专题08+含参数的导数问题解题规律-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖（教师版） 27页

专题08 含参数的导数问题解题规律 一．知识点 基本初等函数的导数公式 ‎ (1)常用函数的导数 ‎①(C)′＝________(C为常数); ②(x)′＝________；‎ ‎③(x2)′＝________； ④′＝________；‎ ‎⑤()′＝________．‎ ‎(2)初等函数的导数公式 ‎①(xn)′＝________； ②(sin x)′＝__________；‎ ‎③(cos x)′＝________； ④(ex)′＝________；‎ ‎⑤(ax)′＝___________； ⑥(ln x)′＝________；‎ ‎⑦(logax)′＝__________．‎ ‎5．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；‎ ‎(3)′＝____________________________．‎ ‎6．复合函数的导数 ‎(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))． ‎ ‎（二）构造函数 例2．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当,为两个不相等的正数，证明：.‎ ‎【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数； （2）见解析.‎ ‎【解析】 (1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于 ‎，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，.‎ 若，，则在区间内为增函数；‎ 若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数.‎ ‎（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，‎ 令，则原不等式也等价于即..‎ 下面证明当时，恒成立.‎ 设，则，‎ 故在区间内为增函数，，即， ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.‎ 练习1.已知函数.‎ ‎（1）证明: 有两个零点；‎ ‎（2）已知，若,使得，试比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)在上单调递减，在上单调递增，根据函数的最值情况确定零点个数； (2) 由，，可得：，令，函数在上单调递增，，∴，‎ 又∵在上是增函数，∴，即.‎ 试题解析：‎ ‎（1）据题知，求导得： ‎ 令，有；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴‎ 令，有；令，有 故在和各有1个零点.∴有两个零点.‎ ‎（2）由，而 ‎∴‎ 令， ‎ 则，‎ ‎∴函数在上单调递增，故.‎ ‎∴，‎ 又∵在上是增函数，∴，即.‎ ‎（三）极值点偏移 例3．已知函数 (其中e是自然对数的底数，k∈R)．‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)当函数有两个零点时，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。（2）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，‎ 利用函数的单调性证明即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：∵‎ ‎∴。‎ ‎①当时，令，解得，‎ ‎∴当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增。‎ ‎②当时，恒成立，‎ ‎∴函数在R上单调递增. ‎ 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增。‎ 当时，在R上单调递增.‎ ‎（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。‎ 所以。‎ 设函数的两个零点为，‎ 则，‎ 设，‎ 解得，‎ 所以，‎ 要证，‎ 只需证，‎ 设 设单调递增，‎ 所以，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 所以，‎ 故．‎ 练习1.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）已知存在两个极值点，，令，若， ，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间.‎ ‎（2）将变形为，利用韦达将其转化为关于a的函数，求得最值，即可得到的取值范围.‎ ‎①当时，在上，单调递增；在上，单调递减.‎ ‎②当时，在和上，单调递减；‎ 在上，单调递增.‎ ‎（2），则，‎ 由（1）可知，，，且.‎ 则，‎ ‎ ‎ 从而.‎ 令，，则.‎ 因为，所以，‎ 所以在上单调递减，则，即.‎ 因为，，即，所以，‎ 即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．‎ ‎（四）多变量问题 ‎ 例4．已知函数（），（） ‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：1是的唯一极小值点；‎ ‎（Ⅲ）若存在， ，满足，求的取值范围.（只需写出结论）‎ ‎【答案】(1) 单调递增区间为， 的单调递减区间为 （2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出， 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先求得（），可得，又可证明在定义域内递增，即可证明 是g(x)的唯一极小值点；（Ⅲ）令两函数的值域有交集即可.‎ ‎（Ⅰ） 因为 ‎ ‎ ‎ 令，得 ‎ 因为，所以 ‎ 当变化时， ， 的变化情况如下：‎ 极大值 故的单调递增区间为， 的单调递减区间为 （Ⅱ）证明： ‎ ‎（）， ‎ 设，则 ‎ 故在是单调递增函数， ‎ 又，故方程只有唯一实根 ‎ 当变化时， ， 的变化情况如下：‎ ‎1‎ ‎ ‎ 极小值 故在时取得极小值，即1是的唯一极小值点. ‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎（五）与三角函数有关的函数问题 例5．已知函数（）.‎ ‎(1)若，求函数的极大值；‎ ‎(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，对其求导，判断导数与0的关系，故而可得其极值；（2）对求导，，当时，函数单调递增，不等式成立；当时，对其进行二次求导，可得恒成立， 单调递增，结合零点存在定理可得有唯一零点，进而可得当时， 单调递减，且，即不恒成立；‎ 试题解析：（1）时，，当， 时， ， 单调递增，当， 时， ， 单调递减，所以，当时， 取得极大值， .‎ ‎（2）‎ 当，即时， ，所以单调递增，所以；‎ 当时，，‎ 所以单调递增，，，所以有唯一零点，记为，当时， ， 单调递减，且，即不恒成立；综上所述， 的取值范围是.‎ 练习1.已知函数的图象在点处的切线方程为. ‎ ‎(1)求的值 ‎(2)求函数在值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得的方程组，解方程即可得到所求；（2）求得的导数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可得到函数在值域.‎ 试题解析：（1）为），又，解得.‎ ‎（2）由（1）知，，函数在上递增，，， 函数在上的值域为.‎ ‎（六）构造函数求参数 例6．设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）设，对任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）无极大值；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1) 当时，，定义域为，，结合函数的单调性可得 ‎，函数没有极大值.‎ ‎(2) 由已知，构造函数，则在上单调递减，分类讨论可得：‎ ‎①当时， .‎ ‎②当时， ，‎ 综上，由①②得： .‎ ‎（2）由已知，‎ 设，则在上单调递减，‎ ‎①当时，，‎ 所以，‎ 整理： ‎ 设，则在上恒成立，‎ 所以在上单调递增，所以最大值是.‎ ‎②当时，，‎ 所以，‎ 整理： ‎ 设，则在上恒成立，‎ 所以在上单调递增，所以最大值是，‎ 综上，由①②得： .‎ 练习1.已知函数在处的切线斜率为.‎ ‎（1）若函数在上单调，求实数的最大值；‎ ‎（2）当时，若存在不等的使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】 (1)先根据切线的斜率求出，再根据函数单调，得到恒成立，求出b的最大值.(2)转化为存在不等的，且使得，进而得到k＞0.‎ ‎【详解】（1）函数在处的切线斜率为 解得.‎ 所以，故 因为函数在上单调 故或在上恒成立.‎ 显然即在上不恒成立.‎ 所以恒成立即可.‎ 因为 可知在上单减，单增 故，所以实数的最大值为1.‎ ‎（2）当时，由（1）知函数在上单调递增 不妨设，使得 即为存在不等的，且使得 ‎.‎ 其否定为：任意，都有 即：函数在上单调递增.‎ 由（1）知：即 所以若存在不等的使得 实数的取值范围为.‎ ‎（七）讨论参数求参数 例7．已知函数，（为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) （3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到， ，根据这两点可以写出切线方程。（2）对函数进行单调性的研究，分， ， ,三种情况讨论单调性，研究函数的图像变换趋势，得到参数方位。（3）原不等式等价于恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即可。‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）当时，.， .‎ 所以函数在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）函数的定义域为，由已知得.‎ ‎①当时，函数只有一个零点；‎ ‎②当，因为，‎ 当时， ；当时， .‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又， ，‎ 因为，所以， 所以，所以 取，显然且 所以，.‎ 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.‎ ‎③当时，由，得，或.‎ 当，则.当变化时， ， 变化情况如下表：‎ 注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意.‎ 当，则， 在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意.‎ 若，则.当变化时， ， 变化情况如下表：‎ 注意到当， 时，， ，所以函数至多有一个零点，不符合题意.‎ 综上， 的取值范围是.‎ ‎（Ⅲ）当时，，‎ 即,令，则 令，则 ‎ 当时， ， 单调递减；‎ 当时， ， 单调递增 ‎ 又， ，所以，当时， ，即，‎ 所以单调递减；当时，，即，‎ 所以单调递增，所以，所以．‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论的能力，属于较难的题．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ 练习1.设函数， ．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若对所有的，都有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）令，求导得单调性，进而得，从而得证；‎ ‎（Ⅱ）记求两次导得在递增， 又，进而讨论的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）令， ‎ 由 ∴在递减，在递增，‎ ‎∴ ∴ 即成立． ‎ ‎（Ⅱ） 记， ∴在恒成立，‎ ‎， ∵， ‎ ‎∴在递增， 又， ‎ ‎∴ ① 当 时， 成立， 即在递增，‎ 则，即成立； ‎ ‎② 当时，∵在递增，且，‎ ‎∴ 必存在使得．则时， ，‎ 即 时，与在恒成立矛盾，故舍去．‎ 综上，实数的取值范围是．‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为 .‎ ‎（八）利用特值缩小范围 例8.已知，其中为实常数，曲线在点处的切线的纵截距为，（其中是无理数2.71828…）‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）不等式对恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 实数的最大值为 ‎【解析】试题分析：（1）根据曲线的切线的几何意义得到切线方程为，由截距已知，可以求出参数值。（2）不等式恒成立求参变量分离可以转化为函数最值问题，，代入特值时，得到，现在验证M的最大值可以是e,即可。再构造函数，研究最值即可。‎ ‎（Ⅰ），， ‎ 曲线在处的切线方程为 时， ‎ 解得.‎ ‎（Ⅱ）当时，得到；‎ 下证当时，不等式对恒成立 设，则 设， ， ， ‎ ‎， 时，， 时， ‎ 所以时，，‎ 时， ， 时， ，所以 ‎，结论成立；‎ 综述：实数的最大值为 点睛：这个题目考查了导数的几何意义，切线的几何意义，也考查了函数恒成立求参的问题。第二问的解决方法常见的是：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接含参讨论，研究函数最值；还有就是这个题目中用到的方法，先猜后证。‎ 练习1.已知函数．‎ ‎（1）当a =5时，求的单调区间；‎ ‎（2）若有两个极值点,且，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎【答案】(1) 单调递增区间为和，单调递减区间为 ；‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】（1）求导，利用导数的符号确定函数的单调区间；（2）求导，利用导函数，将函数存在极值问题转化为导函数对应方程的根的分布情况进行求解.‎ 试题解析：（1）的定义域为，‎ ‎，‎ 的单调递增区间为和，单调递减区间为. ‎ ‎（2）因为，令 若有两个极值点，则方程g(x)=0有两个不等的正根，所以＞０,‎ ‎ 即 (舍)或时，且， ．‎ 又，于是， ‎ ‎. ‎ ‎，则恒成立， 在单调递减，，即，故的取值范围为．‎ ‎（九）分参法求参数 例9.已知函数 ‎(1)求在上的最小值；‎ ‎(2)若存在使得成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ，； ，；(2) .‎ ‎【解析】(1)首先求得函数的导函数为，分类讨论可得：‎ ‎，； ，；‎ ‎(2)原问题等价于，构造新函数， ，‎ 结合函数h(x)的性质可得实数m的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 令，解得，则时， ，函数单调递增 ‎， ，函数单调递减 ‎①时，函数在单调递增 因此，函数取得极小值即最小值，‎ ‎②时， ，则时，函数数取得极小值即最小值， ‎ 综上， ，； ， ‎ ‎(2)存在使得 ‎ 令， ，则 令， ，‎ 则，可知时单调增， 时单调减 且，因此 令，解得，可得是函数的极大值点，即最大值， ，‎ ‎∴，实数m的取值范围.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ 练习1.已知函数f（x）=，g（x）=1-ax2． ‎ ‎（1）若函数f（x）和g（x）的图象在x=1处的切线平行，求a的值； ‎ ‎（2）当x∈[0，1]时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) a= (2) a≤‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别求出f（x），g（x）的导数，计算得到f′（1）=g′（1），求出a的值即可； ‎ ‎（2）问题转化为1-a≥在[01，]恒成立，令h（x）=，x∈[0，1]，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可． ‎ 试题解析：‎ ‎（1）f′（x）=，f′（1）=-， ‎ g′（x）=-2ax，g′（1）=-2a， ‎ 由题意得：-2a=-，解得：a=； ‎ ‎（2）当x∈[0，1]时，不等式f（x）≤g（x）恒成立， ‎ 即1-a≥在[0，1]恒成立， ‎ 令h（x）=，x∈[0，1]， ‎ 则h′（x）=≥0， ‎ 故h（x）在[0，1]递增， ‎ 故h（x）≤h（1）=， ‎ 故1-a≥，解得：a≤． ‎ 练习2.已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】(1) 当时， 的单调递增区间为，无减区间，‎ 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当时， 的单调递增区间为，无减区间，‎ 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为;‎ ‎(2)将原问题转化为在上恒成立，考查函数的性质可得整数的最小值是2.‎ 试题解析：‎ ‎(1)，函数的定义域为.‎ 当时， ，则在上单调递增，‎ 当时，令，则或 (舍负)，‎ 当时， ， 为增函数，‎ 当时， ， 为减函数，‎ ‎∴当时， 的单调递增区间为，无减区间，‎ 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎(2)解法一：由得，‎ ‎∵，‎ ‎∴原命题等价于在上恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 令，则在上单调递增，‎ 由，，‎ ‎∴存在唯一，使，.‎ ‎∴当时， ， 为增函数，‎ 当时， ， 为减函数，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴，‎ 又，则，‎ 由，所以.‎ 故整数的最小值为2.‎ 解法二：得，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎①时， ， 在上单调递减，‎ ‎∵，∴该情况不成立.‎ ‎②时， ‎ 当时， ， 单调递减；‎ 当时， ， 单调递增，‎ ‎∴，‎ 恒成立，‎ 即.‎ 令，显然为单调递减函数.‎ 由，且，，‎ ‎∴当时，恒有成立，‎ 故整数的最小值为2.‎ 综合①②可得，整数的最小值为2.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎（十）任意存在问题 例10.函数.‎ ‎（1）当， 时，求的单调减区间；‎ ‎（2）时，函数，若存在，使得恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】(1)原函数的导函数为，对实数n分类讨论可得：‎ ‎①当时， 的单调减区间为；‎ ‎②当时， 的单调减区间为；‎ ‎③当时，减区间为.‎ ‎(2)由题意结合恒成立的条件构造新函数设，结合函数h(t)的性质分类讨论可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1），定义域为，‎ ‎，‎ ‎①当时，，此时的单调减区间为；‎ ‎②当时，时， ，此时的单调减区间为；‎ ‎③当时， 时， ，此时减区间为.‎ ‎①当时，，‎ 故，∴在上单调递增，因此；‎ ‎②当时，令，得：，，‎ 由和，得： ，故在上单调递减，此时.‎ 综上所述， .‎ 练习1.设函数 ‎ ‎（1）若为曲线的切线，求实数的值 ‎（2）当时，对任意，都存在使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或;（2）‎ ‎【解析】(1)由题意得到关于实数a的方程，解方程可得或；‎ ‎(2)求导可得，利用导函数研究原函数可得在上递减，在上递增，而二次函数的对称轴为，据此可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）令 则 得或 ‎（2）∵‎ 当时，和都为增函数 ‎∴在上递增且 又∵当时，；时，‎ ‎∴在上递减，在上递增，则 依题意，当时，‎ 又∵对称轴为（∵）‎ ‎∴在上递增 则 ‎，得 故得取值范围为 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． ‎