2020高中数学 课时分层作业26 两角和与差的正切公式 新人教A版必修4 6页

课时分层作业(二十六)两角和与差的正切公式 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B． C．－2 D．－ C　[∵tan＝＝＝－，‎ ‎∴tan α＝－2，‎ ‎∵点P(1，a)在角α的终边上，‎ ‎∴tan α＝＝a，∴a＝－2.]‎ ‎2.的值等于(　　)‎ A．tan 42° B．tan 3°‎ C．1 D．tan 24°‎ A　[∵tan 60°＝，∴原式＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°.]‎ ‎3．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于(　　)‎ ‎ 【导学号：84352322】‎ A． B．7‎ C．－ D．－7‎ D　[∵tan(180°－α)＝－tan α＝－，‎ ‎∴tan α＝，‎ ‎∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7.]‎ 6‎ ‎4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352323】‎ A. B. C. D. C　[tan＝tan＝＝＝.]‎ ‎5．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝(　　)‎ A.m B.(1－m)‎ C.(m－1) D.(m＋1)‎ B　[由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)‎ ‎＝(1－m)．]‎ 二、填空题 ‎6．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.‎ 　[tan＝tan ‎＝ ‎＝＝.]‎ ‎7．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.‎ 　[由题意得tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，‎ 6‎ ‎∴tan(A＋B)＝＝＝1.‎ 又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－1，‎ ‎∴C＝.]‎ ‎8．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________. ‎ ‎【导学号：84352324】‎ ‎1　[原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)‎ ‎＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)‎ ‎＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°‎ ‎＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．已知tan＝2，tan β＝，‎ ‎(1)求tan α的值；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎[解]　(1)∵tan＝2，‎ ‎∴＝2，‎ ‎∴＝2，解得tan α＝.‎ ‎(2)原式 ‎＝ ‎＝＝ ‎＝tan(β－α)＝ ‎＝＝.‎ ‎10．如图313，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β 6‎ ‎，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.‎ 求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小. ‎ ‎【导学号：84352325】‎ 图313‎ ‎[解]　由条件得cos α＝，cos β＝.‎ ‎∵α，β为锐角，‎ ‎∴sin α＝＝，‎ sin β＝＝.‎ 因此tan α＝＝7，‎ tan β＝＝.‎ ‎(1)tan(α＋β)＝ ‎＝＝－3.‎ ‎(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝ ‎＝＝，‎ ‎∴tan(α＋2β)＝ ‎＝＝－1.∵α，β为锐角，‎ ‎∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.‎ 6‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan等于(　　)‎ A．－ B． C．－3 D．3‎ B　[由a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2，‎ 所以tan＝＝＝.]‎ ‎2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于(　　)‎ ‎ 【导学号：84352326】‎ A．30° B．45°‎ C．120° D．60°‎ D　[由公式变形得：‎ tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)‎ ‎＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)‎ ‎＝－tan C(1－tan Atan B)‎ ‎＝－tan C＋tan Atan Btan C，‎ ‎∴tan A＋tan B＋tan C ‎＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C ‎＝tan Atan Btan C＝3.‎ ‎∵tan2B＝tan Atan C，‎ ‎∴tan3B＝3，‎ ‎∴tan B＝，B＝60°.]‎ ‎3．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________. ‎ ‎【导学号：84352327】‎ 　[由条件知＝＝3，‎ 则tan α＝2.‎ 因为tan(α－β)＝2，‎ 所以tan(β－α)＝－2，‎ 故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]‎ ‎＝＝＝.]‎ 6‎ ‎4．已知tan α＝lg ‎10a，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为________．‎ 或1　[∵α＋β＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝1，‎ tan α＋tan β＝1－tan αtan β，‎ 即lg ‎10a＋lg＝1－lg 10alg，‎ ‎1＝1－lg 10alg，‎ ‎∴lg 10alg＝0，‎ ‎∴lg ‎10a＝0或lg＝0，‎ 解得a＝或a＝1.]‎ ‎5．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由. ‎ ‎【导学号：84352328】‎ ‎[解]　假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立．‎ 由(1)得＋β＝，‎ 所以tan＝＝.‎ 又tantan β＝2－，所以tan＋tan β＝3－，因此tan，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，‎ 解得x1＝1，x2＝2－.‎ 若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，所以tan＝2－，tan β＝1，所以α＝，β＝，所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.‎ 6‎