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- 2021-06-23 发布
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课时作业(六十二) [第62讲 合情推理与演绎推理]
[时间:45分钟 分值:100分]
1.设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x),n∈N,则f2009(x)=( )
A.sinx B.-sinx
C.cosx D.-cosx
2.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班人数超过50人
C.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
3.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3)且法向量为n=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为:________________________________________________________________________.
4. 观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律,第五个等式应为________________________________.
5.下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B为定点,a>0且为常数,动点P满足||PA|-|PB||=2a<|AB|,则P点的轨迹为双曲线
B.由a1=1,an=3n+1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D.三角形ABC一条边的长度为4,该边上的高为1,那么这个三角形的面积为2
6.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图K62-1),则第七个三角形数是( )
图K62-1
A.21 B.28
C.32 D.36
7.设函数f(x)=,类比课本推导等差数列前n项和公式的推导方法计算f(-4)+f(-3)+…+f(0)+f(1)+…+f(4)+f(5)的值为( )
A. B.
C. D.
8.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设aij(i,j∈N*)
是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2009,则i与j的和为( )
A.105 B.106
C.107 D.108
9. 在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:
①2011∈[1];
②-3∈[3];
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];
④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.
其中,正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.
对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子:②________,②式可以用语言叙述为:________________________________________________________________________.
11.如图K62-2,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)……
图K62-2
试用n表示出第n个图形的边数an=________.
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,________,成等比数列.
13.设f(x)定义如表,数列{xn}满足x1=5,xn+1=f(xn),则x2011的值为________.
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
4
5
1
2
6
3
14.(10分)观察①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=;
②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.
由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.
15.(13分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图K62-3为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.
(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);
(2)证明:+++…+<.
图K62-3
16.(12分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图K62-4(1)、图(2)、图(3)、图(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;
(3)求+++…+的值.
图K62-4
课时作业(六十二)
【基础热身】
1.C [解析] f1(x)=(sinx)′=cosx,
f2(x)=(cosx)′=-sinx,
f3(x)=(-sinx)′=-cosx,
f4(x)=(-cosx)′=sinx,
f5(x)=(sinx)′=cosx=f1(x),
f6(x)=(cosx)′=-sinx=f2(x),
fn+4(x)=…=…=fn(x),
故可猜测fn(x)是以4为周期的函数,有
f4n+1(x)=f1(x)=cosx,f4n+2(x)=f2(x)=-sinx,
f4n+3(x)=f3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f4(x)=sinx.故f2009(x)=f1(x)=cosx,故选C.
2.A [解析] A是演绎推理,B、D是归纳推理,C是类比推理.故选A.
3.x+2y-z-2=0 [解析] 设B(x,y,z)为平面内的任一点,由·n=0得(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0,即x+2y-z-2=0.
4.5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 [解析] 因为
1=1
第一个式子左边1个数,右边1;
2+3+4=9
第二个式子左边3个数,从2开始加,加3个连续整数,右边3的平方;
3+4+5+6+7=25
第三个式子左边5个数,从3开始加,加5个连续整数,右边5的平方;
4+5+6+7+8+9+10=49
第四个式子左边7个数,从4开始加,加7个连续整数,右边7的平方,
故第五个式子为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.
【能力提升】
5.B [解析] 从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.
6.B [解析] 观察这一组数的特点:a1=1,an-an-1=n,
∴an=,∴a7=28.
7.B [解析] ∵f(x)=,
∴f(-x)==,
f(x+1)==,
则f(-x)+f(x+1)=+
==,
∴f(-4)+f(5)=f(-3)+f(4)=f(-2)+f(3)
=f(-1)+f(2)=f(0)+f(1)=,
∴原式的值为×5=.故选B.
8.C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2009=2×1005-1,所以2009为第1005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1024,故2009在第32个奇数行内,所以i=63,因为第63行的第一个数为2×962-1=1923,2009=1923+2(m-1),所以m=44,即j=44,所以i+j=
107.
9.C [解析] 因为2011=5×402+1,则2011∈[1],结论①正确;
因为-3=5×(-1)+2,则-3∈[2],结论②不正确;
因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类,则Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],结论③正确;
若整数a,b属于同一“类”[k],可设a=5n1+k,b=5n2+k(n1,n2∈Z),则
a-b=5(n1-n2)∈[0];
反之,若a-b∈[0],可设a=5n1+k1,b=5n2+k2(n1,n2∈Z),则
a-b=5(n1-n2)+(k1-k2)∈[0];
∴k1=k2,则整数a,b属于同一“类”,结论④正确,故选C.
10.′=4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
11.3×4n-1 [解析] a1=3,a2=12,a3=48,可知an=3×4n-1.
12. [解析] 通过类比,若等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力.
13.5 [解析] 由条件知x1=5,x2=f(x1)=f(5)=6,x3=f(x2)=f(6)=3,x4=f(x3)=f(3)=1,
x5=f(x4)=f(1)=4,x6=f(x5)=f(4)=2,x7=f(x6)=f(2)=5=x1,可知{xn}是周期为6的周期数列,所以x2011=x1=5.
14.[解答] 观察40°-10°=30°,36°-6°=30°,
由此猜想:sin2α+cos2(30°+α)+sinα·cos(30°+α)=.
证明:sin2α+cos2(30°+α)+sinα·cos(30°+α)
=++[sin(30°+2α)-sin30°]
=1+[cos(60°+2α)-cos2α]+
=1+[-2sin(30°+2α)sin30°]+
=-sin(30°+2α)+sin(30°+2α)=.
15.[解答] (1)f(4)=37,f(5)=61.
由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,
f(4)-f(3)=37-19=3×6,
f(5)-f(4)=61-37=4×6,…
因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),
所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)
=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1)]+1=3n2-3n+1.
又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.
(2)证明:当k≥2时,=<=.所以+++…+<1+,
=1+<1+=.
【难点突破】
16.[解答] (1)f(5)=41.
(2)由题图可知f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律,可得f(n+1)-f(n)=4n,
因为f(n+1)-f(n)=4n,所以f(n+1)=f(n)+4n,所以f(n)=f(n-1)+4(n-1),
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)
=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)
…
=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4
=2n2-2n+1.
(3)当n≥2时,
+++…+
=+++…+
=+++…+
=+
=1+
=1+=-.
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