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- 2021-06-23 发布
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷七
一.选择题(36分,每小题6分)
1、 函数f(x)=的单调递增区间是
(A) (-∞,-1) (B) (-∞,1) (C) (1,+∞) (D) (3,+∞)
解:由x2-2x-3>0x<-1或x>3,令f(x)=, u= x2-2x-3,故选A
2、 若实数x, y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为
(A) 2 (B) 1 (C) (D)
解:B
3、 函数f(x)=
(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数
(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数
解:A
4、 直线椭圆相交于A,B两点,该圆上点P,使得⊿PAB面积等于3,这样的点P共有
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
解:设P1(4cosa,3sina) (00,所以只须求x-y的最小值。
令x-y=u代入x2-4y2=4中有3y2-2uy+(4-u2)=0
∵y∈R
∴⊿≥0
∴当时,u=,故|x|-|y|的最小值是
3、 使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 。
解:∵sin2x+acosx+a2≥1+cosx
∴
∵a<0,
∴当cosx=1时,函数有最大值
∴a2+a-2≥0a≤-2或a≥1
∵a<0
∴负数a的取值范围是(-∞,2]
一、 解答题(本题满分60分,每小题20分)
1、 已知点A(0,2)和抛物线y=x2+4上两点B、C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围。
解:设B点坐标为B(y12-4,y1),C点坐标为C(y2-4,y)
显然y12-4≠0,故 …………5分
∵AB⊥BC
∴KBC= -(y1+2)
∴
(2+y1)(y+y1)+1=0
y12+(2+y)y1+(2y+1)=0 …………10分
∵y1∈R
∴⊿≥0y≤0或y≥4 …………15分
∴当y=0时,点B的坐标为(-3,-1);当y=4时,点B的坐标为(5,-3),均满足题意。
故点C的纵坐标的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞)
2、 如图,有一列曲线P0, P1, P2, ……,已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形,Pk+1是对Pk进行如下操作得到的:将Pk的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…),记Sn为曲线Pk所围成图形面积。
①求数列{Sn}的通项公式;②求。
P0
P1
P2
解:①对P0进行操作,容易看出P0的每条边变成P1的4条边,故P1的边数为3×4;同样,对P1进行操作,P1的每条边变成P2的4条边,故P2的边数为3×42,从而不难得到Pn的边数为3×4n …………5分
已知P0的面积为S0=1,比较P1与P0,容易看出P1在P0
的每条边上增加了一个小等边三角形,其面积为,而P0有3条边,故S1=S0+3×=1+
再比较P2与P1,容易看出P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形,其面积为×,而P1有3×4条边,故S2=S1+3×4×=1++
类似地有:S3=S2+3×42×=1+++ …………5分
∴Sn=
=1+
= (※) …………10分
下面用数学归纳法证明(※)式
当n=1时,由上面已知(※)式成立,
假设当n=k时,有Sk=
当n=k+1时,易知第k+1次操作后,比较Pk+1与Pk,Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边三角形,其面积为,而Pk有3×4k条边。故
Sk+1=Sk+3×4k×=
综上所述,对任何n∈N,(※)式成立。
②
1、 设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件:
① 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
② 当x∈(0,2)时,f(x)≤
③ f(x)在R上的最小值为0。
求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x
解:∵f(x-4)=f(2-x)
∴函数的图象关于x= -1对称
∴ b=2a
由③知当x= -1时,y=0,即a-b+c=0
由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0
∴a= b= c=
∴f(x)= …………5分
假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x
取x=1时,有f(t+1)≤1(t+1)2+(t+1)+≤1-4≤t≤0
对固定的t∈[-4,0],取x=m,有
f(t +m)≤m
(t+m)2+(t+m)+≤m
m2-2(1-t)m+(t2+2t+1)≤0
≤m≤ …………10分
∴m≤≤=9 …………15分
当t= -4时,对任意的x∈[1,9],恒有
f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴m的最大值为9。 …………20分
另解:∵f(x-4)=f(2-x)
∴函数的图象关于x= -1对称
∴ b=2a
由③知当x= -1时,y=0,即a-b+c=0
由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0
∴a= b= c=
∴f(x)==(x+1)2 …………5分
由f(x+t)=(x+t+1)2≤x 在x∈[1,m]上恒成立
∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当x∈[1,m]时,恒成立
令 x=1有t2+4t≤0-4≤t≤0
令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当t∈[-4,0]时,恒有解 …………10分
令t= -4得,m2-10m+9≤01≤m≤9 …………15分
即当t= -4时,任取x∈[1,9]恒有
f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴ mmin=9 …………20分