜π，作出单位圆如图所示．‎ 设MP，OM分别为a，b.‎ sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0，‎ 所以sin 3－cos 3＞0.‎ 因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，‎ 所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0.‎ 故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]‎ ‎3．若θ∈，则sin θ的取值范围是________．‎ 　[作出角θ终边所在的区域(如图)‎ 观察正弦线的变化范围可知sin θ∈.]‎ ‎4．已知集合E＝{θ|cos θ＜sin θ，0≤θ＜2π}，F＝{θ|tan θ＜sin θ}，则E∩F 5‎ ‎＝________. 【导学号：84352039】‎ 　[结合正弦线、余弦线可知 E＝，‎ 而＜θ＜时，tan θ＞sin θ；θ＝时，tan θ不存在；π≤θ＜时，tan θ≥sin θ，‎ 所以F＝，‎ 所以E∩F＝.]‎ ‎5．利用三角函数线证明：若0＜α＜β＜，则有β－α＞sin β－sin α. ‎ ‎【导学号：84352040】‎ ‎[证明]　如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别为点M，N，则由三角函数线定义可知：‎ sin α＝NQ，sin β＝MP，过点Q作QH⊥MP于点H，于是MH＝NQ，则HP＝MP－MH＝sin β－sin α.‎ 由图可知HP＜＝β－α，‎ 即β－α＞sin β－sin α. ‎ 5‎