高中数学第8章圆锥曲线方程（第6课时）椭圆的简单几何性质(3) 5页

课 题：8．2椭圆的简单几何性质（三）‎ 教学目的：‎ ‎1. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；‎ ‎2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题；‎ ‎3．体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念 教学重点：焦半径公式的的推导及应用 教学难点：焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 ‎2．标准方程：， （）‎ ‎3．椭圆的性质：由椭圆方程() ‎ ‎(1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中．‎ ‎(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称 原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距 ‎（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点. 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 ‎ ‎(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 ‎ 椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 ‎ ‎4.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 ‎5．椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 ‎ 对于，左准线；右准线 对于，下准线；上准线 焦点到准线的距离（焦参数）‎ 二、讲解新课：‎ ‎ 椭圆的焦半径公式：设是椭圆的一点,和分别是点与点,的距离.那么（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率 推导方法一： ，‎ ‎，‎ 即（左焦半径）,（右焦半径）‎ 推导方法二：‎ ‎，‎ 同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： ‎ ‎（ 其中分别是椭圆的下上焦点）‎ 注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加 三、讲解范例 例1 如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)．‎ 解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、在轴上，‎ 则 ＝|OA|－|O|＝|A|＝6371＋439＝6810‎ ‎＝|OB|＋|O|＝|B|＝6371＋2384＝8755‎ 解得＝7782.5，＝972.5‎ ‎.‎ 卫星运行的轨道方程为 ‎ 例2 椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程 解：由椭圆的焦半径公式，得 ‎，解得，从而有 ‎ 所求椭圆方程为 ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．P为椭圆上的点，且P与的连线互相垂直，求P 解：由题意，得＝64，‎ P的坐标为，，，‎ ‎2．椭圆上不同三点与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证 证明：由题意，得 ＝2‎ ‎3．设P是以0为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 证明：设椭圆方程为,()，‎ 焦半径是圆的直径，‎ 则由知，两圆半径之差等于圆心距，‎ 所以，以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 五、小结 ：焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解 ‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记： ‎