2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第三节 空间直角坐标系1 空间直角坐标系学案 苏教版 5页

空间直角坐标系 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 空间直角坐标系 ‎1. 了解空间直角坐标系的建系方式；‎ ‎2. 能在空间直角坐标系中求出点的坐标或根据已知坐标作出点。‎ 解答题 在二维平面直角坐标系基础上的推广，是空间立体几何的代数化，是以后学习“空间向量”等内容的基础，具有承前启后的作用。‎ 二、重难点提示 重点：空间直角坐标系的有关概念、空间点的坐标的确定方法。‎ 难点：空间直角坐标系的产生过程。‎ 考点一：空间直角坐标系 ‎1. 空间直角坐标系的概念 从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴和z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面。‎ ‎2. 右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。‎ ‎【要点诠释】‎ 通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135°角，而z轴垂直于y轴。y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半。‎ ‎3. 空间一点的坐标 对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P、Q、R。点P、Q、R在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）。‎ ‎【重要提示】特殊位置的点的坐标：‎ ‎① 原点坐标；‎ ‎② 轴上的点的坐标为，其中为任意实数；‎ ‎③ 轴上的点的坐标为，其中为任意实数；‎ ‎④ 轴上的点的坐标为，其中为任意实数；‎ ‎⑤ 平面（通过轴和轴的平面）上的点的坐标为，其中、为任意实数；‎ ‎⑥ 平面（通过轴和轴的平面）上的点的坐标为，其中、‎ 5‎ 为任意实数；‎ ‎⑦ 平面（通过轴和轴的平面）上的点的坐标为，其中、为任意实数。‎ 考点二：空间直角坐标系中点的读取方法 ‎1. 投影法：即找到点在三条坐标轴上的投影点。方法是过点作三个平面分别垂直于轴、轴和轴于、、三点（、、即为点在三条坐标轴上的投影点），点、、在轴、轴和轴上的坐标分别为、、，则就是点的坐标。‎ ‎2. 路径法：先从原点出发沿轴的正方向或负方向移动个单位，再沿轴的正方向或负方向移动个单位，最后沿轴的正方向或负方向移动个单位即可读出此点坐标。‎ 考点三：空间直角坐标系中点的对称 点关于原点的对称点是；‎ 点关于轴的对称点是；‎ 点关于轴的对称点是；‎ 点关于轴的对称点是；‎ 点关于平面的对称点是；‎ 点关于平面的对称点是；‎ 点关于平面的对称点是。‎ ‎【重要提示】‎ 空间直角坐标系中的点关于坐标轴、坐标平面对称点的坐标求法，可用口诀“关于谁谁不变，其余的均相反”来记忆。‎ ‎【随堂练习】点P（a，b，c）到坐标平面xOy的距离是________。‎ 思路分析：过点P向xOy平面作垂线，该垂线上的所有点在轴上的投影相同，在轴上的投影也相同，只有在轴上的不同。‎ 答案：点P在xOy平面的射影的坐标是P′（a，b，0），所以d＝|c|。‎ 技巧点拨：‎ 过P（a，b，c）向xOy平面作垂线，则垂线上的点坐标为（a，b，m）（其中m为变数）；‎ 过P（a，b，c）向xOz平面作垂线，则垂线上的点坐标为（a，m，c）（其中m为变数）；‎ 过P（a，b，c）向yOz平面作垂线，则垂线上的点坐标为（m，b，c）（其中m为变数）。‎ 例题1 （求空间内点的坐标）‎ 如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标。‎ 5‎ 思路分析：以D为原点建系→找各点在xOy平面内的射影→找各点在z轴上的正射影→写出点的坐标。‎ 答案：如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系D－xyz。‎ 由题意知长方体的棱长AD＝BC＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，‎ 显然D（0，0，0），A在x轴上，‎ ‎∴A（3，0，0）；‎ C在y轴上，∴C（0，5，0）；‎ D1在z轴上，∴D1（0，0，4）；‎ B在xOy平面内，∴B（3，5，0）；‎ A1在xOz平面内，∴A1（3，0，4）；‎ C1在yOz平面内，∴C1（0，5，4）。‎ 由B1在xOy平面内的射影为B（3，5，0），‎ ‎∴B1的横坐标为3，纵坐标为5。‎ ‎∵B1在z轴上的射影为D1（0，0，4），‎ ‎∴B1的竖坐标为4，∴B1（3，5，4）。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 ‎（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上。‎ ‎（2）充分利用几何图形的对称性。‎ ‎2. 求某点M坐标的方法 过点M分别作三个坐标平面的平行平面（或垂面），分别交坐标轴于A、B、C三点，确定x、y、z。具体理解，可以以长方体为模型，要掌握一些特殊点（落在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点）的坐标表示的特征。‎ 例题2 （空间直角坐标系中关于对称点）‎ 如图所示，长方体ABCD－A1B‎1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A（－2，－3，－1），求其他7个顶点的坐标。‎ 思路分析：充分运用长方体是对称的几何图形这一性质求解。‎ 答案：设长方体的对称中心为坐标原点O，‎ ‎∵顶点A（－2，－3，－1），‎ ‎∴A关于原点的对称点C1的坐标为（2，3，1）。‎ 5‎ ‎∵C与C1关于xOy坐标平面对称，∴C（2，3，－1）。‎ ‎∵A1与C关于原点对称，∴A1（－2，－3，1）。‎ ‎∵点C与点D关于yOz坐标平面对称，‎ ‎∴D（－2，3，－1）。‎ ‎∵点B1与点D关于原点对称，‎ ‎∴B1（2，－3，1）。‎ 同理可求得点D1的坐标为（－2，3，1），点B的坐标为（2，－3，－1），‎ 综上知长方体其他7个顶点的坐标分别为C1（2，3，1），C（2，3，－1），A1（－2，－3，1），B（2，－3，－1），B1（2，－3，1），D（－2，3，－1），D1（－2，3，1）。 ‎ 技巧点拨：‎ 空间对称的特点是“关于谁对称，谁不变，其余互为相反数”，如关于x轴对称的两个点，横坐标不变，纵、竖坐标分别互为相反数；关于xOy平面对称的两个点，横、纵坐标不变，竖坐标互为相反数。平时解题时要注意方法规律的总结。‎ 忽略空间直角坐标系中坐标轴两两垂直导致建系错误 例题 在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标。‎ ‎【错解】如图所示，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）。‎ ‎∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，‎ ‎∴B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（0，1，1）。‎ ‎【错因分析】∵三棱柱各棱长均为1，∴△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，故本题做错的根本原因在于建立直角坐标系时没有抓住空间直角坐标系三条坐标轴两两垂直的本质。‎ ‎【防范措施】建立空间直角坐标系时，应选择从一点出发的三条两两垂直的线作为坐标轴，如果图中没有满足条件的直线，可以通过作“辅助线”，达到建系的目的。‎ ‎【正解】如图所示，取AC的中点O和A‎1C1的中点O1，‎ 连接BO、OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1，‎ 分别以OB、OC、OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。‎ ‎∵各棱长均为1，‎ ‎∴OA＝OC＝O‎1C1＝O‎1A1＝，OB＝。‎ 5‎ ‎∵A、B、C均在坐标轴上，‎ ‎∴A（0，－，0），B（，0，0），C（0，，0）。‎ ‎∵点A1、C1均在yOz平面内，‎ ‎∴A1（0，－，1），C1（0，，1）。‎ ‎∵点B1在xOy面内的射影为点B，且BB1＝1，‎ ‎∴B1（，0，1）。‎ 5‎