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  • 2021-06-23 发布

河北省张家口市2020届高三下学期第二次模拟数学(理)试题 Word版含解析

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河北省张家口市2019-2020学年第二学期高三年级第二次模拟考试 理科数学 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到,再计算交集得到答案.‎ ‎【详解】,,则.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了解不等式,集合的交集,属于简单题.‎ ‎2.已知非零复数满足(其中是的共轭复数,是虚数单位),在复平面内对应点,则点的轨迹为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,根据化简得,利用复数相等即可求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 因为在复平面内对应点,‎ - 28 -‎ 所以,‎ 所以,‎ 即,‎ 因为非零复数,‎ 所以,‎ 故点的轨迹为,‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查了复数的几何意义,复数的乘法运算,复数相等,属于中档题.‎ ‎3.若函数的部分图象如图所示,则函数可能为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可知函数为奇函数,且当时,,逐项判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的函数值符号,结合排除法可得合适的选项.‎ ‎【详解】由图象可知函数为奇函数,且当时,.‎ 对于A选项,,该函数为偶函数,A - 28 -‎ 选项不符;‎ 对于C选项,函数为偶函数,C选项不符;‎ 对于B选项,,该函数为奇函数,且当时,,,此时,合乎题意;‎ 对于D选项,函数为奇函数,当时,,D选项不符.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的图象确定函数解析式,一般从函数的定义域、单调性、奇偶性、零点以及函数值符号来进行分析,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎4.已知为等差数列的前项和,若,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为,根据题意得出关于、的方程组,解出这两个量的值,进而可求得的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为,则,解得,‎ 因此,.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎5.已知向量,的夹角为,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 28 -‎ 根据向量运算结合三角恒等变换得到,得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,故.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了向量模,三角恒等变换,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎6.已知定义在上的函数满足对其定义域内任意、,都有成立,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,根据题意得出,推导出,进而可得出,由此可计算出所求代数式的值.‎ ‎【详解】由,得,‎ 构造函数,则,‎ 取,则,可得,‎ 令,所以,,即且,‎ 因此,.‎ 故选:A.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数求值,推导出是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎7.今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”,某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念,庆祝圆满完成“抗疫”任务,若恰好从中间往两边看都依次变低,则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将身高从低到高的9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,则9号定在正中间,两边是四个元素的定序排列,6号与9号分左右两边相邻,与6在同一边的另外3个元素(从1,2,3,4,5种任选3个)定序排列,另一边的四个元素定序排列, 最后根据古典概型的概率公式可得答案.‎ 身高最高 ‎【详解】将身高从低到高9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,‎ 则9号必须排在正中间,从其余8个人中任选4人排在9号的左边,剩下的4个人排在9号的右边,有种,‎ 当排名第四的6号排在最高的9号的左边时,从1,2,3,4,5中任选3个排在6号的左边,其余四个排在9号的右边,有种,同理当当排名第四的6号排在最高的9号的右边时,也有10种,‎ 所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种,‎ 所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了排列中的定序问题,考查了古典概型的概率公式,属于中档题.‎ ‎8.已知直线与椭圆:交于两点,点,分别是椭圆的右焦点和右顶点,若,则( )‎ - 28 -‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的另一焦点为,根据椭圆对称性可得四边形为平行四边形,得到,从而有,得到关系,利用,即可求出结论.‎ ‎【详解】设椭圆的另一焦点为,连,直线过原点,‎ 所以坐标原点为中点,互相平分,‎ 所以四边形为平行四边形,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及简单几何性质,注意椭圆定义在解题中的应用,属于基础题.‎ ‎9.为彻底打赢脱贫攻坚战,2020年春,某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5000斤,成本3000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为( )‎ A. 4万元 B. 5.5万元 C. 6.5万元 D. 10万元 - 28 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为,亩,种植总利润为万元,然后根据题意建立关于与的约束条件,得到目标函数,利用线性规划的知识求出最值即可.‎ ‎【详解】设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为,亩,种植总利润为万元,‎ 由题意可知,‎ 总利润 作出约束条件如下图阴影部分:‎ ‎ ‎ 联立解得,‎ 平移直线,当过点时,一年的种植总利润为取最大值5.5万元,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性规划,解题的关键是得到约束条件和目标函数,同时考查了作图的能力,属于中档题.‎ ‎10.如图所示,四边形是正方形,其内部8个圆的半径相等,且圆心都在正方形的对角线上,在正方形内任取一点,则该点取自阴影部分的概率为( )‎ - 28 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正方形的边长为1,圆的半径为r,根据圆心都在正方形的对角线上,建立边长与半径的关系,求得半径,进而求得8个圆的面积,再代入几何概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】设正方形的边长为1,圆的半径为r,‎ 因为圆心都在正方形的对角线上,‎ 如图所示:‎ ‎,‎ 即,‎ 解得,‎ 所以阴影部分的面积为:,‎ - 28 -‎ 所以该点取自阴影部分的概率为.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想方法,属于基础题.‎ ‎11.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,渐近线分别为,,过作与平行的直线交于点,若,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设,则,联立直线与,得到点的坐标,由,得到,再根据两点间的距离公式可得,从而可得离心率.‎ ‎【详解】不妨设,则,‎ 因为,,,‎ 联立,解得,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以,‎ 所以,所以,所以,所以,‎ 所以离心率.‎ 故选:C.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的焦点、渐近线、离心率,考查了平面向量的加、减法运算,属于中档题.‎ ‎12.对于函数(为自然对数的底数,),函数,给出下列结论:‎ ‎①函数的图象在处的切线在轴的截距为 ‎②函数是奇函数,且在上单调递增;‎ ‎③函数存在唯一的极小值点,其中,且;‎ ‎④函数存在两个极小值点,和两个极大值点,且.‎ 其中所有正确结论的序号是( )‎ A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,写出切线点斜式方程,化简可判断①;由的定义域,即可判断②;构造函数,通过判断的单调性,得到的解,即可判断③;求出,进而求出的单调区间,极值点,根据对称性即可判断④.‎ ‎【详解】对于①,,‎ 函数的图象在处的切线方程为,‎ 令,即所求的切线在轴上的截距为,‎ 所以①正确;‎ 对于②,,‎ 定义域不关于原点对称,所以不是奇函数,所以②不正确;‎ 对于③,,当,‎ 当,设,‎ - 28 -‎ 时,为增函数,‎ 又恒成立,‎ 在上单调递增,‎ 即在上单调递增,‎ ‎,‎ ‎,所以存在唯一的,‎ 使得,当,‎ 所以时,取得极小值,所以③正确;‎ 对于④,,‎ 显然不是极值点,取的定义域为,‎ 此时为奇函数,‎ 为偶函数,‎ ‎,令,‎ 转化为求与在的交点,‎ 画出两函数图象,如下图所示,‎ 与在为奇函数,‎ 两函数图象有四个交点,与均关于原点对称,‎ - 28 -‎ 当时,,‎ ‎,‎ 所以时,取得极大值,时,取得极小值,‎ 当时,时偶函数,,‎ ‎,‎ 所以时,取得极大值,时,取得极小值,‎ 此时,所以④正确.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的综合应用,涉及到导数的几何意义、单调性、极值,注意函数对称性的应用,考查数形结合思想,以及直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.‎ 二填空题.‎ ‎13.如图,某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作,两只胳膊的夹角为,拉力大小均为,若使身体能向上移动,则拉力的最小整数值为______N.(取重力加速度大小为,)‎ ‎【答案】405‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的加法运算,两个拉力的合力大于体重即可.‎ ‎【详解】设是两个拉力,合力为,由于,在菱形中知,所以,,所以的最小整数为405.‎ 故答案为:405.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查向量加法的物理意义,力的合成与向量加法是等价的.‎ ‎14.已知各项均为正数的数列的前项和为,若,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列通项与前n项和的关系得到,代入,化简得到,再利用等比数列的定义求解.‎ ‎【详解】由,‎ 代入,‎ 得:,‎ 即:,‎ 因为数列是正数数列,‎ 所以,‎ 所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项与前n - 28 -‎ 项和的关系以及等比数列的大于和通项公式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎15.若函数在区间上恰好有一个零点,则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可转化为函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点,根据函数单调性及图象可求a的范围,利用在上单调递增即可求解.‎ ‎【详解】依题意,函数在区间,上有零点等价于方程在区间,上恰有一个根,函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点,‎ 函数关于对称,在上有最小值,时,,,‎ 函数,令,‎ 当时,由复合函数单调性知单调递减,当时,,‎ 所以函数和函数的图象在区间上无交点,‎ 当时,由复合函数单调性知单调递增,如图,‎ - 28 -‎ 由图可知,当,时,函数图象恰好有1个交点,‎ 此时,‎ 解得,‎ 因为在上单调递增,‎ 所以,即的最小值为,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点,函数图象的交点,函数的单调性,转化思想,分类讨论,利用函数单调性求最值,属于难题.‎ ‎16.已知直三棱柱的顶点都在球的表面上,四边形的面积为.若是等边三角形,则球体积的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三棱柱是正三棱柱,得到外接球的球心为上下底面中心连线的中点,由四边形的面积为,得到底面边长和高的关系,然后利用基本不等式求得半径的最小值,再代入球的体积公式求解.‎ ‎【详解】如图所示:‎ - 28 -‎ 因为三棱柱是正三棱柱,‎ 所以外接球的球心为上下底面中心连线的中点,‎ 设外接球的半径为R,底面边长为a,高为h,‎ 因为四边形的面积为.‎ 所以ah=,‎ 所以,‎ 当且仅当,即时,取等号,‎ 所以,‎ 所以球体积最小值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球问题以及基本不等式的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题 ‎17.如图,在中,点在边上,,,‎ - 28 -‎ ‎.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】(1)3(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求出,再由正弦定理求出;‎ ‎(2)在中由余弦定理求出,再由面积公式计算可得;‎ ‎【详解】解:(1)因为在中,,,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以.‎ 在中,,,,‎ 由正弦定理得,‎ 所以,‎ 解得.‎ - 28 -‎ ‎(2)在中,,,,‎ 出余弦定理得,‎ 所以,‎ 整理得,‎ 解得或(舍),所以.‎ ‎.‎ 即的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用,属于中档题.‎ ‎18.已知四边形是梯形,如图,,,,为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置(如图2),且 ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 28 -‎ ‎(1)连接,取的中点,连接,,,作于,根据勾股定理逆定理得到,证明平面,得到答案.‎ ‎(2)以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,计算平面的一个法向量为,再利用向量夹角公式得到答案.‎ ‎【详解】(1)连接,因为,,,为的中点,,所以四边形是边长为1的正方形,且.‎ 取的中点,连接,,,因为,所以,,,‎ 作于,则 因为,,,所以,故.‎ 因为,所以平面.‎ 因平面,所以平面平面.‎ ‎(2)由(1)知平面,.以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ - 28 -‎ 因为,所以,,,,,,‎ 设平面的一个法向量为,则得 即,令,则,,所以.‎ 因为,设与平面所成的角为,‎ 则,‎ 即与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直,线面夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力,建立坐标系是解题的关键.‎ ‎19.已知抛物线:的焦点为,直线:与抛物线交于,两点.‎ ‎(1)若,求直线的方程;‎ ‎(2)过点作直线交抛物线于,两点,若线段,的中点分别为,,直线与轴的交点为,求点到直线与距离和的最大值.‎ - 28 -‎ ‎【答案】(1)或(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直线方程和抛物线方程联立,可得由利用韦达定理求得即可得出结果.‎ ‎(2)由(1)中韦达定理可求得点坐标为,直线,且均过焦点为,可求,进而求得直线的方程,得到的坐标为(3,0),设点到直线和的距离分别为,,由利用基本不等式性质,即可求得结果.‎ ‎【详解】解:(1)由已知得,‎ 直线:与联立消,得.‎ 设,,则,.‎ 由,得,‎ 即,得,‎ 所以或.‎ 所以直线的方程为或 ‎(2)由(1)知,所以,所以.‎ 因为直线过点且,所以用替换得.‎ 当时,:,‎ 整理化简得,‎ 所以当时,直线过定点(3,0);‎ - 28 -‎ 当时,直线的方程为,过点(3,0).‎ 所以点的坐标为(3,0)‎ 设点到直线和的距离分别为,,由,,得.‎ 因为,所以,当且仅当时,等号成立,‎ 所以点到直线和的距离和的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查韦达定理在直线和抛物线的位置关系中的应用,考查在求最值中的应用,属于难题.‎ ‎20.某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率,随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩,得到如图所示的频率分布直方图:‎ ‎(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);‎ ‎(2)根据整个年级的数学成绩,可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布经计算,(1)问中样本标准差的近似值为10.用样本平均数作为的近似值,用样本标准差作为的估计值,现任抽取一位学生,求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率.‎ 参考数据:若随机变量,则,,‎ ‎(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习,提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性,特意在微信上设计了一个每日作业小程序,每当学生提交的作业获得优秀时,就有机会参与一次小程序中“玩游戏,得奖励积分”的活动,开学后可根据获得积分的多少领取老师相应的小奖品.小程序页面上有一列方格,共15格,刚开始有只小兔子在第1‎ - 28 -‎ 格,每点一下游戏的开始按钮,小兔子就沿着方格跳一下,每次跳1格或跳2格,概率均为,依次点击游戏的开始按钮,直到小兔子跳到第14格(奖励0分)或第15格(奖励5分)时,游戏结束,每天的积分自动累加,设小兔子跳到第格的概率为,试证明是等比数列,并求的值.(获胜的概率)‎ ‎【答案】(1)74(2)0.8186(3)见解析,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据频率分布直方图直接结算即可;‎ ‎(2)由可知,根据参考数据,即可得出的概率;‎ ‎(3)根据分类加法计数原理可知,构造等比数列可得,‎ 利用累加法求出,即可求解.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎(2)由,所以,‎ ‎.‎ ‎(3)小兔子开始在第1格,为必然事件,,‎ 点一下开始按钮,小兔子跳1格即移到第2格的概率为,即,‎ 小兔子移到第格的情况是下列两种,而且也只有两种情况.‎ ‎①小兔子先跳到第格,又点一下开始按钮跳了2格,其概率为;‎ ‎②小兔了先跳到第格,乂点一下开始按钮跳了1格,其概率为;‎ 因为,所以.‎ - 28 -‎ 所以当时,‎ 数列是以为首项,以为公比的等比数列,‎ 所以,‎ ‎.‎ 所以获胜的概率.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图,利用频率分布直方图求平均值,正态分布,等比数列,数列的递推关系,累加法,属于难题.‎ ‎21.已知函数(自然对数的底数)有两个零点.‎ ‎(1)求实数的取值范围;‎ ‎(2)若的两个零点分别为,证明:.‎ ‎【答案】(1).(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将有两个零点问题,转化为有两个零点,利用研究的单调性和零点,由此求得的取值范围.‎ ‎(2)将所要证明的不等式转化为证明,构造函数,利用证得,由此证得不等式成立.‎ ‎【详解】(1)有两个零点,等价于有两个零点,令,则 - 28 -‎ 在时恒成立,所以在时单调递增,‎ 所以有两个零点,等价于有两个零点.‎ 因为所以 ‎①当时,,单调递增,不可能有两个零点;‎ ‎②当时,令,得,单调递增;令,得,单调递减.‎ 所以.‎ 若,得,此时恒成立,没有零点;‎ 若,得,此时有一个零点;‎ 若,得,因为,且,,所以在,上各存在一个零点,符合题意.‎ 综上,当时,函数有两个零点,‎ 即若函数有两个零点,则的取值范围为.‎ ‎(2)要证,只需证,即证,‎ 由(1)知,,所以只需证.‎ 因为,,所以,,‎ 所以,只需证.‎ 设,令,则,所以只需证,即证.‎ 令,,则,.‎ 即当时,成立.‎ - 28 -‎ 所以,即,‎ 即.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点,考查利用导数证明不等式,属于难题.‎ ‎(二)选考题:请考生在22、23两题中任选一题作答.‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线:,点的极坐标为,圆的圆心在极轴上,且过,两点.‎ ‎(1)求圆的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线,分别交于异于原点的点,,求线段的中点的直角坐标方程.‎ ‎【答案】(1).(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设圆的直径长为,根据题意得到,解得答案.‎ ‎(2)设,,,则,化简得到答案.‎ ‎【详解】(1)设圆的直径长为,因为点的极坐标为,的圆心在极轴上,且过,两点,所以,解得,所以圆的极坐标方程为.‎ ‎(2)由已知得直线的极坐标方程为,设,,,‎ 则,,,‎ - 28 -‎ 因为,所以点的极坐标方程为.‎ 因为,,,所以,‎ 即.‎ 即线段的中点的直角坐标方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程,参数方程,意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知,,均正实数,且,证明:‎ ‎(1)‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先根据题意得到,,均为正数,将左边式子转换为,再展开式子利用基本不等式即可证明。‎ ‎(2)首先利用三元基本不等式得到,从而得到,再利用三元基本不等式即可证明。‎ ‎【详解】(1)因为,,均为正实数,且,‎ 所以,,均为正数.‎ 所以 - 28 -‎ ‎.‎ 所以,当且仅当时,等号成立.‎ ‎(2)因为,,均为正实数,且,所以,‎ 所以,即,当且仅当时,等号成立.‎ 因为.‎ 所以.‎ 当且仅当时,等号成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的证明,利用基本不等式和三元基本不等式为解决本题的关键,属于中档题。‎ - 28 -‎