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- 2021-06-23 发布
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第
6
讲 函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象
课标要求
考情风向标
1.
结合具体实例,了解
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的实际意义;能借助计算器或
计算机画出
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图
象,观察参数
A
,
ω
,
φ
对函数图象
变化的影响
.
2.
会用三角函数解决一些简单实际
问题,体会三角函数是描述周期变
化现象的重要函数模型
从近几年的高考试题来看,函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象的平移和
伸缩变换以及根据图象确定
A
,
ω
,
φ
的值等问题是高考的热点,
复习
时,应抓住
“
五点法
”
作图
和图象的变换以及性质的应用,
通过适量的训练,掌握解决问题
的通性
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
(
A
>
0
,
ω
>
0)
,
x
∈[0
,+
∞
)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
ωx
+
φ
φ
1.
y
=
A
si
n(
ωx
+
φ
)
的有关概念
2.
五点法画
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
用五点法画
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
一个周期内的简图时,要找五
个特征点,如下表:
3.
函数
y
=
sin
x
的图象经变换得到
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>0
,
ω
>0)
的
图象的步骤
A
C
A
B
图
3-6-1
答案:
D
考点
1
函数
y
=
A
sin
(
ωx
+
φ
)
的图象及变换
考向
1
“
五点法
”
作函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象
图
3-6-2
答案:
D
解:
①
数据补全如下表:
【
规律方法
】
(1)
函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>
0
,
ω
>
0)
的图象
的两种作法是五点作图法和图象变换法
.
(2)
用
“
五点法
”
作函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>
0
,
ω
>
0)
的图
求出对应的
x
,
y
,即可得到所画图象上关键点的坐标
.
考向
2
函数
y
=
A
sin
(
ωx
+
φ
)
的图象的变换
答案:
D
答案:
D
答案:
A
不关于原点对称,故
C
不正确;
答案:
D
【
规律方法
】
图象变换的两种方法的区别:由
y
=
sin
x
的
图象,利用图象变换作函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
+
B
(
A
>0
,
ω
>0)(
x
∈
R
)
的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不
同时,原图象沿
x
轴的伸缩量的区别
.
先平移变换再周期变换
(
伸
缩变换
)
,平移的量是
|
φ
|
个单位长度,而先周期变换
(
伸缩变换
)
考点
2
函数
y
=
A
sin
(
ωx
+
φ
)
图象与性质的应用
考向
1
求函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的解析式
答案:
A
【
规律方法
】
确定
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
+
B
(
A
>0
,
ω
>0)
的解析式
的步骤:
【
跟踪训练
】
答案:
A
考向
2
函数
y
=
A
sin
(
ωx
+
φ
)
的图象与性质
例
4
:
某实验室一天的温度
(
单位:
℃
)
随时间
t
(
单位:
h)
的
变化近似满足函数关系:
(1)
求实验室这一天的最大温差;
(2)
若要求实验室温度不高于
11 ℃
,则在哪段时间实验室需
要降温?
故在
10
时至
18
时实验室需要降温
.
【
规律方法
】
面
对实际问题时,能够迅速地建立数学模型
是一项重要的基本技能
.
这个过程并不神秘,比如本例题,在读
题时把问题提供的
“
条件”
逐条地
“
翻译
”
成
“
数学语言
”,
这个过程就是数学建模的过程
.
【
跟踪训练
】
2.(2015
年陕西
)
如图
3-6-3
,某港口一天
6
时到
18
时的水深
时间水深
(
单位:
m)
的最大值为
( )
图
3-6-3
A.5
B.6
C.8
D.10
解析:
由图可知
y
min
=
2
=-
3
+
k
,∴
k
=
5.
答案:
C
1.
由图象确定函数解析式
.
由函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象确定
A
,
ω
,
φ
的题型,常常
以“五点法”中的五
个点作为突破口,要从图象的升降情况找
准第一个
“
零点
”
和第二个
“
零点
”
的位置
.
要善于抓住特殊
量和特殊点
.
2.
解决三角函数的对称问题,特别应注意:函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象与
x
轴的每一个交点均为其对称中
心,经过该图象
坐标为
(
x
,
±
A
)
的点与
x
轴垂直的每一条直线均为其图象的对称
轴,这样的最近两点间横坐标的差的
绝对值是半个周期
(
或两个
相邻平衡点间的距离
).
3.
在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,
但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练
掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母
x
而言,
即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少
.
4.
求一个关于
sin
x
、
cos
x
二次齐次式的周期、值域及单调
区间的确定等问题时,首先要降次化为
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
函数问
题
.
其基本思想是把
ωx
+
φ
看作一个整体,若
ω
<
0
,要先根据诱
导公式进行转化
.
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