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- 2021-06-23 发布
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2.2.1 条件概率
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
解析:由P(B|A)=得P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=.
答案:C
2.抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},则P(A|B)等于 ( )
A. B.
C. D.
解析:∵A∩B={2,5},∴n(AB)=2.
又∵n(B)=5,∴P(A|B)==.
答案:A
3.为考察某种药物预防疾病的效果,科研人员进行了动物试验,结果如下表:
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服药
20
30
50
总计
30
75
105
在服药的前提下,未患病的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:在服药的前提下,未患病的概率P==.
答案:C
4.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80,开关了1 5
6
000次后还能继续使用的概率是0.60,则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )
A.0.75 B.0.60
C.0.48 D.0.20
解析:记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A,记“开关了15 000次后还能继续使用”为事件B,根据题意,易得P(A)=0.80,P(B)=0.60,则P(AB)=0.60,由条件概率的计算方法,可得P(B|A)===0.75.
答案:A
5.某种动物活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4,则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( )
A.0.32 B.0.5
C.0.4 D.0.8
解析:记事件A表示“该动物活到20岁”,事件B表示“该动物活到25岁”,由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能,故事件A包含事件B,从而有P(AB)=P(B)=0.4,所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)===0.5.
答案:B
6.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为________.
解析:∵P(AB)=,P(B|A)=,
∴P(B|A)=.
∴P(A)=.
答案:
7.如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=________.
解析:因为P(A)表示事件“豆子落在正方形EFGH内”的概率,为几何概型,
所以P(A)==.
P(AB)===.
6
由条件概率计算公式,得P(B|A)===.
答案:
8.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞,则第2张也是假钞的概率为________.
解析:设事件A表示“抽到2张都是假钞”,事件B为“2张中至少有一张假钞”.所以为P(A|B).
而P(AB)=,P(B)=,
∴P(A|B)==.
答案:
9.设某种动物能活到20岁的概率为0.8,能活到25岁的概率为0.4,现有一只20岁的这种动物,问它能活到25岁的概率是多少?
解析:设事件A为“能活到20岁”,事件B为“能活到25岁”,
则P(A)=0.8,P(B)=0.4,
而所求概率为P(B|A),
由于B⊆A,故AB=B,
于是P(B|A)====0.5,
所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.
10.任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点,问:
(1)该点落在区间内的概率是多少?
(2)在(1)的条件下,求该点落在内的概率.
解析:由题意知,任意向(0,1)这一区间内掷一点,该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的,令A=,由几何概率的计算公式可知
(1)P(A)==.
(2)令B=,则AB=,
6
P(AB)==.
故在A的条件下B发生的概率为
P(B|A)===.
[B组 能力提升]
1.分别用集合M=中的任意两个元素作分子与分母构成真分数,已知取出的一个元素是12,则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A,“取出的两个元素构成可约分数”为事件B.则n(A)=7,n(AB)=4,所以P(B|A)==.
答案:C
2.盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次取出2个球使用,在第一次摸出新的条件下,第二次也取到新球的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:设A={第一次取得新球},B={第二次取到新球},则n(A)=CC,n(AB)=CC.
∴P(B|A)===.
答案:C
3.从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,已知选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为________.
解析:令事件A={选出的4个球中含4号球},
B={选出的4个球中最大号码为6}.
依题意知n(A)=C=84,n(AB)=C=6,
∴P(B|A)===.
答案:
6
4.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是________.
解析:记A={从2号箱中取出的是红球},B={从1号箱中取出的是红球},则P(B)==,P()=1-P(B)=,P(A|B)==,P(A|)==,P(A)=P(AB∪A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×+×=.
答案:
5.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,考生能答对其中的4道题即可通过;能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
解析:记事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题”,而另2道题答错,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B.
由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=++=,
P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),
P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)
=+=+=.
故所求的概率为.
6.设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.
解析:记“先后两次出现的点数中有5”为事件M,基本事件总数为6×6=36,其中先后两次出现的点数中有5,共有11种.
从而P(M)=.
记“方程x2+bx+c=0有实根”为事件N,
6
若使方程x2+bx+c=0有实根,
则Δ=b2-4c≥0,即b≥2.
因为b,c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.
当先后两次出现的点数中有5时,若b=5,则c=1,2,3,4,5,6;
若c=5,则b=5,6,从而P(MN)=.
所以在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率为
P(N|M)==.
6
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