2020高考数学二轮复习练习：第三部分 回顾7 概率与统计含解析 7页

回顾7　概率与统计 ‎[必记知识]‎ ‎1．分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．‎ ‎3．排列数、组合数公式及其相关性质 ‎(1)排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m≤n，m，n∈N*)，A＝n！＝n(n－1)(n－2)…·2·1(n∈N*)．‎ ‎[提醒]　（1）在这个公式中m，n∈N*，且m≤n，并且规定0！＝1，当m＝n时，A＝n！.‎ ‎（2）A＝主要有两个作用：①利用此公式计算排列数；②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式.)‎ ‎(2)组合数公式 C＝＝＝(m≤n，n，m∈N*)．‎ ‎[提醒]　(1)公式C＝主要有两个作用：①利用此公式计算组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式.‎ ‎(2)组合数的性质,C＝C（m≤n，n，m∈N*），C＝C＋C（m≤n，n，m∈N*）.‎ ‎(3)排列数与组合数的联系,A＝CA.‎ ‎4．二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，‎ 右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．‎ ‎5．二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ ‎[提醒]　对于二项式定理应用时要注意 ‎(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.‎ ‎(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.‎ ‎(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.‎ ‎(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.‎ ‎6．概率的计算公式 ‎(1)古典概型的概率公式 P(A)＝；‎ ‎(2)互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；‎ ‎(3)对立事件的概率计算公式 P(A)＝1－P(A)．‎ ‎7．统计中四个数据特征 ‎(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；‎ ‎(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；‎ ‎(3)平均数：样本数据的算术平均数，‎ 即＝(x1＋x2＋…＋xn)；‎ ‎(4)方差与标准差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．‎ 标准差：‎ s＝.‎ ‎8．二项分布 ‎(1)相互独立事件的概率运算 ‎①事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．‎ ‎②若事件A1，A2，…，An相互独立，则这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．‎ ‎③事件A，B相互独立，则和，A与，与B也相互独立．‎ ‎(2)条件概率P(B|A)＝的性质 ‎①0≤P(B|A)≤1.‎ ‎②若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．‎ ‎③若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．‎ ‎(3)二项分布 如果在每次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P Cp0qn Cp1qn－1‎ ‎…‎ Cpkqn－k ‎…‎ Cpnq0‎ 我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并称p为成功概率．‎ ‎[提醒]　在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.‎ ‎9．正态分布 ‎(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx(即直线x＝a，‎ 直线x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.‎ ‎(2)正态曲线的特点 ‎①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．‎ ‎②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．‎ ‎③曲线在x＝μ处达到峰值 .‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为1.‎ ‎⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．‎ ‎⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．‎ ‎[提醒]　P（X≤a）＝1－P（X＞a）；P（X≤μ－a）＝P（X≥μ＋a）；P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．求解排列问题常用的方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列产生的空中 先整体，‎ 后局部 ‎“小集团”排列问题中，先整体，后局部 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.‎ ‎(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大；当k＞时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．‎ ‎(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎3．均值与方差的性质结论 ‎(1)均值的性质结论 ‎①E(k)＝k(k为常数)．‎ ‎②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ ‎③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．‎ ‎④若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．‎ ‎(2)方差的相关性质结论 ‎①D(k)＝0(k为常数)．‎ ‎②D(aX＋b)＝a2D(X)．‎ ‎③D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.‎ ‎④若X1，X2，…，Xn两两独立，则D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)．‎ ‎(3)两点分布与二项分布的均值与方差 ‎①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．　‎ ‎②若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．‎ ‎[必练习题]‎ ‎1．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为(　　)‎ A．62，62.5　　　　　　 B．65，62‎ C．65，63.5 D．65，65‎ 解析：选D.由图易知最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.‎ ‎2．在的展开式中，x的幂指数是非整数的项共有(　　)‎ A．18项 B．19项 C．20项 D．21项 解析：选C.展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)24－r·(x－)r＝Cx12－r(0≤r≤24，r∈N)，若x的幂指数是整数，则12－r为整数，所以r＝0，6，12，18，24，共可取5个值，因为的展开式中有25项，所以x的幂指数是非整数的项共有25－5＝20项，故选C.‎ ‎3．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是(　　)‎ A．7 B．－7‎ C．21 D．－21‎ 解析：选C.因为的展开式中各项系数之和为128，所以令x＝1，则2n＝128，解得n＝7，所以的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C(3x)7－r＝(－1)rC37－rx7－，令7－r＝－3，解得r＝6，所以的系数为(－1)6C×3＝21.故选C.‎ ‎4．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－40‎ C．40 D．80‎ 解析：选C.由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.‎ ‎5．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有(　　)‎ A．16种 B．18种 C．22种 D．37种 解析：选A.可分为两类，第一类：甲、乙两个盒子恰有一个被选中，有CC＝12种；第二类：甲、乙两个盒子都被选中，有CC＝4种，所以共有12＋4＝16种不同的情况，故选A.‎ ‎6．某彩票公司每天开奖一次，从1，2，3，4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有(　　)‎ A．14种 B．21种 C．24种 D．35种 解析：选B.第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情况，‎ 如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有3×1×3＋3×2×2＝21种．‎ ‎7．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在4号，5号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．‎ 解析：根据A球所在的位置可分三类：(1)若A球放在1号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×2×1＝6种不同的放法．(2)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×2×1＝6种不同的放法．(3)若A球放在2号盒子内，则B球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．‎ 答案：30‎ ‎8．已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)．记换好后袋中的白球个数为X，则X的数学期望E(X)＝________，方差D(X)＝________．‎ 解析：依题意可知X的可能取值为1，3，且P(X＝1)＝，P(X＝3)＝.故X的分布列为 X ‎1‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝1×＋3×＝，D(X)＝×＋×＝.‎ 答案：　 ‎ ‎