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- 2021-06-23 发布
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同步精选测试 正弦定理
(建议用时:45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.在△ABC中,a=4,∠A=45°,∠B=60°,则边b的值为( )
A.+1 B.2+1
C.2 D.2+2
【解析】 由已知及正弦定理,得=,
∴b===2.
【答案】 C
2.在△ABC中,若a=2,b=2,∠A=30°,则∠B=( )
A.60° B.60°或120°
C.30° D.30°或150°
【解析】 由=,得sin B===.因为b>a,所以∠B>∠A,所以∠B=60°或∠B=120°.
【答案】 B
3.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是( )
【导学号:18082057】
A.1∶2∶3 B.1∶∶2
C.2∶∶1 D.∶1∶2
【解析】 设三角形内角A,B,C分别为x,2x,3x,
则x+2x+3x=180°,∴x=30°.
由正弦定理==,
可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,
∴a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°
=∶∶1=1∶∶2.
【答案】 B
4.在△ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC形状为( )
5
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,
则3b=2a·sin B可化为:
3sin B=2sin A·sin B.
∵0°<∠B<180°,
∴sin B≠0,
∴sin A=,
∴∠A=60°或120°,
又cos A=cos C,
∴∠A=∠C,
∴∠A=60°,
∴△ABC为等边三角形.
【答案】 C
二、填空题
5.在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,c=1,则最短边的边长等于________.
【导学号:18082058】
【解析】 由三角形内角和定理知:A=75°,由边角关系知∠B所对的边b为最小边,由正弦定理=得b===.
【答案】
6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,∠C=,则b=________.
【解析】 在△ABC中,∵sin B=,0<∠B<π,
∴∠B=或∠B=π.
又∵∠B+∠C<π,∠C=,∴∠B=,∴∠A=π--=π.
∵=,∴b==1.
【答案】 1
5
7.在△ABC中,若b=5,∠B=,tan A=2,则a=________.
【解析】 由tan A=2,得sin A=2cos A.又由sin2A+cos2A=1,得sin A=.因为b=5,∠B=,根据=,得a===2.
【答案】 2
三、解答题
8.在△ABC中,已知==,试判断△ABC的形状.
【导学号:18082059】
【解】 令=k,
由正弦定理得a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
代入已知条件,得==,
即tan A=tan B=tan C.
又∠A,∠B,∠C∈(0,π),
∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形.
9.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.
(1)求角B的大小;
(2)求cos A+sin C的取值范围.
【解】 (1)由a=2bsin A及正弦定理,
得sin A=2sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin B=.
由△ABC为锐角三角形,得∠B=.
(2)cos A+sin C=cos A+sin
=cos A+sin
=cos A+cos A+sin A
=sin.
由△ABC为锐角三角形,知-∠B<∠A<.
5
又因为-∠B=-=,
所以<∠A+<,
所以<sin<,
所以<sin<,
所以cos A+sin C的取值范围是.
[能力提升]
1.在△ABC中,(b+c)∶(a+c)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A.4∶5∶6 B.6∶5∶4
C.7∶5∶3 D.7∶5∶6
【解析】 设b+c=4k,a+c=5k,a+b=6k(k>0),三式联立可求得a=k,b=k,c=k,∴a∶b∶c=7∶5∶3,即sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3.
【答案】 C
2.在△ABC中,下列关系中一定成立的是( )
A.a>bsin A B.a=bsin A
C.a
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