2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程1 圆的方程学案 苏教版必修2 6页

圆的方程 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 圆的方程 ‎1. 了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径；‎ ‎2. 会根据给定的条件求圆的一般方程和标准方程，并能用圆的一般方程、标准方程解决简单问题 选择题 填空题 解答题 注意用代数方法研究几何问题以及对数形结合思想的理解和对待定系数法的加强运用 二、重难点提示 重点：圆的标准方程、一般方程及其应用。‎ 难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程、应用圆的标准方程解题；二元二次方程同圆的一般式的关系。‎ 考点一：圆的标准方程 ‎1. 以C（a，b）为圆心，r（r＞0）为半径的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2。‎ ‎2. 以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2。‎ ‎【注意】‎ 能根据圆心的坐标和圆的半径写出圆的标准方程；能根据圆的标准方程写出圆心的坐标和圆的半径。此外利用圆的标准方程也可较容易地反映点与圆的位置关系。‎ 考点二：点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：‎ 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r ‎【规律总结】点与圆的位置关系的判断方法 ‎（1）几何法：根据点到圆心的距离与半径的大小判断；‎ ‎（2）代数法：根据点的坐标与圆的方程的关系判断：‎ ‎①已知点，圆的方程，则有:‎ 点在圆外；‎ 点在圆上；‎ 点在圆内。‎ 6‎ ‎②已知点，圆的方程，则有:‎ 点在圆外；‎ 点在圆上；‎ 点在圆内。‎ 考点三：圆的一般方程 ‎1. 圆的一般方程的定义 当D2＋E2－‎4F>0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程，圆心为（－，－），半径为。‎ ‎2. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 方程的条件 ‎ 方程的解 的情况 ‎ 图形 D2＋E2－‎4F<0‎ 没有实数解 不表示任何图形 D2＋E2－‎4F＝0‎ 只有一个实数解 表示一个点（－，－）‎ D2＋E2－‎4F>0‎ 有无数个实数解 表示以（－，－）为圆心，以为半径的圆 ‎【要点诠释】‎ ‎（1）圆的一般方程的形式特点：‎ ‎① 、的系数相同且不为零；‎ ‎② 不含项。‎ ‎（2）形如的方程表示圆的条件：‎ ‎① ；② ；③ 即。‎ 例题1 （求圆的方程）‎ ‎（1）求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3），B（－2，－5）的圆的标准方程。‎ ‎（2）求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。‎ 思路分析：（1）解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解。‎ ‎（2）设圆的一般方程，利用待定系数法求解方程，并写出半径和圆心坐标即可。‎ 答案：（1）方法一　设点C为圆心，‎ ‎∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，‎ ‎∴可设点C的坐标为（‎2a＋3，a），‎ 又∵该圆经过A、B两点，∴|CA|＝|CB|，‎ ‎∴，解得a＝－2，‎ 6‎ ‎∴圆心坐标为C（－1，－2），半径r＝，‎ 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10。‎ 方法二　设所求圆的标准方程为 ‎（x－a）2＋（y－b）2＝r2，‎ 由条件知，解得 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10。‎ 方法三　线段AB的中点为（0，－4），kAB＝＝，‎ 所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2，‎ 所以线段AB的垂直平分线的方程为：y＋4＝－2x，即y＝－2x－4。‎ 故圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，由，得，‎ 即圆心为（－1，－2），圆的半径为r＝，‎ 所以所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10。 ‎ ‎（2）设圆的一般式方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。（*）‎ 由题意可知点O（0，0），M（1，1），N（4，2）满足（*）式 故，解得 所以，所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0。‎ 圆心坐标是（4，－3），半径r＝＝5。‎ 技巧点拨：‎ ‎（1）对于由已知条件易求圆心坐标和半径，或需要用圆心坐标和半径列方程的问题，往往设出圆的标准方程，用待定系数法求解。由于圆的标准方程中含有a、b、r三个参数，所以必须具备三个独立条件，才能求出一个圆的标准方程，用待定系数法求圆的方程，即列出关于a，b，r的方程组，解方程组求a，b，r。一般步骤如下：‎ ‎（2）一般地，由题意知道所求的圆经过几点且不易得出圆心和半径时，常选用一般式。‎ 而圆的一般式方程中也含有三个未知参数，故求解时，也需要三个独立的条件。‎ ‎1. （泰州检测）以线段AB：x＋y－2＝0（0≤x 6‎ ‎≤2）为直径的圆的标准方程为______________。‎ 思路分析：∵AB：x＋y－2＝0（0≤x≤2）‎ ‎∴A（0，2），B（2，0），AB＝＝2。‎ ‎∴点A、B的中点为（1，1），‎ 故所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2。‎ 答案：（x－1）2＋（y－1）2＝2‎ ‎2.（辽宁高考）已知圆C经过A（5，1）、B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为________。‎ 思路分析：设圆心坐标为（a，0），易知＝，‎ 解得a＝2，‎ ‎∴圆心为（2，0），半径为，‎ ‎∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10。‎ ‎ 答案：（x－2）2＋y2＝10‎ 例题2 （圆的方程的实际应用）‎ ‎（无锡检测）有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍。已知A、B两地相距‎10 km，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求A、B两地售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点。‎ 思路分析：解答本题可先根据题意画出示意图，建立适当的平面直角坐标系，再从价格和运费入手构建等式或不等式关系，用坐标法求解。‎ 答案：如图所示，以A、B所确定的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A（－5，0），B（5，0），‎ 设某地P的坐标为（x，y）。‎ 且P地居民选择A地购买商品便宜，‎ 并设A地运费为‎3a元/km，B地运费为a元/km，‎ 价格＋QA地运费≤价格＋QB地运费，‎ ‎∴‎3a≤a。‎ ‎∵a>0，∴3≤，‎ 两边平方得9（x＋5）2＋9y2≤（x－5）2＋y2，‎ 即（x＋）2＋y2≤（）2。‎ ‎∴以点C（－，0）为圆心，为半径的圆是这两地售货区域的分界线。‎ 圆C内的居民从A地购货便宜；圆C外的居民从B地购货便宜；圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，可随意从A、B两地之一购货。‎ 技巧点拨：‎ 6‎ ‎1. 本题是一个实际问题，先建立适当的直角坐标系，通过建立数学模型来解决，利用点与圆的位置关系来解决，这种解决有关几何问题的方法叫作“解析法”。明确题意，建立恰当的数学模型是解决实际问题的关键。‎ ‎2. 用解析法解决圆的方程实际问题的步骤：‎ ‎　‎ 求圆的标准方程时以“形”代“数”致误 例题 已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程。‎ ‎【错解】　如图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5。‎ 在Rt△AOC中，‎ ‎|OC|＝＝＝3。‎ ‎∴C点坐标（3，0），∴所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝25。‎ ‎【错因分析】错解在求解过程中，只画出了圆心在x轴正半轴时的图形，而没有画出圆心在x轴负半轴的情况，从而产生漏解。‎ ‎【防范措施】　借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，以上方法的错误就是考虑问题不全面所致。‎ ‎【正解】　由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4。‎ 在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3，‎ 如图所示，‎ 6‎ 所以圆心坐标为（3，0）或（－3，0）。所以所求圆的方程为（x±3）2＋y2＝25。‎ 6‎