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- 2021-06-23 发布
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河北省张家口市2019-2020学年第二学期高三年级第二次模拟考试
理科数学
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式得到,再计算交集得到答案.
【详解】,,则.
故选:C.
【点睛】本题考查了解不等式,集合的交集,属于简单题.
2.已知非零复数满足(其中是的共轭复数,是虚数单位),在复平面内对应点,则点的轨迹为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意,根据化简得,利用复数相等即可求解.
【详解】因为,
所以,
因为在复平面内对应点,
- 28 -
所以,
所以,
即,
因为非零复数,
所以,
故点的轨迹为,
故选:B
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义,复数的乘法运算,复数相等,属于中档题.
3.若函数的部分图象如图所示,则函数可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由图象可知函数为奇函数,且当时,,逐项判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的函数值符号,结合排除法可得合适的选项.
【详解】由图象可知函数为奇函数,且当时,.
对于A选项,,该函数为偶函数,A
- 28 -
选项不符;
对于C选项,函数为偶函数,C选项不符;
对于B选项,,该函数为奇函数,且当时,,,此时,合乎题意;
对于D选项,函数为奇函数,当时,,D选项不符.
故选:B.
【点睛】本题考查利用函数的图象确定函数解析式,一般从函数的定义域、单调性、奇偶性、零点以及函数值符号来进行分析,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
4.已知为等差数列的前项和,若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为,根据题意得出关于、的方程组,解出这两个量的值,进而可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为,则,解得,
因此,.
故选:D.
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查计算能力,属于基础题.
5.已知向量,的夹角为,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
- 28 -
根据向量运算结合三角恒等变换得到,得到答案.
【详解】
,故.
故选:C.
【点睛】本题考查了向量模,三角恒等变换,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
6.已知定义在上的函数满足对其定义域内任意、,都有成立,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数,根据题意得出,推导出,进而可得出,由此可计算出所求代数式的值.
【详解】由,得,
构造函数,则,
取,则,可得,
令,所以,,即且,
因此,.
故选:A.
- 28 -
【点睛】本题考查抽象函数求值,推导出是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.
7.今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”,某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念,庆祝圆满完成“抗疫”任务,若恰好从中间往两边看都依次变低,则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将身高从低到高的9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,则9号定在正中间,两边是四个元素的定序排列,6号与9号分左右两边相邻,与6在同一边的另外3个元素(从1,2,3,4,5种任选3个)定序排列,另一边的四个元素定序排列, 最后根据古典概型的概率公式可得答案.
身高最高
【详解】将身高从低到高9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,
则9号必须排在正中间,从其余8个人中任选4人排在9号的左边,剩下的4个人排在9号的右边,有种,
当排名第四的6号排在最高的9号的左边时,从1,2,3,4,5中任选3个排在6号的左边,其余四个排在9号的右边,有种,同理当当排名第四的6号排在最高的9号的右边时,也有10种,
所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种,
所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为.
故选:A.
【点睛】本题考查了排列中的定序问题,考查了古典概型的概率公式,属于中档题.
8.已知直线与椭圆:交于两点,点,分别是椭圆的右焦点和右顶点,若,则( )
- 28 -
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆的另一焦点为,根据椭圆对称性可得四边形为平行四边形,得到,从而有,得到关系,利用,即可求出结论.
【详解】设椭圆的另一焦点为,连,直线过原点,
所以坐标原点为中点,互相平分,
所以四边形为平行四边形,,
,
.
故选:D.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及简单几何性质,注意椭圆定义在解题中的应用,属于基础题.
9.为彻底打赢脱贫攻坚战,2020年春,某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5000斤,成本3000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为( )
A. 4万元 B. 5.5万元 C. 6.5万元 D. 10万元
- 28 -
【答案】B
【解析】
【分析】
设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为,亩,种植总利润为万元,然后根据题意建立关于与的约束条件,得到目标函数,利用线性规划的知识求出最值即可.
【详解】设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为,亩,种植总利润为万元,
由题意可知,
总利润
作出约束条件如下图阴影部分:
联立解得,
平移直线,当过点时,一年的种植总利润为取最大值5.5万元,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了线性规划,解题的关键是得到约束条件和目标函数,同时考查了作图的能力,属于中档题.
10.如图所示,四边形是正方形,其内部8个圆的半径相等,且圆心都在正方形的对角线上,在正方形内任取一点,则该点取自阴影部分的概率为( )
- 28 -
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设正方形的边长为1,圆的半径为r,根据圆心都在正方形的对角线上,建立边长与半径的关系,求得半径,进而求得8个圆的面积,再代入几何概型的概率公式求解.
【详解】设正方形的边长为1,圆的半径为r,
因为圆心都在正方形的对角线上,
如图所示:
,
即,
解得,
所以阴影部分的面积为:,
- 28 -
所以该点取自阴影部分的概率为.
故选:A
【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想方法,属于基础题.
11.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,渐近线分别为,,过作与平行的直线交于点,若,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
不妨设,则,联立直线与,得到点的坐标,由,得到,再根据两点间的距离公式可得,从而可得离心率.
【详解】不妨设,则,
因为,,,
联立,解得,所以,
因为,所以,
所以,所以,
所以,所以,所以,所以,
所以离心率.
故选:C.
- 28 -
【点睛】本题考查了双曲线的焦点、渐近线、离心率,考查了平面向量的加、减法运算,属于中档题.
12.对于函数(为自然对数的底数,),函数,给出下列结论:
①函数的图象在处的切线在轴的截距为
②函数是奇函数,且在上单调递增;
③函数存在唯一的极小值点,其中,且;
④函数存在两个极小值点,和两个极大值点,且.
其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】
求出,写出切线点斜式方程,化简可判断①;由的定义域,即可判断②;构造函数,通过判断的单调性,得到的解,即可判断③;求出,进而求出的单调区间,极值点,根据对称性即可判断④.
【详解】对于①,,
函数的图象在处的切线方程为,
令,即所求的切线在轴上的截距为,
所以①正确;
对于②,,
定义域不关于原点对称,所以不是奇函数,所以②不正确;
对于③,,当,
当,设,
- 28 -
时,为增函数,
又恒成立,
在上单调递增,
即在上单调递增,
,
,所以存在唯一的,
使得,当,
所以时,取得极小值,所以③正确;
对于④,,
显然不是极值点,取的定义域为,
此时为奇函数,
为偶函数,
,令,
转化为求与在的交点,
画出两函数图象,如下图所示,
与在为奇函数,
两函数图象有四个交点,与均关于原点对称,
- 28 -
当时,,
,
所以时,取得极大值,时,取得极小值,
当时,时偶函数,,
,
所以时,取得极大值,时,取得极小值,
此时,所以④正确.
故选:C.
【点睛】本题考查函数导数的综合应用,涉及到导数的几何意义、单调性、极值,注意函数对称性的应用,考查数形结合思想,以及直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.
二填空题.
13.如图,某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作,两只胳膊的夹角为,拉力大小均为,若使身体能向上移动,则拉力的最小整数值为______N.(取重力加速度大小为,)
【答案】405
【解析】
【分析】
根据向量的加法运算,两个拉力的合力大于体重即可.
【详解】设是两个拉力,合力为,由于,在菱形中知,所以,,所以的最小整数为405.
故答案为:405.
- 28 -
【点睛】本题考查向量加法的物理意义,力的合成与向量加法是等价的.
14.已知各项均为正数的数列的前项和为,若,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由数列通项与前n项和的关系得到,代入,化简得到,再利用等比数列的定义求解.
【详解】由,
代入,
得:,
即:,
因为数列是正数数列,
所以,
所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列,
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查数列通项与前n
- 28 -
项和的关系以及等比数列的大于和通项公式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
15.若函数在区间上恰好有一个零点,则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可转化为函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点,根据函数单调性及图象可求a的范围,利用在上单调递增即可求解.
【详解】依题意,函数在区间,上有零点等价于方程在区间,上恰有一个根,函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点,
函数关于对称,在上有最小值,时,,,
函数,令,
当时,由复合函数单调性知单调递减,当时,,
所以函数和函数的图象在区间上无交点,
当时,由复合函数单调性知单调递增,如图,
- 28 -
由图可知,当,时,函数图象恰好有1个交点,
此时,
解得,
因为在上单调递增,
所以,即的最小值为,
故答案为:
【点睛】本题主要考查函数零点,函数图象的交点,函数的单调性,转化思想,分类讨论,利用函数单调性求最值,属于难题.
16.已知直三棱柱的顶点都在球的表面上,四边形的面积为.若是等边三角形,则球体积的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三棱柱是正三棱柱,得到外接球的球心为上下底面中心连线的中点,由四边形的面积为,得到底面边长和高的关系,然后利用基本不等式求得半径的最小值,再代入球的体积公式求解.
【详解】如图所示:
- 28 -
因为三棱柱是正三棱柱,
所以外接球的球心为上下底面中心连线的中点,
设外接球的半径为R,底面边长为a,高为h,
因为四边形的面积为.
所以ah=,
所以,
当且仅当,即时,取等号,
所以,
所以球体积最小值为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球问题以及基本不等式的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题
17.如图,在中,点在边上,,,
- 28 -
.
(1)求的长;
(2)求的面积.
【答案】(1)3(2)
【解析】
【分析】
(1)首先求出,再由正弦定理求出;
(2)在中由余弦定理求出,再由面积公式计算可得;
【详解】解:(1)因为在中,,,
所以,
又,
所以.
在中,,,,
由正弦定理得,
所以,
解得.
- 28 -
(2)在中,,,,
出余弦定理得,
所以,
整理得,
解得或(舍),所以.
.
即的面积为.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用,属于中档题.
18.已知四边形是梯形,如图,,,,为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置(如图2),且
(1)求证:平面平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
- 28 -
(1)连接,取的中点,连接,,,作于,根据勾股定理逆定理得到,证明平面,得到答案.
(2)以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,计算平面的一个法向量为,再利用向量夹角公式得到答案.
【详解】(1)连接,因为,,,为的中点,,所以四边形是边长为1的正方形,且.
取的中点,连接,,,因为,所以,,,
作于,则
因为,,,所以,故.
因为,所以平面.
因平面,所以平面平面.
(2)由(1)知平面,.以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
- 28 -
因为,所以,,,,,,
设平面的一个法向量为,则得
即,令,则,,所以.
因为,设与平面所成的角为,
则,
即与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了面面垂直,线面夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力,建立坐标系是解题的关键.
19.已知抛物线:的焦点为,直线:与抛物线交于,两点.
(1)若,求直线的方程;
(2)过点作直线交抛物线于,两点,若线段,的中点分别为,,直线与轴的交点为,求点到直线与距离和的最大值.
- 28 -
【答案】(1)或(2)
【解析】
【分析】
(1)直线方程和抛物线方程联立,可得由利用韦达定理求得即可得出结果.
(2)由(1)中韦达定理可求得点坐标为,直线,且均过焦点为,可求,进而求得直线的方程,得到的坐标为(3,0),设点到直线和的距离分别为,,由利用基本不等式性质,即可求得结果.
【详解】解:(1)由已知得,
直线:与联立消,得.
设,,则,.
由,得,
即,得,
所以或.
所以直线的方程为或
(2)由(1)知,所以,所以.
因为直线过点且,所以用替换得.
当时,:,
整理化简得,
所以当时,直线过定点(3,0);
- 28 -
当时,直线的方程为,过点(3,0).
所以点的坐标为(3,0)
设点到直线和的距离分别为,,由,,得.
因为,所以,当且仅当时,等号成立,
所以点到直线和的距离和的最大值为.
【点睛】本题考查韦达定理在直线和抛物线的位置关系中的应用,考查在求最值中的应用,属于难题.
20.某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率,随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)根据整个年级的数学成绩,可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布经计算,(1)问中样本标准差的近似值为10.用样本平均数作为的近似值,用样本标准差作为的估计值,现任抽取一位学生,求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率.
参考数据:若随机变量,则,,
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习,提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性,特意在微信上设计了一个每日作业小程序,每当学生提交的作业获得优秀时,就有机会参与一次小程序中“玩游戏,得奖励积分”的活动,开学后可根据获得积分的多少领取老师相应的小奖品.小程序页面上有一列方格,共15格,刚开始有只小兔子在第1
- 28 -
格,每点一下游戏的开始按钮,小兔子就沿着方格跳一下,每次跳1格或跳2格,概率均为,依次点击游戏的开始按钮,直到小兔子跳到第14格(奖励0分)或第15格(奖励5分)时,游戏结束,每天的积分自动累加,设小兔子跳到第格的概率为,试证明是等比数列,并求的值.(获胜的概率)
【答案】(1)74(2)0.8186(3)见解析,
【解析】
【分析】
(1)根据频率分布直方图直接结算即可;
(2)由可知,根据参考数据,即可得出的概率;
(3)根据分类加法计数原理可知,构造等比数列可得,
利用累加法求出,即可求解.
【详解】(1)
(2)由,所以,
.
(3)小兔子开始在第1格,为必然事件,,
点一下开始按钮,小兔子跳1格即移到第2格的概率为,即,
小兔子移到第格的情况是下列两种,而且也只有两种情况.
①小兔子先跳到第格,又点一下开始按钮跳了2格,其概率为;
②小兔了先跳到第格,乂点一下开始按钮跳了1格,其概率为;
因为,所以.
- 28 -
所以当时,
数列是以为首项,以为公比的等比数列,
所以,
.
所以获胜的概率.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图,利用频率分布直方图求平均值,正态分布,等比数列,数列的递推关系,累加法,属于难题.
21.已知函数(自然对数的底数)有两个零点.
(1)求实数的取值范围;
(2)若的两个零点分别为,证明:.
【答案】(1).(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)将有两个零点问题,转化为有两个零点,利用研究的单调性和零点,由此求得的取值范围.
(2)将所要证明的不等式转化为证明,构造函数,利用证得,由此证得不等式成立.
【详解】(1)有两个零点,等价于有两个零点,令,则
- 28 -
在时恒成立,所以在时单调递增,
所以有两个零点,等价于有两个零点.
因为所以
①当时,,单调递增,不可能有两个零点;
②当时,令,得,单调递增;令,得,单调递减.
所以.
若,得,此时恒成立,没有零点;
若,得,此时有一个零点;
若,得,因为,且,,所以在,上各存在一个零点,符合题意.
综上,当时,函数有两个零点,
即若函数有两个零点,则的取值范围为.
(2)要证,只需证,即证,
由(1)知,,所以只需证.
因为,,所以,,
所以,只需证.
设,令,则,所以只需证,即证.
令,,则,.
即当时,成立.
- 28 -
所以,即,
即.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点,考查利用导数证明不等式,属于难题.
(二)选考题:请考生在22、23两题中任选一题作答.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线:,点的极坐标为,圆的圆心在极轴上,且过,两点.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)若直线与曲线,分别交于异于原点的点,,求线段的中点的直角坐标方程.
【答案】(1).(2)
【解析】
【分析】
(1)设圆的直径长为,根据题意得到,解得答案.
(2)设,,,则,化简得到答案.
【详解】(1)设圆的直径长为,因为点的极坐标为,的圆心在极轴上,且过,两点,所以,解得,所以圆的极坐标方程为.
(2)由已知得直线的极坐标方程为,设,,,
则,,,
- 28 -
因为,所以点的极坐标方程为.
因为,,,所以,
即.
即线段的中点的直角坐标方程为.
【点睛】本题考查了极坐标方程,参数方程,意在考查学生的计算能力和转化能力.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知,,均正实数,且,证明:
(1)
(2).
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)首先根据题意得到,,均为正数,将左边式子转换为,再展开式子利用基本不等式即可证明。
(2)首先利用三元基本不等式得到,从而得到,再利用三元基本不等式即可证明。
【详解】(1)因为,,均为正实数,且,
所以,,均为正数.
所以
- 28 -
.
所以,当且仅当时,等号成立.
(2)因为,,均为正实数,且,所以,
所以,即,当且仅当时,等号成立.
因为.
所以.
当且仅当时,等号成立.
【点睛】本题主要考查不等式的证明,利用基本不等式和三元基本不等式为解决本题的关键,属于中档题。
- 28 -
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