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- 2021-06-23 发布
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2019学年第一学期高一期末考试
数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
2. 已知角的始边是轴的正半轴,终边经过点,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意可知,故.
3. 计算:( )
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】原式.
4. 已知向量,若,则( )
A. B. 9 C. 13 D.
【答案】C
【解析】由于两个向量垂直,故,故.
5. 若幂函数的图象过点,则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意有,,.
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6. 函数的最大值是 ( )
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】,故最大值为.
7. 下列函数是奇函数,且在上是增函数的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选项为偶函数,选项为非奇非偶函数.选项在为减函数,在为增函数.选项在上为增函数,符合题意.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性.判断函数的奇偶性,首先判断函数的定义域是否关于原点对称,选项定义域显然不关于原点对称,故为非奇非偶函数.然后计算,化简后看等于还是.函数的单调性中是对钩函数,在不是递增函数.
8. 若,是第二象限角,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于角为第二象限角,故,所以,,故
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式和两角差的正弦公式.首先根据角的正弦值和所在的象限,求得角的余弦值,然后利用二倍角公式求得的正弦值和余弦值,最后利用两角差的正弦公式展开所求式子,代入已知数值即可求得最后结果.
9. 函数的零点为,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,故函数的零点在区间.
10. 在平行四边形中,是中点,是中点,若,则( )
- 9 -
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接,由于为中点,故.
11. 曲线,曲线,下列说法正确的是 ( )
A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,再将所得曲线向左平移个单位,得到 B. 将上所有点横坐标缩小到原来的,纵坐标不变,再将所得曲线向左平移个单位,得到
C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,再将所得曲线向左平移个单位,得到 D. 将上所有点横坐标缩小到原来的,纵坐标不变,再将所得曲线向左平移个单位,得到
【答案】B
【解析】由于,故首先横坐标缩小到原来得到,再向左平移个单位得到.故选.
12. 若不等式对任意的恒成立,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时,原不等式化为,不恒成立,排除,故选.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
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二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上.
13. 若,则__________.
【答案】
【解析】分子分母同时除以得,解得,故.
14. ,则__________.
【答案】
【解析】,,故原式.
15. 若函数在是单调函数,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由于函数为二次函数,对称轴为,只需对称轴不在区间上即可,即或,解得.
【点睛】本题主要考查二次函数单调区间的知识.对于二次函数来说,它的单调区间主要由开口方向和对称轴来决定.当开口向上时,左减右增,当开口向下是,左增右减.本题中由于题目只需要区间上的单调函数,不需要递增还是递减,故只需对称轴不在给定区间内即可.
16. 已知函数在区间内单调递减,则的最大值为__________.
【答案】1
【解析】,根据单调性有,解得,故,解得,当时,.
...............
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三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知集合.
(1)求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】【试题分析】(1)首先求得,由此求得的值.(2),由于,故,解得.
【试题解析】
解:,
(1);
(2)∵,∴,
∵,∴,∴.
18. 已知向量.
(1)若与共线,求的值;
(2)记,求的最大值和最小值,及相应的的值.
【答案】(1)(2)当时,取得最大值2;当时,取得最小值-1.
【解析】【试题分析】(1)利用两个向量共线,则有,解方程求得的值.(2)利用向量坐标运算化简,进而求得的最大值和最小值,及相应的的值.
【试题解析】
解:(1)∵与共线,∴,
∴,∵,∴;
(2),
∵,∴,∴,∴,
当即时,取得最大值2;当,即时,取得最小值-1.
19. 已知函数的图象过点.
(1)若,求实数的值;
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(2)当时,求函数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】【试题分析】(1)将点代入函数,由此求得的值,进而得出的表达式.解方程,可求得实数的值.(2)将分离常数,得到,它在上为减函数,在区间端点取得最小值和最大值.由此求得函数的值域.
【试题解析】
解:(1),∴,
,
∴,∴;
(2),
显然在与上都是减函数,
∵,∴在上是减函数,
∵,∴.
20. 函数的部分图象如图所示.
(1)求的值;
(2)求图中的值及函数的递增区间.
【答案】(1)(2)
【解析】【试题分析】(1)根据图像最大值求得,根据可求得,在根据图像上一个点,可求得的值.(2)利用求出,利用周期为可求得的值.将代入余弦函数的单调递增区间,求得的范围即函数的递增区间.
【试题解析】
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解:(1)由图知,∴,∴,
又,
∴,且,∴;
(2)由(1)知,由,
∴,
由得,
∴的单调增区间为.
21. 已知都是锐角,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】【试题分析】先求得、、和的值.(1)利用求得的值;(2)利用求得的值.
【试题解析】
解:因为都是锐角,
所以,且,
所以,
(1);
(2).
【点睛】本题主要考查同角三角函数关系,考查两角和与差的正弦、余弦公式,考查化归与转化的数学思想方法.先根据题目所给定两个角是锐角和两个正弦值,求得相应的余弦值和倍角的余弦值和正弦值.然后将所求角转化为已知角,最后利用两角和与差的公式求解出结果.
22. 已知函数.
(1)求证:是奇函数;
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(2)判断的单调性,并证明;
(3)已知关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)见解析(2)
【解析】【试题分析】(1)定义域为关于原点对称,判断故函数为奇函数.(2)函数在定义域的两个区间上都是减函数.利用定义法,计算,由此判断出函数的单调性.(3)根据函数的单调性和奇偶性,将原不等式转化为即,解不等式得.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,考查利用定义法求函数单调性,考查利用函数的奇偶性和单调性求参数的取值范围.判断函数的奇偶性首先要求出函数的定义域,看定义域是否关于原点对称,然后再判断与的关系,进而判断函数的奇偶性.定义法判断函数的单调性,需计算的值来判断.
【试题解析】
(1)证明:由,得,
∵,
∴是奇函数;
(2)解:的单调减区间为与没有增区间,
设,则.
∵,∴,
∴,
∴,∴,
∴在上是减函数,
同理,在上也是减函数;
(3)是奇函数,∴,
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∴化为,
又在上是减函数,
∴,∴,即.
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