2020年高中数学第一章导数及其应用1 7页

‎1.3.2‎‎ 函数的极值与导数 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．下列函数存在极值的是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝x－ex C．f(x)＝x3＋x2＋2x－3 D．f(x)＝x3‎ 解析：A中f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，且f(x)的图象为双曲线．∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值．D也无极值．故选B.‎ 答案：B ‎2.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列说法错误的是(　　)‎ A．－2是函数y＝f(x)的极小值点 B．1是函数y＝f(x)的极值点 C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零 D．y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增 解析：f′(1)＝0，但在1的相邻的左右两侧的导函数值同号，故1不是f(x)的极值点，故选B.‎ 答案：B ‎3．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．2，－1‎ C．－1 D．－3‎ 解析：f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，则知在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f′(x)<0，在区间 ‎(－1,2)上f′(x)>0，故当x＝－1时，f(x)取极小值．‎ 答案：C ‎4．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有(　　)‎ A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24‎ C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4‎ 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.‎ 7‎ 答案：B ‎5．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数图象如图所示，则函数f(x)的极小值是(　　)‎ A．a＋b＋c B．‎8a＋4b＋c C．‎3a＋2b D．c 解析：由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，∴函数f(x)在x＝0时取得极小值c.‎ 答案：D ‎6．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：f′(x)＝3x2＋a，‎ 令f′(x)＝0，∴a＝－3x2，‎ ‎∴a＜0时，存在两个极值点．‎ 答案：a＜0‎ ‎7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．‎ 解析：∵y＝ex＋ax，‎ ‎∴y′＝ex＋a，‎ 由于y＝ex＋ax有大于零的极值点，即方程ex＋a＝0有大于零的解．‎ 即a＝－ex(x>0)，∵当x>0时，－ex<－1，‎ ‎∴a<－1.‎ 答案：(－∞，－1)‎ ‎8．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．‎ 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f (x)的大致图象如图，‎ 观察图象得－20，得x<－或x>1，‎ 令f′(x)<0，得－0，‎ 7‎ 即f(x)在x＝1处取得极小值，‎ 故a＝，b＝－，且f(x)＝x3－x2－x，‎ 它的单调增区间是(－∞，－)和(1，＋∞)，‎ 它的单调减区间是(－，1)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．如图所示的是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由图象可得：⇒，‎ 所以f′(x)＝3x2－2x－2，‎ 由题意可得：x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，故x1，x2是方程f′(x)＝0的根，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝－，则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝.‎ 答案：D ‎2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)‎ A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 解析：①当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此时f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，且f′(1)＝e－1≠0，∴A，B项均错；②当k＝2时，f(x)＝(ex－1)·(x－1)2，此时f′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，易知g(x)＝ex(x＋1)－2的零点介于0,1之间，不妨设为x0，则有 x ‎(－∞，x0)‎ x0‎ ‎(x0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  故f(x)在x＝1处取得极小值．‎ 7‎ 答案：C ‎3．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________，b＝________.‎ 解析：y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，‎ 由根与系数的关系应有 ，∴.‎ 答案：－3　－9‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(b，c，d为常数)，当k∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f(x)－k＝0只有一个实根；当k∈(0,4)时，f(x)－k＝0有3个相异实根，现给出下列四个命题：‎ ‎①f(x)－4＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根；‎ ‎②f(x)＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根；‎ ‎③f(x)－3＝0的任一实根大于f(x)－1＝0的任一实根；‎ ‎④f(x)＋5＝0的任一实根小于f(x)－2＝0的任一实根．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 解析：由题意y＝f(x)图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0，f(x)－k＝0的根的问题可转化为f(x)＝k，即y＝k和y＝f(x)图象交点个数问题．根据图象可知答案为：①②④.‎ 答案：①②④‎ ‎5．设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ 解析：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，‎ 故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.‎ 从而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)关于直线x＝－对称，从而由题设条件知－＝－，解得a＝3.‎ 又由于f′(1)＝0，即6＋‎2a＋b＝0，解得b＝－12.‎ 7‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，‎ f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．‎ 令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，‎ 解得x1＝－2，x2＝1.‎ 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；‎ 当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．‎ 从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.‎ ‎6．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)， g(x)的图象都相切，且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.‎ ‎(1)求直线l的方程及a的值；‎ ‎(2)当k>0时，试讨论方程f(1＋x2)－g(x)＝k的解的个数．‎ 解析：(1)由直线l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1，得f′(1)＝1，即直线l的斜率为1，则切点为(1，f(1))，即(1,0)，‎ ‎∴直线l的方程为y＝x－1.①‎ ‎∵g′(x)＝x，且切线l的斜率为1，‎ ‎∴切点为，‎ 则直线l：y－＝x－1，即y＝x－＋a.②‎ 由①②可得－＋a＝－1，∴a＝－.‎ ‎(2)∵f(1＋x2)－g(x)＝k，‎ 即ln(1＋x2)－x2＋＝k.‎ 设y1＝ln(1＋x2)－x2＋，y2＝k，‎ 则y1′＝－x＝.‎ 令y1′＝0，得x1＝0，x2＝1，x3＝－1，当x变化时，y1′，y1的变化情况，列表如下：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,0)‎ ‎0‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ y1′‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ y1‎  极大值ln 2‎  极小值  极大值ln 2‎  7‎ 函数y1的大致图象如图：‎ 方程y1＝y2，‎ ‎①当0ln 2时，没有解．‎ 7‎