2020年高中数学第一章导数及其应用章末优化总结优化练习新人教A版选修2-2 10页

第一章 导数及其应用 章末检测(一)‎ 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．曲线y＝xex－1在点(1,1) 处切线的斜率等于(　　)‎ A．2e　　　　　　　　　 B．e C．2 D．1‎ 解析：由y＝xex－1得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝e1－1＋1×e1－1＝2.故选C.‎ 答案：C ‎2．二次函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y＝f(x)的图象的顶点在(　　)‎ A．第Ⅰ象限 B．第Ⅱ象限 C．第Ⅲ象限 D．第Ⅳ象限 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴c＝0，∴f′(x)＝2ax＋b，由y＝f′(x)的图象可知，‎2a<0，b>0，∴a<0，b>0，∴－>0，＝－>0，故选A.‎ 答案：A ‎3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．3 D．－3‎ 解析：∵f′(x)＝li ‎＝li ＝a，‎ ‎∴f′(1)＝a＝3.‎ 答案：C ‎4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为(　　)‎ 10‎ A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)‎ 解析：f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)＞0得x＞2. ‎ 答案：C ‎5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　)‎ A．－37 B．－29‎ C．－5 D．－11‎ 解析：由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，又f(0)＝m，f(2)＝m－8，‎ f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37.‎ 答案：A ‎6．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵f(x)＝2cos2x＋1＝2＋cos 2x，x∈(0，π)，‎ ‎∴f′(x)＝－2sin 2x.‎ 令f′(x)>0，则sin 2x<0.‎ 又x∈(0，π)，∴0<2x<2π.‎ ‎∴π<2x<2π，即0；当－22时，‎ f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D.‎ 答案：D 10‎ ‎8．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是(　　)‎ A. B. C. D．9‎ 解析：解得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．‎ 如图，由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积 S＝－3(－x2)dx－－3(2x－3)dx ‎＝－x3－(x2－3x)＝.‎ 答案：B ‎9．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是(　　)‎ A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos x C．f(x)＝sin x－x D．f(x)＝ 解析：对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.‎ 答案：B ‎10．已知函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝时取得极值，则函数y＝f(－x)是(　　)‎ A．偶函数且图象关于点(π，0)对称 B．偶函数且图象关于点(，0)对称 C．奇函数且图象关于点(，0)对称 D．奇函数且图象关于点(π，0)对称 解析：∵f(x)的图象关于x＝对称，∴f(0)＝‎ f()，∴－b＝a，‎ ‎∴f(x)＝asin x－bcos x＝asin x＋acos x＝asin(x＋)，‎ 10‎ ‎∴f(－x)＝asin(－x＋)＝asin(π－x)＝asin x.‎ 显然f(－x)是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.‎ 答案：D ‎11．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(x∈R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为(　　)‎ A．(1，＋∞)‎ B．(－∞，－1)‎ C．(－1,1)‎ D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ 解析：不等式f(x)＜x＋1可化为f(x)－x＜1，‎ 设g(x)＝f(x)－x，‎ 由题意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1，故原不等式⇔g(x)＜g(1)，故x＞1.‎ 答案：A ‎12．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为(　　)‎ 解析：在[－π，π]上，‎ ‎∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝(1－cos x)‎ ‎(－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，排除B.‎ 取x＝，则f()＝(1－cos)sin＝1＞0，排除A.‎ ‎∵f(x)＝(1－cos x)sin x，∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x ‎＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1.‎ 令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－.‎ 结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C.‎ 10‎ 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.‎ 解析：令ex＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即 f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2.‎ 答案：2‎ ‎14．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．‎ 解析：因为y＝e－5x＋2，所以y′＝－5e－5x，所求切线的斜率为k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，故所求切线的方程为y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0.‎ 答案：y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0‎ ‎15．若函数f(x)＝在区间(m,‎2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：f′(x)＝，令f′(x)> 0，得－10，当x∈(，10)时，V′(x)<0，‎ ‎∴当x＝时，V(x)取得最大值为π cm3.‎ 答案：π cm3‎ 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分)求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．‎ 解析：因为f′(3)＝li ＝27，所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即y＝27x－54.‎ 10‎ 此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．‎ 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×2×54＝54.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．‎ 解析：(1)f′ (x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.‎ 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.‎ 从而a＝4，b＝4.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.‎ 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．‎ 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．‎ ‎19. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．‎ ‎(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．‎ 解析：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.‎ 又x＝－1，x＝分别对应函数取得极小值、极大值，‎ 所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．‎ 所以a＝－1＋，－＝(－1)×.‎ 于是a＝－，b＝2，则f(x)＝－x3－x2＋2x.‎ 当x＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上．‎ 又切线斜率为k＝f′(－2)＝－8，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，‎ 即为8x＋y＋14＝0.‎ ‎(2)当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：‎ 10‎ x ‎－2‎ ‎(－2，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，)‎ ‎(，1)‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎2‎  ‎－   则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且00，得x0>1或x0<－1；‎ 10‎ 由g′(x0)<0，得－10时，“>a”等价于“sin x－ax>‎0”‎；“0对任意x∈(0，)恒成立．‎ 当c≥1时，因为对任意x∈(0，)，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间[0，]上单调递减．从而对 g(x)g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立”当且仅当g()＝1－c≥0，即00对任意x∈(0，)恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈(0，)恒成立．‎ 所以，若a<0且g(1)<0，即－30，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．‎ 综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝‎ f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．‎ ‎(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；‎ 过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；‎ 过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．‎ 10‎