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- 2021-06-23 发布
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第一章 导数及其应用
滚动训练二(§1.3~§1.4)
一、选择题
1.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( )
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 C
解析 f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值,f′(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值,由题图易知有两个极大值点,两个极小值点.
2.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.a=1
C.(-∞,1] D.(0,1)
考点 利用导数求函数的单调区间
题点 已知函数单调性求参数(或其范围)
答案 A
解析 ∵f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)内恒成立,
∴f′(0)≤0,且f′(1)≤0,∴a≥1.
3.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )
A.f(b)>f(c)>f(d)
B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(e)>f(d)
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考点 利用导数研究函数的单调性
题点 比较函数值的大小
答案 C
解析 依题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0,
因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,
由于af(b)>f(a).
4.函数f(x)=x+2cos x在上取最大值时的x值为( )
A.0 B.
C. D.
考点 利用导数求函数的最值
题点 利用导数求不含参数函数的最值
答案 B
解析 由f′(x)=1-2sin x=0,得sin x=,
又x∈,所以x=,
当x∈时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0,
故当x=时取得最大值.
5.已知函数f(x)=x2(ax+b)(a,b∈R)在x=2处有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行,则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(-∞,0) B.(0,2)
C.(2,+∞) D.(-∞,+∞)
考点 利用导数求函数的单调区间
题点 利用导数求含参数函数的单调区间
答案 B
解析 ∵f(x)=ax3+bx2,∴f′(x)=3ax2+2bx,
∴即
令f′(x)=3x2-6x<0,则00,则函数的导数f′(x)=1-=,
由f′(x)>0得x>或x<-,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得-0,
∴φ(x)在(0,1]上递增,φ(x)max=φ(1)=-6,
∴a≥-6.
当x∈[-2,0)时,a≤,
∴a≤min.
仍设φ(x)=,φ′(x)=-.
当x∈[-2,-1)时,φ′(x)<0,
当x∈(-1,0)时,φ′(x)>0.
∴当x=-1时,φ(x)有极小值,即为最小值.
而φ(x)min=φ(-1)==-2,∴a≤-2.
综上知-6≤a≤-2.
二、填空题
9.若函数f(x)=x3+x2+m在区间[-2,1]上的最大值为,则m=________.
考点 导数在最值问题中的应用
题点 已知最值求参数
答案 2
解析 f′(x)=3x2+3x=3x(x+1).
8
由f′(x)=0,得x=0或x=-1.
又f(0)=m,f(-1)=m+,
f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,
∴当x∈[-2,1]时,最大值为f(1)=m+,
∴m+=,∴m=2.
10.已知函数f(x)的导函数f′(x)是二次函数,如图是f′(x)的大致图象,若f(x)的极大值与极小值的和等于,则f(0)的值为________.
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值求参数
答案
解析 ∵其导函数的函数值应在(-∞,-2)上为正数,在(-2,2)上为负数,在(2,+∞)上为正数,
由导函数图象可知,函数在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,
∴函数在x=-2时取得极大值,在x=2时取得极小值,且这两个极值点关于点(0,f(0))对称,
由f(x)的极大值与极小值之和为,得f(-2)+f(2)=2f(0),
∴=2f(0),则f(0)的值为.
11.已知函数f(x)=xex+c有两个零点,则c的取值范围是________.
考点 函数极值的综合应用
题点 函数零点与方程的根
答案
解析 ∵f′(x)=ex(x+1),∴易知f(x
8
)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,且f(x)min=f(-1)=c-e-1,由题意得c-e-1<0,得c0,得1≤x<4,由y′<0,得40).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解 (1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)有最小值f(-t)=h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g′(t)=-3t2+3=0得t=1或t=-1(舍去).
当t变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表:
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
+
0
-
g(t)
↗
1-m
↘
8
∴当t∈(0,2)时,g(t)max=g(1)=1-m.
∵h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,
∴g(t)max=1-m<0,∴m>1.
故实数m的取值范围是(1,+∞).
四、探究与拓展
14.已知函数f(x)=2ln x+(a>0).若当x∈(0,+∞)时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是________.
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案 [e,+∞)
解析 f(x)≥2即a≥2x2-2x2ln x.
令g(x)=2x2-2x2ln x,
则g′(x)=2x(1-2ln x).
由g′(x)=0得x=或0(舍去),
当00;
当x>时,g′(x)<0,
∴当x=时,g(x)取最大值g()=e,∴a≥e.
15.已知函数f(x)=ln(x+1)+(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的极值;
(3)求证:ln(n+1)>+++…+(n∈N*).
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 构造法的应用
(1)解 当a=1时,f(x)=ln(x+1)+,
所以f′(x)=+=,
所以f′(0)=2,
又f(0)=0,
所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
8
(2)解 f′(x)=+
=(x>-1).
令x+1+a=0,得x=-a-1.
若-a-1≤-1,即a≥0,
则f′(x)>0恒成立,此时f(x)无极值.
若-a-1>-1,即a<0,
当-1-a-1时,f′(x)>0,
此时f(x)在x=-a-1处取得极小值,
极小值为ln(-a)+a+1.
(3)证明 当a=-1时,由(2)知,f(x)min=f(0)=0,
所以ln(x+1)-≥0,即ln(x+1)≥.
令x=(n∈N*),
则ln≥=,
所以ln≥.
又因为-=>0,
所以>,
所以ln>,
所以ln+ln+ln+…+ln>+++…+,
即ln(n+1)>+++…+.
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