江西省重点中学盟校2020届高三下学期第一次联考数学（文）试题 Word版含解析 25页

www.ks5u.com 江西省重点中学盟校2020届高三第一次联考数学文科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．‎ 考生注意：‎ ‎1．答题前，考生将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效.‎ ‎3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并回收．‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：共12小题，满分60分，每小题5分.‎ ‎1. 设,则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件求得，再确定在复平面内对应的点位于的象限即可.‎ ‎【详解】解：由题意知,‎ 即，‎ 故在复平面内对应点位于第四象限，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题.‎ ‎2. 命题“在中，若，则”的否命题是（ ）‎ A. 在中，若，则 B. 在中，若，则 C. 在中，若，则 D. 在中，若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 命题“若p则q”的否命题为“若则”‎ ‎【详解】因为命题“若p则q”的否命题为“若则”‎ 所以命题“在中，若，则”的否命题是 ‎“在中，若，则”‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.‎ ‎3. .设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解.‎ ‎【详解】由题得，a>0,b>0.‎ 所以.‎ 故答案为C ‎【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.‎ ‎4. 为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )‎ ‎ ‎ A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关 C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同 - 25 -‎ D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C选项错误．‎ ‎【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，‎ 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为人，女性人数为人，男性人数与女性人数不相同，故C错误，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.‎ ‎5. 在梯形中，已知,,点在线段上，且,则（ ）‎ ‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法的三角形法则求解.‎ ‎【详解】因为，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选C.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查向量加法的三角形法则.‎ ‎6. 明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有，，．据此，可得正项等比数列中，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列中的可由首项和末项表示.‎ ‎【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，‎ 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，‎ 所以正项等比数列中的可由首项和末项表示，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.‎ ‎7. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，‎ - 25 -‎ ‎，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的性质及判定定理一一判断即可.‎ ‎【详解】解：对于：若，，则直线与平面，可能平行，相交，或，故错误；‎ 对于：若，，，则与一定不平行，否则，与已知矛盾，通过平移使得与相交，且设与确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以与所成的角为，即，故正确；‎ 对于：若，，则直线与平面，可能平行或，故错误；‎ 对于：若，，，，无法得到，还需一个条件、相交于一点，故错误；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．‎ ‎8. 已知函数，（其中）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴；‎ ‎②点是函数的一个对称中心；‎ ‎③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为．‎ 其中所有正确的判断是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②‎ ‎【答案】C - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,分别代入求解计算出的解析式,再根据三角函数的图像性质逐个判断即可.‎ ‎【详解】因为的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,故且,故.所以.‎ 故.又图像最低点为,故.‎ 即.又,故.故.‎ 对①,当时,不是正弦函数的对称轴.故①错误.‎ 对②,当时,,故点是函数的一个对称中心,故②正确.‎ 对③,因为,故,所以函数与有6个交点.设交的横坐标分别为,根据图像以及五点作图法的方法可知,当时解得为6个横坐标的对称轴.‎ 故.故③正确.‎ - 25 -‎ 综上,②③正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了三角函数图像的运用,需要根据题意确定三角函数的周期,代入最值点求解参数进而得到三角函数的解析式.同时也考查了判断三角函数的对称轴,对称点以及数形结合求解零点的问题.属于中档题.‎ ‎9. 函数y＝ln|x|·cos(－2x)的图像可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。‎ ‎【详解】解：‎ 所以函数是奇函数，关于原点对称，故排除；当时，故 - 25 -‎ 故排除 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题，属于基础题。‎ ‎10. 已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设直线的倾斜角为 ，则 的倾斜角为，由过焦点的弦长公式 ，可得 ， ，所以可得 ‎ ‎ ，的最大值为，故选D.‎ ‎11. 在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用正弦定理可得，由 - 25 -‎ 求得，由两角和余弦公式可得，由两角差的余弦公式可得，可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，由正弦定理可得，‎ 即，‎ 因为 ，‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，，‎ ‎，又因，‎ 所以，所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式，以及正弦定理的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎12. 已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为直线与在和 - 25 -‎ 上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出与的两段图像相切的斜率即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】直线关于直线的对称直线为，‎ 则直线与的函数图像有个交点，‎ 当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 作出与直线的函数图像，如图所示： ‎ 设直线与相切，切点为，‎ 则 ，解得，‎ 设直线与相切，切点为，‎ 则，解得，‎ 与函数图像有个交点，‎ 直线与在和上各有个交点， ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：A - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 二、填空题：共4小题，满分20分，每小题5分．‎ ‎13. 已知集合，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数不等式求解集合,再求并集即可.‎ ‎【详解】,故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数不等式的求解以及并集的计算,属于基础题.‎ ‎14. 已知：，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求式子先用倍角公式展开，再转化成关于的齐次式，再将分子、分母同时除以转化成关于的式子，再将代入求值即可.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查倍角公式、同角三角函数基本关系，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，上存在一点满足，且到坐标原点的距离等于双曲线的虚轴长，则双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 设，由双曲线的定义可得，结合，分别在、，中利用余弦定理列等式，消去可得，从而可得结果.‎ 详解】‎ 设 ,‎ 可得 ,可得（1）, 在中，由余弦定理可得（2），‎ 因为，所以在，中分别利用余弦定理可得，‎ ‎,‎ 两式相加可得 ,分别与（1）、（2）联立得，‎ 消去可得，‎ 所以双曲线的渐近线方程为，即，故答案为 .‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程、定义与渐近线方程，以及余弦定理的应用，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎16. 正三棱锥，为中点，，，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为________．‎ ‎【答案】‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可将正三棱锥放到以为棱长的正方体中,再根据正三棱锥的外接球与该正方体的外接球相同,再根据球心到的距离分析截面的范围即可.‎ ‎【详解】因为正三棱锥中,,故,.因为,故.同理,.‎ 因此可正三棱锥是棱长为正方体的一角.‎ 此时正三棱锥的外接球与正方体外接球相同.‎ 且球的半径.‎ 又球的最大截面圆为过球心的圆,所以过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最大值为.‎ 又为中点,根据正方体的结构特征可知.当垂直于过的截面时,截面圆半径的最小值.所以过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最大值为.‎ 因此的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为.‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的问题,同时也考查了球的截面问题,需要根据题意判断出三棱锥为对应的正方体的一角,再根据截面的性质求解即可.属于中档题.‎ - 25 -‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17. 已知等差数列满足，且是，的等比中项．‎ ‎ (1)求数列的通项公式；‎ ‎ (2)设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值．‎ ‎【答案】(1) (2)5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设等差数列的公差为,再根据可得,再用基本量法代入化简计算即可得,进而得出通项公式.‎ ‎(2)利用裂项求和可得,再求解即可.‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为,‎ ‎,即 ‎,‎ 是,的等比中项,‎ ‎,即,‎ 解得.‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎(2)由（Ⅰ）得.‎ - 25 -‎ ‎,‎ 由,因为,故,解得.‎ ‎∴使得成立的最大正整数的值为5.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本量法求解数列的通项公式,同时也考查了裂项求和以及数列不等式的求解等.属于中档题.‎ ‎18. 随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.‎ 年龄 ‎（单位：岁）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 ‎（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.‎ - 25 -‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据频数分布表补全列联表，代入公式可求得，从而可知有的把握；（Ⅱ）根据分层抽样的方法可知抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人，根据超几何分布的特点求得分布列和数学期望.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由频数分布表得列联表如下：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 ‎13‎ 合计 有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关 ‎（Ⅱ）年龄在中支持微信支付人，不支持微信支付6人 由分层抽样方法可知：抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人 设人中不支持微信支付的人数为，则所有可能的取值为：‎ - 25 -‎ ‎，，‎ 的分布列为：‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验、超几何分布的分布列和数学期望的求解，对于学生的基础计算能力有一定的考查，属于常规题型.‎ ‎19. 图1是由矩形和等腰直角三角形组成的一个平面图形，其中，．将三角形沿折起，使得，为的中点，连接，如图2．‎ ‎ ‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 分别证明与,进而得到,再证明平面即可.‎ ‎(2) 设交于点,连接,则三棱锥与三棱锥 - 25 -‎ 公共部分即三棱锥.再分别计算点到平面的距离与即可.‎ ‎【详解】(1)在图2中,∵四边形是矩形,,‎ 又,‎ 又,‎ 平面.‎ 平面,‎ ‎,‎ 又,平面.‎ 又平面 平面平面.‎ ‎(2)由(1)可知,平面,‎ 平面,‎ 平面平面.‎ ‎,点到平面的距离为.‎ 如图,设交于点,连接,则三棱锥与三棱锥公共部分即三棱锥.‎ 为的中点,‎ ‎,‎ ‎.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质以及面面垂直的证明.同时也考查了三棱锥体积的求解,需要根据题意找到点到面的距离与底面积.属于中档题.‎ ‎20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.‎ ‎【详解】（1）面积的最大值为，则：‎ 又，，解得：，‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形 设，，线段的中点为 由，消去可得：‎ ‎，解得：‎ - 25 -‎ ‎∴，‎ ‎， ‎ 依题意有，‎ 由可得：，可得：‎ 由可得：‎ ‎，‎ 代入上式化简可得：‎ 则：，解得：‎ 当时，点满足题意；当时，点满足题意 故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.‎ ‎21. 设.‎ ‎（1）若，且为函数的一个极值点，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，且函数的图象恒在轴下方，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的导函数，由为函数的一个极值点，则，即可求出参数的值，解得到函数的单调递增区间.‎ ‎（2）依题意，，即在上恒成立，‎ 令，利用导数研究函数的单调性、极值，则的极小值需大于零，再次构造函数求出参数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1），，由题意，所以，所以，令，得或，当时，，当时，，当时，，所以函数的单调递增区间是和；‎ ‎（2）依题意，，即在上恒成立，‎ 令，则.‎ 对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为-1，‎ 则两个零点一正一负，设其中一个零点为，‎ 则，即，‎ 且在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，即，‎ 令，‎ - 25 -‎ 则，‎ 当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，又，故，显然函数在上是关于的单调递增函数，则，故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，利用导数证明不等式，属于难题.‎ 选考题共10分．请考生在22、23题中在选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点在上，直线经过点且与直线垂直.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点在曲线上运动（异于点），射线交直线于点，求线段的中点轨迹的极坐标方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知条件先求出直线的普通方程，再转化成极坐标方程；‎ ‎(2)直接用极坐标表示、两点，运用中点坐标公式求解.‎ ‎【详解】解析：（1）由题知，，‎ 故点的直角坐标为，由知直线的倾斜角为，故直线的直角坐标方程为 - 25 -‎ ‎，所以其极坐标方程为即；‎ ‎（2）由题知可设，，其中，‎ 则中点的极坐标为，由在曲线上得，由在直线上得，故中点的极坐标为，‎ 所以中点轨迹的极坐标方程为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标互化，属于中档题.‎ 选修45：不等式选讲 ‎23. 已知函数，.‎ ‎（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（2）设实数为（1）中的最大值，若实数、、满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出，利用绝对值三角不等式可得出，解出即可；‎ ‎（2）由题意得出，然后利用柯西不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】（1）因为对恒成立，则，‎ 由绝对值三角不等式可得，即，解得.‎ 故实数的取值范围是；‎ - 25 -‎ ‎（2）由题意，故，‎ 由柯西不等式知，‎ ‎，‎ 所以，当且仅当时等号成立 从而，最小值为，当且仅当，，时等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立问题，同时也考查了利用柯西不等式求最值，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ - 25 -‎ - 25 -‎