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- 2021-06-23 发布
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1.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标:1.能画出正切函数的图象.(重点)2.掌握正切函数的性质.(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线.(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
正切函数的图象与性质
解析式
y=tan x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
,k∈Z
单调性
在开区间,k∈Z内都是增函数
[基础自测]
1.思考辨析
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心.( )
(3)正切函数图象有无数条对称轴,其对称轴是x=kπ±,k∈Z.( )
(4)正切函数是增函数.( )
[解析] 由正切函数图象可知(1)×,(2)√,(3)×,(4)×.
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.函数y=tan的定义域为________.
[因为2x-≠kπ+,k∈Z,
所以x≠+,k∈Z
所以函数y=tan的定义域为.]
3.函数y=tan 3x的最小正周期是________.
8
[函数y=tan 3x的最小正周期是.]
4.函数y=tan的单调增区间是________.
,k∈Z [令kπ-<x-<kπ+,k∈Z
得kπ-<x<kπ+,k∈Z
即函数y=tan的单调增区间是,k∈Z.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
有关正切函数的定义域、
值域问题
(1)函数y=的值域是( )
A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,+∞)
(2)函数y=3tan的定义域为________.
(3)函数y=+lg(1-tan x)的定义域为________.
【导学号:84352103】
[思路探究] 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
(1)B (2)
(3) [(1)当-<x<0时,-1<tan x<0,∴≤-1;
当0<x<时,0<tan x<1,∴≥1.
即当x∈∪时,函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)要使函数有意义应满足-≠kπ+,k∈Z,得x≠-4kπ-,k∈Z,
所以函数的定义域为.
(3)要使函数y=+lg(1-tan x)有意义,则
即-1≤tan x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y=tan x的周期为π,所以所求x的定义域为.]
8
[规律方法] 1.求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义即x≠+kπ,k∈Z.
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.
2.解形如tan x>a的不等式的步骤
提醒:求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件.
[跟踪训练]
1.函数y=logtan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
B [由题意tan>0,
即tan<0,
∴kπ-<x-<kπ,
∴kπ-<x<kπ+,k∈Z,故选B.]
2.求函数y=tan2+tan+1的定义域和值域.
[解] 由3x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+(k∈Z),所以函数的定义域为.
设t=tan,
则t∈R,y=t2+t+1=2+≥,
8
所以原函数的值域是.
正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
(1)函数f(x)=tan的周期为________.
(2)已知函数y=tan,则该函数图象的对称中心坐标为________.
(3)判断下列函数的奇偶性:
①y=3xtan 2x-2x4;②y=cos+tan x.
[思路探究] (1)形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期T=,也可以用定义法求周期.
(2)形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx+φ=,k∈Z求出.
(3)先求定义域看是否关于原点对称,若对称再判断f(-x)与f(x)的关系.
(1) (2),k∈Z [(1)法一:(定义法)
∵tan=tan,
即tan=tan,
∴f(x)=tan的周期是.
法二:(公式法)
f(x)=tan的周期T=.
(2)由x-=(k∈Z)得x=+(k∈Z),所以图象的对称中心坐标为,k∈Z.]
(3)①定义域为,关于原点对称,
又f(-x)=3(-x)tan 2(-x)-2(-x)4=3xtan 2x-2x4=f(x),所以它是偶函数.
②定义域为,关于原点对称,
8
y=cos+tan x=sin x+tan x,
又f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),所以它是奇函数.
[规律方法] 1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法:
(1)定义法.
(2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法:
先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
提醒:y=tan x,x≠kπ+,k∈Z的对称中心坐标为,k∈Z.
[跟踪训练]
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=tan+tan.
【导学号:84352104】
[解] (1)由
得f(x)的定义域为
,
不关于原点对称,
所以函数f(x)既不是偶函数,也不是奇函数.
(2)函数定义域为
,
关于原点对称,
又f(-x)=tan+tan
=-tan-tan
=-f(x),
所以函数是奇函数.
正切函数单调性的应用
[探究问题]
8
1.正切函数y=tan x在其定义域内是否为增函数?
提示:不是.正切函数的图象被直线x=kπ+(k∈Z)隔开,所以它的单调区间只在(k∈Z)内,而不能说它在定义域内是增函数.假设x1=,x2=π,x1
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