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- 2021-06-22 发布
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课时跟踪检测(十四) 条件概率
A级——基本能力达标
1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
解析:选C P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=.
2.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A. B.
C. D.1
解析:选B 因为第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为3张奖券,1张能中奖,最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.
3.甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点不相同”,B为“甲独自去一个景点”,则概率P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
解析:选C 由题意可知,n(B)=C22=12,n(AB)=A=6.
∴P(A|B)===.
4.甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A., B. ,
C., D. ,
解析:选C P(A|B)===,P(B|A)===.
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5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75
C.0.6 D.0.45
解析:选A 记事件A表示“一天的空气质量为优良”,事件B表示“随后一天的空气质量为优良”,P(A)=0.75,P(AB)=0.6,由条件概率,得P(B|A)===0.8.
6.投掷两颗均匀的骰子,已知点数不同,设两颗骰子点数之和为ξ,则ξ≤6的概率为________.
解析:设A=“投掷两颗骰子,其点数不同”,B=“ξ≤6”,则P(A)==,P(AB)=,∴P(B|A)==.
答案:
7.一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩,则这时另一个小孩是男孩的概率是________.
解析:设A=“其中一个是女孩”,B=“其中一个是男孩”,则P(A)=,P(AB)=,∴P(B|A)==.
答案:
8.盒中装有6件产品,其中4件一等品,2件二等品,从中不放回地取产品,每次1件,取两次,已知第二次取得一等品,则第一次取得的是二等品的概率是________.
解析:令第二次取得一等品为事件A,第一次取得二等品为事件B,则P(AB)==,P(A)==.
所以P(B|A)==×=.
答案:
9.五个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不放回的取两次,求:
(1)第一次取到新球的概率;
(2)第二次取到新球的概率;
(3)在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率.
解:设第一次取到新球为事件A,第二次取到新球为事件B.
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(1)P(A)==.
(2)P(B)===.
(3)法一:P(AB)==,
P(B|A)===.
法二:n(A)=3×4=12,n(AB)=3×2=6,
P(B|A)===.
10.某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人.全班平均分成4个小组,其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.
(1)求选到的是第一组的学生的概率;
(2)已知选到的是共青团员,求他是第一组学生的概率.
解:设事件A表示“选到第一组学生”,
事件B表示“选到共青团员”.
(1)由题意,P(A)==.
(2)法一:要求的是在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率P(A|B).不难理解,在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提),有15种不同的选择,其中属于第一组的有4种选择.因此,P(A|B)=.
法二:P(B)==,P(AB)==,
∴P(A|B)==.
B级——综合能力提升
1.一个盒子里有20个大小形状相同的小球,其中5个红的,5个黄的,10个绿的,从盒子中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:选C 在已知取出的小球不是红球的条件下,问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个,求它是绿球的概率,∴P==.
6
2.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( )
A. B.
C. D.
解析:选B ∵P(A)==,P(AB)==,
∴P(B|A)==.
3.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( )
A.0.3 B.0.5
C.0.6 D.1
解析:选B 设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”,B为“该元件的使用寿命超过2年”,则P(A)=0.6,P(B)=0.3.
因为B⊆A,所以P(AB)=P(B)=0.3,
于是P(B|A)===0.5.
4.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞,则第2张也是假钞的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:选D 设事件A表示“抽到2张都是假钞”,事件B为“2张中至少有一张假钞”,所以为P(A|B). 而P(AB)==,P(B)==.∴P(A|B)==.
5.100件产品中有5件次品,不放回地抽取两次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,则第2次抽出正品的概率为________.
解析:设“第一次抽到次品”为事件A,“第二次抽到正品”为事件B,则P(A)==,P(AB)==,
所以P(B|A)==.
答案:
6
6.从1~100这100个整数中,任取一数,已知取出的一数是不大于50的数,则它是2或3的倍数的概率为________.
解析:法一:根据题意可知取出的一个数是不大于50的数,则这样的数共有50个,其中是2或3的倍数的数共有33个,故所求概率为.
法二:设A=“取出的球不大于50”,B=“取出的数是2或3的倍数”,则P(A)==,P(AB)=,
∴P(B|A)==.
答案:
7.现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)=A=30,
根据分步计数原理n(A)=AA=20,
于是P(A)===.
(2)因为n(AB)=A=12,于是
P(AB)===.
(3)法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)===.
法二:因为n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)===.
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8.有外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中则有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,求试验成功的概率.
解:设A={从第一个盒子中取得标有字母A的球},
B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},
R={第二次取出的球是红球},
则容易求得P(A)=,P(B)=,
P(R|A)=,P(R|B)=.
事件“试验成功”表示为RA∪RB,又事件RA与事件RB互斥,
故由概率的加法公式,得
P(RA∪RB)=P(RA)+P(RB)
=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)
=×+×=0.59.
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