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  • 2021-06-23 发布

2020高中数学 第一章 三角函数 1

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‎1.4.3 ‎正切函数的性质与图象 学习目标:1.能画出正切函数的图象.(重点)2.掌握正切函数的性质.(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线.(易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ 正切函数的图象与性质 解析式 y=tan x 图象 定义域 ‎ 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ,k∈Z 单调性 在开区间,k∈Z内都是增函数 ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)正切函数的定义域和值域都是R.(  )‎ ‎(2)正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心.(  )‎ ‎(3)正切函数图象有无数条对称轴,其对称轴是x=kπ±,k∈Z.(  )‎ ‎(4)正切函数是增函数.(  )‎ ‎[解析] 由正切函数图象可知(1)×,(2)√,(3)×,(4)×.‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×‎ ‎2.函数y=tan的定义域为________.‎  [因为2x-≠kπ+,k∈Z,‎ 所以x≠+,k∈Z 所以函数y=tan的定义域为.]‎ ‎3.函数y=tan 3x的最小正周期是________.‎ 8‎  [函数y=tan 3x的最小正周期是.]‎ ‎4.函数y=tan的单调增区间是________.‎ ,k∈Z [令kπ-<x-<kπ+,k∈Z 得kπ-<x<kπ+,k∈Z 即函数y=tan的单调增区间是,k∈Z.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 有关正切函数的定义域、‎ 值域问题 ‎ (1)函数y=的值域是(  )‎ A.(-1,1)  B.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ C.(-∞,1) D.(-1,+∞)‎ ‎(2)函数y=3tan的定义域为________.‎ ‎(3)函数y=+lg(1-tan x)的定义域为________. ‎ ‎【导学号:84352103】‎ ‎[思路探究] 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.‎ ‎(1)B (2) ‎(3) [(1)当-<x<0时,-1<tan x<0,∴≤-1;‎ 当0<x<时,0<tan x<1,∴≥1.‎ 即当x∈∪时,函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).‎ ‎(2)要使函数有意义应满足-≠kπ+,k∈Z,得x≠-4kπ-,k∈Z,‎ 所以函数的定义域为.‎ ‎(3)要使函数y=+lg(1-tan x)有意义,则 即-1≤tan x<1.‎ 在上满足上述不等式的x的取值范围是.‎ 又因为y=tan x的周期为π,所以所求x的定义域为.]‎ 8‎ ‎[规律方法] 1.求正切函数定义域的方法 ‎(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义即x≠+kπ,k∈Z.‎ ‎(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.‎ ‎2.解形如tan x>a的不等式的步骤 提醒:求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.函数y=logtan的定义域是(  )‎ A. B. C. D. B [由题意tan>0,‎ 即tan<0,‎ ‎∴kπ-<x-<kπ,‎ ‎∴kπ-<x<kπ+,k∈Z,故选B.]‎ ‎2.求函数y=tan2+tan+1的定义域和值域.‎ ‎[解] 由3x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+(k∈Z),所以函数的定义域为.‎ 设t=tan,‎ 则t∈R,y=t2+t+1=2+≥,‎ 8‎ 所以原函数的值域是.‎ 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 ‎ (1)函数f(x)=tan的周期为________.‎ ‎(2)已知函数y=tan,则该函数图象的对称中心坐标为________.‎ ‎(3)判断下列函数的奇偶性:‎ ‎①y=3xtan 2x-2x4;②y=cos+tan x.‎ ‎[思路探究] (1)形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期T=,也可以用定义法求周期.‎ ‎(2)形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx+φ=,k∈Z求出.‎ ‎(3)先求定义域看是否关于原点对称,若对称再判断f(-x)与f(x)的关系.‎ ‎(1) (2),k∈Z [(1)法一:(定义法)‎ ‎∵tan=tan,‎ 即tan=tan,‎ ‎∴f(x)=tan的周期是.‎ 法二:(公式法)‎ f(x)=tan的周期T=.‎ ‎(2)由x-=(k∈Z)得x=+(k∈Z),所以图象的对称中心坐标为,k∈Z.]‎ ‎(3)①定义域为,关于原点对称,‎ 又f(-x)=3(-x)tan 2(-x)-2(-x)4=3xtan 2x-2x4=f(x),所以它是偶函数.‎ ‎②定义域为,关于原点对称,‎ 8‎ y=cos+tan x=sin x+tan x,‎ 又f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),所以它是奇函数.‎ ‎[规律方法] 1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法:‎ ‎(1)定义法.‎ ‎(2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.‎ ‎(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现.‎ ‎2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法:‎ 先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.‎ 提醒:y=tan x,x≠kπ+,k∈Z的对称中心坐标为,k∈Z.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3.判断下列函数的奇偶性:‎ ‎(1)f(x)=;‎ ‎(2)f(x)=tan+tan. ‎ ‎【导学号:84352104】‎ ‎[解] (1)由 得f(x)的定义域为 ,‎ 不关于原点对称,‎ 所以函数f(x)既不是偶函数,也不是奇函数.‎ ‎(2)函数定义域为 ,‎ 关于原点对称,‎ 又f(-x)=tan+tan ‎=-tan-tan ‎=-f(x),‎ 所以函数是奇函数.‎ 正切函数单调性的应用 ‎[探究问题]‎ 8‎ ‎1.正切函数y=tan x在其定义域内是否为增函数?‎ 提示:不是.正切函数的图象被直线x=kπ+(k∈Z)隔开,所以它的单调区间只在(k∈Z)内,而不能说它在定义域内是增函数.假设x1=,x2=π,x1