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- 2021-06-23 发布
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第六节 抛物线
[最新考纲] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
(对应学生用书第158页)
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
离心率
e=1
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径P(x0,y0)
|PF|=x0+
|PF|=-x0+
|PF|=y0+
|PF|=-y0+
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α为弦AB的倾斜角.则
(1)x1x2=,y1y2=-p2.
- 13 -
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=.
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( )
(2)抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是4. ( )
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( )
(4)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-. ( )
[答案](1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1.抛物线y=x2的准线方程是( )
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
A [∵y=x2,∴x2=4y,∴准线方程为y=-1.]
2.若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A. B. C. D.0
B [M到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y=-,设M(x,y),则y+=1,
∴y=.]
3.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( )
A.9 B.8
C.7 D.6
B [抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.]
4.已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P
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(-2,-4),则该抛物线的标准方程为________.
y2=-8x或x2=-y [设抛物线方程为y2=2px(p≠0)或x2=2py(p≠0).将P(-2,-4)代入,分别得方程为y2=-8x或x2=-y.]
(对应学生用书第159页)
⊙考点1 抛物线的定义及应用
与抛物线有关的最值问题的解题策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中,垂线段最短”解决.
(1)(2019·长春模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,抛物线上一点P.若|PF|=5,则△PFK的面积为( )
A.4 B.5
C.8 D.10
(2)(2019·福州模拟)已知抛物线y2=4x的焦点F,点A(4,3),P为抛物线上一点,且点P不在直线AF上,则当△PAF周长取最小值时,线段PF的长为( )
A.1 B.
C.5 D.
(1)A (2)B [(1)由抛物线的方程y2=4x,可得F(1,0),K(-1,0),准线方程为x=-1.设P(x0,y0),则|PF|=x0+1=5,即x0=4,不妨设P(x0,y0)在第一象限,则P(4,4),所以S△PKF=|FK||y0|=×2×4=4.故选A.
(2)如图,求△PAF周长的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值.设点P在准线上的投影为D,根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,因此|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值,可得当D,P,A三点共线时,|PA|+|PD|最小,此时P,F(1,0),线段PF的长为+1=.故选B.]
抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化是解题的关键.
1.(2019·临川模拟)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,
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)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍,则p等于( )
A. B.1
C. D.2
D [由抛物线y2=2px知其准线方程为x=-.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离,∴3x0=x0+,∴x0=,∴A.∵点A在抛物线y2=2px上,∴=2.∵p>0,∴p=2.故选D.]
2.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.
y2=4x [设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.]
3.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+5=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为________.
3-1 [由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).
点P到y轴的距离d1=|PF|-1,
所以d1+d2=d2+|PF|-1.
易知d2+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d2+|PF|的最小值为=3,所以d1+d2的最小值为3-1.]
⊙考点2 抛物线的标准方程与几何性质
1.求抛物线标准方程的方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法.若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p),那么只需求出p即可;若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0),这样就减少了不必要的讨论.
2.抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.
(1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-x B.x2=-8y
C.y2=-8x或x2=-y D.y2=-x或x2=-8y
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(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________.
(1)D (2)(1,0) [(1)(待定系数法)设抛物线为y2=mx,代入点P(-4,-2),解得m=-1,则抛物线方程为y2=-x;设抛物线为x2=ny,代入点P(-4,-2),解得n=-8,则抛物线方程为x2=-8y.
(2)由题知直线l的方程为x=1,
则直线与抛物线的交点为(1,±2)(a>0).
又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4=4,即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).]
若抛物线的焦点位置不确定,应分焦点在x轴和y轴两种情况求解,如本例(1).
[教师备选例题]
1.点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是( )
A.x2=y B.x2=y或x2=-y
C.x2=-y D.x2=12y或x2=-36y
D [将y=ax2化为x2=y.当a>0时,准线y=-,则3+=6,∴a=.当a<0时,准线y=-,则=6,∴a=-.
∴抛物线方程为x2=12y或x2=-36y.]
2.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
B [设抛物线的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2.
∵|AB|=4,|DE|=2,
抛物线的准线方程为x=-,
∴不妨设A,D.
∵点A,D在圆x2+y2=r2上,
∴
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∴+8=+5,∴p=4(负值舍去).
∴C的焦点到准线的距离为4.]
1.若双曲线C:2x2-y2=m(m>0)与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,且|AB|=4,则m的值是________.
20 [y2=16x的准线l:x=-4,因为C与抛物线y2=16x的准线l:x=-4交于A,B两点,|AB|=4,
设A在x轴上方,
所以A(-4,2),B(-4,-2),
将A点坐标代入双曲线方程得2×(-4)2-(2)2=m,所以m=20.]
2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,若△FPM为边长是4的等边三角形,则此抛物线的方程为________.
x2=4y [由△FPM为等边三角形,得|PM|=|PF|,由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线,设P,则点M,因为焦点F,△FPM是等边三角形,所以
解得因此抛物线方程为x2=4y.]
⊙考点3 直线与抛物线的综合问题
直线与抛物线的交点问题
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.
(2017·全国卷Ⅰ)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
[解](1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k===1.
(2)由 y=,得y′=.
设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,
- 13 -
故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
(1)对于抛物线x2=ay(a≠0),直线与抛物线相切问题多用到导数的有关知识.
(2)本例第(2)问中,找出隐含条件|AB|=2|MN|是解题的关键.
抛物线的焦点弦问题
解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
[解](1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
由题设知=8,解得k=1或k=-1(舍去).
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得或
- 13 -
因此所求圆的方程为
(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
(1)本例第(1)问中,x1+x2是建立等式的纽带.(2)本例第(2)问中,设出圆心坐标(x0,y0),构造关于x0,y0的方程组是关键.
1.(2019·开封模拟)已知直线y=kx+t与圆x2+(y+1)2=1相切且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(0,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-3,0)
D.(-2,0)
A [由直线与圆相切得,=1,即k2=t2+2t,
由得x2-4kx-4t=0.
由题意知Δ=16k2+16t>0.
即t2+3t>0,解得t>0或t<-3.故选A.]
2.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=( )
A.5 B.6
C.7 D.8
D [法一:过点(-2,0)且斜率为的直线的方程为y=(x+2),由得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4,所以或不妨设M(1,2),N(4,4),易知F(1,0),所以=(0,2),=(3,4),所以·=8.故选D.
法二:过点(-2,0)且斜率为的直线的方程为y=(x+2),由得x2-5x+4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1>0,y2>0,根据根与系数的关系,得x1+x2=5,x1x2=4.易知F(1,0),所以=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=4-5+1+8=8.故选D.]
3.已知抛物线y2=16x的焦点为F,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|=________.
12 [不妨设A(x1,y1),B(x2,y2)(A在B上方),根据焦半径公式|AF|=x1+=x1
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+4=6,所以x1=2,y1=4,所以直线AB的斜率为k==-2,所以直线方程为y=-2(x-4),与抛物线方程联立得x2-10x+16=0,即(x-2)(x-8)=0,所以x2=8,故|BF|=8+4=12.]
课外素养提升⑧ 数学运算——“设而不求”在解析几何中的妙用
(对应学生用书第160页)
1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程,解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.
2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段,它的精彩在于设而不求,化繁为简.解题过程中,巧妙设点,避免解方程组,常见类型有:(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题;(2)根据题意,整体消参或整体代入等.
巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系,从而设而不求
【例1】 (2019·泰安模拟)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.
y=±x [设A(xA,yA),B(xB,yB),由抛物线定义可得|AF|+|BF|=yA++yB+=4×⇒yA+yB=p,
由可得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
所以yA+yB==p,解得a=b,故该双曲线的渐近线方程为y=±x.]
[评析] 根据抛物线的定义把|AF|+|BF|用A,B点的纵坐标表示,再把双曲线方程和抛物线方程联立得到A,B点纵坐标和的关系,然后进一步求解即可.
【素养提升练习】
1.(2019·怀化模拟)过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则四边形ACBD面积的最小值为( )
A.8 B.16
C.32 D.64
C [焦点F的坐标为(1,0),所以可设直线AB的方程为y=k(x-1),代入y2=4x并整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2=2+,|AB|=x1+x2+2=4+.
同理可得|CD|=4+4k2.所以四边形ACBD的面积
- 13 -
S=|AB||CD|=··4(k2+1)=8·=8≥32,当且仅当k=±1时取等号.故选C.]
中点弦或对称问题,可以利用“点差法”, “点差法”实质上是“设而不求”的一种方法
【例2】(1)△ABC的三个顶点都在抛物线E:y2=2x上,其中A(2,2),△ABC的重心G是抛物线E的焦点,则BC所在直线的方程为________.
(2)抛物线E:y2=2x上存在两点关于直线y=k(x-2)对称,则k的取值范围是________.
(1)x+y+=0 (2)(-,) [(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),边BC的中点为M(x0,y0),易知G,则
从而即M,
又y=2x1,y=2x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2),则直线BC的斜率kBC=====-1,故直线BC的方程为y-(-1)=-,即4x+4y+5=0.
(2)当k=0时,显然成立.
当k≠0时,设两对称点为B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点为M(x0,y0),由y=2x1,y=2x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2),则直线BC的斜率kBC====,由对称性知kBC=-,点M在直线y=k(x-2)上,所以y0=-k,y0=k(x0-2),所以x0=1.由点M在抛物线内,得y<2x0,即(-k)2<2,所以-<k<,且k≠0.
综上,k的取值范围为(-,).]
[评析](1)先求BC的中点坐标,再用点差法求解.
(2)分k=0和k≠0两种情况求解,当k=0时,显然成立,当k≠0时,用点差法求解.
【素养提升练习】
2.中心为(0,0),一个焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
- 13 -
C [由题意知c=5,设椭圆方程为+=1,联立方程消去y,整理得(10a2-450)x2-12(a2-50)x+(4-a2)(a2-50)=0,由根与系数的关系得x1+x2==1,解得a2=75,所以椭圆方程为+=1.]
求解直线与圆锥曲线的相关问题时,若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系,可用“替代法”,“替代法”的实质是设而不求
【例3】 已知F为抛物线C:y2=2x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为________.
8 [由题意知,直线l1,l2的斜率都存在且不为0,F,不妨设l1的斜率为k,则l1:y=k,l2:y=-.
由消去y得k2x2-(k2+2)x+=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1+.
由抛物线的定义知,
|AB|=x1+x2+1=1++1=2+.
同理可得,用-替换|AB|中k,可得|DE|=2+2k2,所以|AB|+|DE|=2++2+2k2=4++2k2≥4+4=8,当且仅当=2k2,即k=±1时等号成立,故|AB|+|DE|的最小值为8.]
[评析] 设出直线l1的方程,则直线l2的方程也已知,先求|AB|,根据两直线的关系求|DE|,最后求|AB|+|DE|的最小值.
3.(2019·银川模拟)椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),直线l:x=a2交x轴于点A,且=2.
(1)试求椭圆的方程;
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(2)过点F1,F2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D,E,M,N四点(如图所示),试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.
[解](1)由题意知,|F1F2|=2c=2,A(a2,0),
∵=2,∴F2为线段AF1的中点,
则a2=3,b2=2,则椭圆方程为+=1.
(2)当直线DE与x轴垂直时,|DE|==,
此时|MN|=2a=2,四边形DMEN的面积S==4.
同理当MN与x轴垂直时,
也有四边形DMEN的面积S==4.
当直线DE,MN与x轴均不垂直时,
设直线DE:y=k(x+1)(k≠0),D(x1,y1),E(x2,y2),
代入椭圆方程,消去y可得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,则x1+x2=,x1x2=,
∴|x1-x2|=,
∴|DE|=|x1-x2|=.
同理|MN|==,
∴四边形DMEN的面积S==××=,
令u=k2+,则S=4-.
∵u=k2+≥2,当k=±1时,u=2,S=,
- 13 -
且S是以u为自变量的增函数,
则≤S<4.
综上可知,≤S≤4,故四边形DMEN面积的最大值为4,最小值为.
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