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- 2021-06-23 发布
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第三章 导数及其应用
第一节 导数及导数的运算
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养测评
【教材
·
知识梳理】
1.
导数的概念
(1)
函数
y=f(x)
在
x=x
0
处的导数
①
定义:称函数
y=f(x)
在
x=x
0
处的瞬时变化率
_____________________
为函数
y=
f(x)
在
x=x
0
处的导数,记作
f′(x
0
)
,即
f′(x
0
)= =________________.
②
几何意义:函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f′(x
0
)
的几何意义是曲线
y=f(x)
在点
___________
处的
_________
,相应地,切线方程为
______________________
(x
0
,
f(x
0
))
切线斜率
y-f(x
0
)=f′(x
0
)(x-x
0
).
(2)
函数
f(x)
的导函数:称函数
f′(x)=________________
为
f(x)
的导函数
.
2.
基本初等函数的导数公式
(1)C′=0.(2)(x
α
)′=αx
α-1
(α∈Q
*
).(3)(sin x)′=cos x.(4)(cos x)′=
-sin x.(5)(a
x
)′=a
x
ln a.(6)(e
x
)′=e
x
.
(7)(log
a
x)′= .(8)(ln x)′= .
3.
导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=_______________.
(2)[f(x)
·
g(x)]′=______________________.
(3) =___________________________.
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
4.
复合函数的求导法则
[
f(g(x))
]
′=f′(g
(
x))·g′(x).
【常用结论】
1.
注意两种区别
(1)“
过”与“在”:曲线
y=f(x)“
在点
P(x
0
,
y
0
)
处的切线”与“过点
P(x
0
,
y
0
)
的切线”的区别:前者
P(x
0
,
y
0
)
为切点,而后者
P(x
0
,
y
0
)
不一定为切点
.
(2)“
切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点
.
2.
三点注意
(1)
利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆
.
(2)f′(x
0
)
代表函数
f(x)
在
x=x
0
处的导数值;
(f(x
0
))′
是函数值
f(x
0
)
的导数,而函数值
f(x
0
)
是一个常量,其导数一定为
0
,即
(f(x
0
))′=0.
(3)
对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零
.
【知识点辨析】
(
正确的打“
√”,
错误的打“
×”)
(1)
在导数的定义中
,Δx
一定是正数
. (
)
(2)(3
x
)′=x3
x-1
. (
)
(3)
求函数
f(x)
在
x=x
0
处的导数
f′(x
0
)
时
,
可先求
f(x
0
) ,
再求
f′(x
0
) .(
)
(4)
曲线的切线与曲线的公共点只有一个
. (
)
提示
:
(1) ×.
在导数的定义中
,Δx
可正、可负但不可为
0.
(2) ×.(3
x
)′=3
x
ln 3.
(3)×.
求函数
f(x)
在
x=x
0
处的导数
f′(x
0
)
时
,
应先求
f′(x),
再求
f′(x
0
) .
(4)×.
曲线的切线与曲线的公共点个数不一定只有一个
.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
导数公式记错
考点一、
T1,2
2
导数运算法则记错
考点一、
T3,4,5
3
混淆
f′(x
0
)
与
f′(x)
考点二、
T2
4
“
未知切点”与“已知切点”题型混淆
考点三、角度
2
5
求切点坐标时
,
等量关系的来源不清晰
考点三、角度
2
【教材
·
基础自测】
1.(
选修
2-2 P10
练习
AT1
改编
)
某跳水运动员离开跳板后
,
他达到的高度与时间的函数关系式是
h(t)=10-4.9t
2
+8t(
距离单位
:
米
,
时间单位
:
秒
),
则他在
0.5
秒时的瞬时速度为
(
)
A.9.1
米
/
秒
B.6.75
米
/
秒
C.3.1
米
/
秒
D.2.75
米
/
秒
【解析】
选
C.
因为函数关系式是
h(t)=10-4.9t
2
+8t,
所以
h′(t)=-9.8t+8,
所以在
t=0.5
秒的瞬时速度为
-9.8×0.5+8=3.1(
米
/
秒
).
2.(
选修
2-2 P21
练习
AT4
改编
)
已知
f(x)=x(2 019+ln x),
若
f′(x
0
)
=2 020,
则
x
0
等于
(
)
A.e
2
B.1
C.ln 2
D.e
【
解析】
选
B.f′(x)=2 019+ln x+x
·
=2 020+ln x,
由
f′(x
0
)
=2 020,
得
2 020+ln x
0
=2 020,
则
ln x
0
=0,
解得
x
0
=1.
3.(
选修
2-2 P13
习题
1-1AT3
改编
)
已知函数
f(x)
的图象如图
,f′(x)
是
f(x)
的导函数
,
则下列数值排序正确的是
(
)
A.0
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