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  • 2021-06-23 发布

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(62)合情推理与演绎推理

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课时作业(六十二) [第62讲 合情推理与演绎推理]‎ ‎ [时间:45分钟  分值:100分]‎ ‎1.设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x),n∈N,则f2009(x)=(  )‎ A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx ‎2.下面几种推理过程是演绎推理的是(  )‎ A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则∠A+∠B=180°‎ B.某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班人数超过50人 C.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 ‎3.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3)且法向量为n=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为:________________________________________________________________________.‎ ‎4. 观察下列等式 ‎1=1‎ ‎2+3+4=9‎ ‎3+4+5+6+7=25‎ ‎4+5+6+7+8+9+10=49‎ 照此规律,第五个等式应为________________________________.‎ ‎5.下列推理是归纳推理的是(  )‎ A.A,B为定点,a>0且为常数,动点P满足||PA|-|PB||=‎2a<|AB|,则P点的轨迹为双曲线 B.由a1=1,an=3n+1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πab D.三角形ABC一条边的长度为4,该边上的高为1,那么这个三角形的面积为2‎ ‎6.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图K62-1),则第七个三角形数是(  )‎ 图K62-1‎ A.21 B.28‎ C.32 D.36‎ ‎7.设函数f(x)=,类比课本推导等差数列前n项和公式的推导方法计算f(-4)+f(-3)+…+f(0)+f(1)+…+f(4)+f(5)的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎8.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设aij(i,j∈N*)‎ 是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2009,则i与j的和为(  )‎ A.105 B.106‎ C.107 D.108‎ ‎9. 在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:‎ ‎①2011∈[1];‎ ‎②-3∈[3];‎ ‎③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];‎ ‎④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.‎ 其中,正确结论的个数是(  )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎10.半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.‎ 对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子:②________,②式可以用语言叙述为:________________________________________________________________________.‎ ‎11.如图K62-2,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)……‎ 图K62-2‎ 试用n表示出第n个图形的边数an=________.‎ ‎12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,________,成等比数列.‎ ‎13.设f(x)定义如表,数列{xn}满足x1=5,xn+1=f(xn),则x2011的值为________.‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f(x)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎14.(10分)观察①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=;‎ ‎②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.‎ 由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.‎ ‎15.(13分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图K62-3为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.‎ ‎(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);‎ ‎(2)证明:+++…+<.‎ 图K62-3‎ ‎16.(12分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图K62-4(1)、图(2)、图(3)、图(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.‎ ‎(1)求出f(5)的值;‎ ‎(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;‎ ‎(3)求+++…+的值.‎ 图K62-4‎ 课时作业(六十二)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1.C [解析] f1(x)=(sinx)′=cosx,‎ f2(x)=(cosx)′=-sinx,‎ f3(x)=(-sinx)′=-cosx,‎ f4(x)=(-cosx)′=sinx,‎ f5(x)=(sinx)′=cosx=f1(x),‎ f6(x)=(cosx)′=-sinx=f2(x),‎ fn+4(x)=…=…=fn(x),‎ 故可猜测fn(x)是以4为周期的函数,有 f4n+1(x)=f1(x)=cosx,f4n+2(x)=f2(x)=-sinx,‎ f4n+3(x)=f3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f4(x)=sinx.故f2009(x)=f1(x)=cosx,故选C.‎ ‎2.A [解析] A是演绎推理,B、D是归纳推理,C是类比推理.故选A.‎ ‎3.x+2y-z-2=0 [解析] 设B(x,y,z)为平面内的任一点,由·n=0得(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0,即x+2y-z-2=0.‎ ‎4.5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 [解析] 因为 ‎1=1‎ 第一个式子左边1个数,右边1;‎ ‎2+3+4=9‎ 第二个式子左边3个数,从2开始加,加3个连续整数,右边3的平方;‎ ‎3+4+5+6+7=25‎ 第三个式子左边5个数,从3开始加,加5个连续整数,右边5的平方;‎ ‎4+5+6+7+8+9+10=49‎ 第四个式子左边7个数,从4开始加,加7个连续整数,右边7的平方,‎ 故第五个式子为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.B [解析] 从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.‎ ‎6.B [解析] 观察这一组数的特点:a1=1,an-an-1=n,‎ ‎∴an=,∴a7=28.‎ ‎7.B [解析] ∵f(x)=,‎ ‎∴f(-x)==,‎ f(x+1)==,‎ 则f(-x)+f(x+1)=+ ‎==,‎ ‎∴f(-4)+f(5)=f(-3)+f(4)=f(-2)+f(3)‎ ‎=f(-1)+f(2)=f(0)+f(1)=,‎ ‎∴原式的值为×5=.故选B.‎ ‎8.C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2009=2×1005-1,所以2009为第1005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1024,故2009在第32个奇数行内,所以i=63,因为第63行的第一个数为2×962-1=1923,2009=1923+2(m-1),所以m=44,即j=44,所以i+j=‎ ‎107.‎ ‎9.C [解析] 因为2011=5×402+1,则2011∈[1],结论①正确;‎ 因为-3=5×(-1)+2,则-3∈[2],结论②不正确;‎ 因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类,则Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],结论③正确;‎ 若整数a,b属于同一“类”[k],可设a=5n1+k,b=5n2+k(n1,n2∈Z),则 a-b=5(n1-n2)∈[0];‎ 反之,若a-b∈[0],可设a=5n1+k1,b=5n2+k2(n1,n2∈Z),则 a-b=5(n1-n2)+(k1-k2)∈[0];‎ ‎∴k1=k2,则整数a,b属于同一“类”,结论④正确,故选C.‎ ‎10.′=4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 ‎11.3×4n-1 [解析] a1=3,a2=12,a3=48,可知an=3×4n-1.‎ ‎12.  [解析] 通过类比,若等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力.‎ ‎13.5 [解析] 由条件知x1=5,x2=f(x1)=f(5)=6,x3=f(x2)=f(6)=3,x4=f(x3)=f(3)=1,‎ x5=f(x4)=f(1)=4,x6=f(x5)=f(4)=2,x7=f(x6)=f(2)=5=x1,可知{xn}是周期为6的周期数列,所以x2011=x1=5.‎ ‎14.[解答] 观察40°-10°=30°,36°-6°=30°,‎ 由此猜想:sin2α+cos2(30°+α)+sinα·cos(30°+α)=.‎ 证明:sin2α+cos2(30°+α)+sinα·cos(30°+α)‎ ‎=++[sin(30°+2α)-sin30°]‎ ‎=1+[cos(60°+2α)-cos2α]+‎ ‎=1+[-2sin(30°+2α)sin30°]+‎ ‎=-sin(30°+2α)+sin(30°+2α)=.‎ ‎15.[解答] (1)f(4)=37,f(5)=61.‎ 由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,‎ f(4)-f(3)=37-19=3×6,‎ f(5)-f(4)=61-37=4×6,…‎ 因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),‎ 所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)‎ ‎=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1)]+1=3n2-3n+1.‎ 又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.‎ ‎(2)证明:当k≥2时,=<=.所以+++…+<1+,‎ ‎=1+<1+=.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16.[解答] (1)f(5)=41.‎ ‎(2)由题图可知f(2)-f(1)=4=4×1,‎ f(3)-f(2)=8=4×2,‎ f(4)-f(3)=12=4×3,‎ f(5)-f(4)=16=4×4,‎ 由上式规律,可得f(n+1)-f(n)=4n,‎ 因为f(n+1)-f(n)=4n,所以f(n+1)=f(n)+4n,所以f(n)=f(n-1)+4(n-1),‎ ‎=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)‎ ‎=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)‎ ‎…‎ ‎=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4‎ ‎=2n2-2n+1.‎ ‎(3)当n≥2时,‎ +++…+ ‎=+++…+ ‎=+++…+ ‎=+ ‎=1+ ‎=1+=-.‎ ‎ ‎