高考数学专题复习教案： 函数的单调性与最值易错点 2页

函数的单调性与最值易错点 主标题：函数的单调性与最值易错点 副标题：从考点分析函数的单调性与最值易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。‎ 关键词：函数，单调性，最值，易错点 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容：‎ ‎【易错点】‎ ‎1．函数单调性定义的理解 ‎(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)‎ ‎(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)‎ ‎(3)函数f(x)＝在其定义域上是减函数．(×)‎ ‎(4)已知f(x)＝，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√)‎ ‎2．函数的单调区间与最值 ‎(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)‎ ‎(6)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)‎ ‎(7)函数y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(×)‎ ‎(8)函数f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为0.(×)‎ ‎[剖析]‎ ‎1．一个区别　“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．‎ ‎2．两个防范　一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；‎ 二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).‎ ‎【易错典例】f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是(　　)．‎ A．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8)‎ ‎[错解]　由题意知解得1＜a＜8.‎ ‎[答案]　D ‎[错因]　忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．‎ ‎[正解]　f(x)在R上单调递增，则有 解得：4≤a＜8.‎ ‎[答案]　B ‎[注意]　对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．‎