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  • 2021-06-23 发布

2020版高中数学 第一章 解三角形 同步精选测试1

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同步精选测试 正弦定理 ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.在△ABC中,a=4,∠A=45°,∠B=60°,则边b的值为(  )‎ A.+1 B.2+1‎ C.2 D.2+2 ‎【解析】 由已知及正弦定理,得=,‎ ‎∴b===2.‎ ‎【答案】 C ‎2.在△ABC中,若a=2,b=2,∠A=30°,则∠B=(  )‎ A.60° B.60°或120°‎ C.30° D.30°或150°‎ ‎【解析】 由=,得sin B===.因为b>a,所以∠B>∠A,所以∠B=60°或∠B=120°.‎ ‎【答案】 B ‎3.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是(  ) ‎ ‎【导学号:18082057】‎ A.1∶2∶3 B.1∶∶2‎ C.2∶∶1 D.∶1∶2‎ ‎【解析】 设三角形内角A,B,C分别为x,2x,3x,‎ 则x+2x+3x=180°,∴x=30°.‎ 由正弦定理==,‎ 可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,‎ ‎∴a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°‎ ‎=∶∶1=1∶∶2.‎ ‎【答案】 B ‎4.在△ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC形状为(  )‎ 5‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ‎【解析】 由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,‎ 则3b=‎2a·sin B可化为:‎ ‎3sin B=2sin A·sin B.‎ ‎∵0°<∠B<180°,‎ ‎∴sin B≠0,‎ ‎∴sin A=,‎ ‎∴∠A=60°或120°,‎ 又cos A=cos C,‎ ‎∴∠A=∠C,‎ ‎∴∠A=60°,‎ ‎∴△ABC为等边三角形.‎ ‎【答案】 C 二、填空题 ‎5.在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,c=1,则最短边的边长等于________. ‎ ‎【导学号:18082058】‎ ‎【解析】 由三角形内角和定理知:A=75°,由边角关系知∠B所对的边b为最小边,由正弦定理=得b===.‎ ‎【答案】  ‎6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,∠C=,则b=________.‎ ‎【解析】 在△ABC中,∵sin B=,0<∠B<π,‎ ‎∴∠B=或∠B=π.‎ 又∵∠B+∠C<π,∠C=,∴∠B=,∴∠A=π--=π.‎ ‎∵=,∴b==1.‎ ‎【答案】 1‎ 5‎ ‎7.在△ABC中,若b=5,∠B=,tan A=2,则a=________.‎ ‎【解析】 由tan A=2,得sin A=2cos A.又由sin‎2A+cos‎2A=1,得sin A=.因为b=5,∠B=,根据=,得a===2.‎ ‎【答案】 2 三、解答题 ‎8.在△ABC中,已知==,试判断△ABC的形状. ‎ ‎【导学号:18082059】‎ ‎【解】 令=k,‎ 由正弦定理得a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.‎ 代入已知条件,得==,‎ 即tan A=tan B=tan C.‎ 又∠A,∠B,∠C∈(0,π),‎ ‎∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形.‎ ‎9.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)求cos A+sin C的取值范围.‎ ‎【解】 (1)由a=2bsin A及正弦定理,‎ 得sin A=2sin Bsin A.‎ 因为sin A≠0,所以sin B=.‎ 由△ABC为锐角三角形,得∠B=.‎ ‎(2)cos A+sin C=cos A+sin ‎=cos A+sin ‎=cos A+cos A+sin A ‎=sin.‎ 由△ABC为锐角三角形,知-∠B<∠A<.‎ 5‎ 又因为-∠B=-=,‎ 所以<∠A+<,‎ 所以<sin<,‎ 所以<sin<,‎ 所以cos A+sin C的取值范围是.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.在△ABC中,(b+c)∶(a+c)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于(  )‎ A.4∶5∶6 B.6∶5∶4‎ C.7∶5∶3 D.7∶5∶6‎ ‎【解析】 设b+c=4k,a+c=5k,a+b=6k(k>0),三式联立可求得a=k,b=k,c=k,∴a∶b∶c=7∶5∶3,即sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3.‎ ‎【答案】 C ‎2.在△ABC中,下列关系中一定成立的是(  )‎ A.a>bsin A B.a=bsin A C.a