高考数学专题复习教案： 变化率与导数、导数的计算备考策略 3页

变化率与导数、导数的计算备考策略 主标题：变化率与导数、导数的计算备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：变化率，导数，导数计算，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　导数的计算 ‎【例1】 分别求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝ex·cos x；　　(2)y＝x－sin cos ；‎ ‎(3)y＝.‎ 解　(1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.‎ ‎(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，‎ ‎∴y′＝′＝1－cos x.‎ ‎(3)y′＝′＝ ‎＝＝ ‎＝.‎ ‎【备考策略】 (1)本题在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误；②不能正确运用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记对内层函数2x＋1进行求导．‎ ‎(2)求函数的导数应注意：‎ ‎①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；‎ ‎②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．‎ ‎③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．‎ 考点二　导数的几何意义 ‎【例2】 (1)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.‎ ‎(2)设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为____________________．‎ 解析　(1)函数y＝kx＋ln x的导函数y′＝k＋，‎ 由导数y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，则k＝－1.‎ ‎(2)因为f(x)＝xln x＋1，‎ 所以f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1.‎ 因为f′(x0)＝2，所以ln x0＋1＝2，‎ 解得x0＝e，所以y0＝e＋1.‎ 由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为y－(e＋1)＝2(x－e)，即2x－y－e＋1＝0.‎ 答案　(1)－1　(2)2x－y－e＋1＝0‎ ‎【备考策略】(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力．‎ ‎(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．‎ 考点三　导数运算与导数几何意义的应用 ‎【例3】设l为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方．‎ 审题路线　(1)求f′(1)点斜式求直线l的方程 ‎(2)构建g(x)＝x－1－f(x)g(x)>0对x>0且x≠1恒成立研究函数y ‎＝g(x)的性质―→获得结论 解　(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.‎ ‎∴f′(1)＝＝1，即切线l的斜率k＝1.‎ 由l过点(1,0)，得l的方程为y＝x－1.‎ ‎(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．‎ g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.‎ 当01时，x2－1>0，ln x>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．‎ 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．‎ 所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．‎ ‎【备考策略】 (1)准确求切线l的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线l的位置关系转化为函数g(x)＝x－1－f(x)在区间(0，＋∞)上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．‎ ‎(2)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.‎