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- 2021-06-23 发布
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章末检测
一、选择题
1.函数y=x2-2x-3的零点是( )
A.1,-3 B.3,-1 C.1,2 D.不存在
答案 B
解析 令x2-2x-3=0得x=-1或x=3,故选B.
2.已知下列四个函数图象,其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
答案 A
解析 由二分法的定义易知选A.
3.f(x)=x3-3x-3有零点的区间是( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
答案 D
解析 ∵f(2)=23-3×2-3=-1<0,f(3)=33-3×3-3=15>0,又f(x)在(2,3)上是连续的,故f(x)在(2,3)上有零点.
4.某产品的利润y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=-2x2+40x+300,则利润y取最大值时,产量x等于( )
A.10 B.20 C.30 D.40
答案 A
解析 y=-2(x-10)2+500,当x=10时,y取最大值.
5.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的( )
答案 B
解析 由鱼缸的形状可知,水的体积随着h的减小,先减少的慢,后减少的快,又减少的慢.
6.函数f(x)=的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 当x≤0时,令x2+2x-3=0,得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,得x=e2.所以函数有两个零点.故选C.
7.已知函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内( )
A.至少有一实根 B.至多有一实根
C.没有实根 D.必有唯一实根
答案 B
解析 由于f(a)f(b)<0,则f(a)<0<f(b)或f(b)<0<f(a),又函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则至多有一个实数x0∈[a,b],使f(x0)=0,即方程f(x)=0在区间[a,b]内至多有一实根.
8.函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 B
解析 ∵g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,
又当x=2时,f(x)=2ln 2=ln 4>1,
在同一直角坐标系内画出函数f(x)=2ln x与g(x)=x2-4x+5的图象,如图所示,可知f(x)与g(x)有两个不同的交点.故选B.
9.某商店将进价为40元的商品按50元一件销售,一个月恰好卖500件,而价格每提高1元,就会少卖10个,商店为使该商品利润最大,应将每件商品定价为( )
A.45元 B.55元
C.65元 D.70元
答案 D
解析 设每件商品定价为x元,利润为y元,则y=(x-40)·[500-10(x-50)]=-10x2+1 400x-40 000=-10(x-70)2+9 000,50≤x≤100,
则当每件商品定价为70元时,利润最大.
10.已知0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.与a的值有关
答案 A
解析 设y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出它们的图象如图所示.由图可知,有两个交点,故方程a|x|=|logax|有两个根.故选A.
二、填空题
11.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是________.
答案 (2,3)
解析 设f(x)=x3-2x-5,则f(2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有f(2)f(3)<0,则下一个有根区间是(2,3).
12.若函数f(x)=x2+2x-a的一个零点是-3,则f(x)的另一个零点是________.
答案 1
解析 ∵f(-3)=0,∴-3是f(x)=0的一个根,设f(x)的另一个零点为x,由方程根与系数的关系可知-3+x=-2,∴x=1.
13.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下5个模拟函数:
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x;⑤y=x+1.74.
请从中选择一个模拟函数,使它比较近似地反映这些数据的规律,应选________.
答案 ④
解析 画出散点图如图所示:由图可知上述点大体在函数y=log2x上(对于y=0.58x-0.16,可代入已知点验证不符合),故选择y=log2x可以比较近似地反映这些数据的规律.
14.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=t-a(a为常数),如图所示.根据图中所提供的信息,回答下列问题:
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室.
答案 (1)y= (2)0.6
解析 (1)设y=kt,由图象知y=kx过点(0.1,1),则1=k×0.1,k=10,∴y=10t(0≤t≤0.1);
由y=t-a过点(0.1,1)得1=0.1-a,
∴a=0.1,∴y=t-0.1(t>0.1).
(2)由t-0.1≤0.25=得t≥0.6,
故至少需经过0.6小时,学生才能回到教室.
三、解答题
15.已知函数f(x)图象是连续的,有如下表格:
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
-3.51
1.02
2.37
1.56
-0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
判断函数在哪几个区间上一定有零点.
解 因为函数的图象是连续不断的,
由对应值表可知f(-2)·f(-1.5)<0,f(-0.5)·f(0)<0,f(0)·f(0.5)<0.所以函数f(x)在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内一定有零点.
16.设函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2.
(1)求f(x);
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.
解 (1)∵f(x)的两个零点是-3和2,
∴函数图象过点(-3,0),(2,0),
∴有9a-3(b-8)-a-ab=0,①
4a+2(b-8)-a-ab=0.②
①-②得b=a+8.③
③代入②得4a+2a-a-a(a+8)=0,
即a2+3a=0.
∵a≠0,∴a=-3.
∴b=a+8=5.
∴f(x)=-3x2-3x+18.
(2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18.
=-32++18,
图象的对称轴方程是x=-,又0≤x≤1,
∴f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18,
∴函数f(x)的值域是[12,18].
17.某市出租车的计价标准是4 km以内10元(含4 km),超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/km,超出18 km的部分1.8元/km.
(1)如果不计等待时间的费用,建立车费与行车里程的函数关系式;
(2)如果某人乘车行驶了20 km,他要付多少车费?
解 (1)设行车里程为x,车费为y,由题意得
y=
=
(2)将x=20代入函数解析式,得
y=1.8×20-5.6=30.4(元)
即乘车20 km,要付费30.4元.
18.已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x).
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性.
(3)方程f(x)=x+1是否有实根?如果有实根x0,请求出一个长度为的区间(a,b),使x0∈(a,b);如果没有,请说明理由(注:区间(a,b)的长度为b-a).
解 (1)∵
∴-1<x<1,故函数的定义域为(-1,1).
(2)∵f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(3)由题意知方程f(x)=x+1等价于log2(1-x)-log2(1+x)=x+1,可化为(x+1)2x+1+x-1=0.
设g(x)=(x+1)2x+1+x-1,x∈(-1,1),
则g=×2--1=<0,
g(0)=2-1=1>0,
∴gg(0)<0,故方程在上必有实根.
又∵g=×2--1=
=>0,
∴gg<0,
故方程在上必有实根.
又∵区间长度--=,
∴满足题意的一个区间为.
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