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- 2021-06-23 发布
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高中数学解析几何压轴题专项拔高训练
一.选择题(共 15 小题)
1.已知倾斜角α≠0 的直线 l 过椭圆 (a>b>0)的右焦点交椭圆于 A、B 两点,P 为右准线上任意一点,
则∠APB 为( )
A
.
钝角 B
.
直角 C
.
锐角 D
.
都有可能
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版 权所有
专题: 压轴题.
分析: 根据题设条件推导出以 AB 为直径的圆与右准线相离.由此可知∠APB 为锐角.
解答: 解:如图,设 M 为 AB 的中点,过点 M 作 MM1 垂直于准线于点 M1,分别过 A、B 作 AA1、BB1 垂直于准
线于 A1、B1 两点.
则
∴以 AB 为直径的圆与右准线相离.
∴∠APB 为锐角.
点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时作出图形,数形结合,往往能收到事半功倍之效果.
2.已知双曲线 (a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线为 l,一直线交双曲线于 P.Q 两点,交 l 于 R 点.则
( )
A
.
∠PFR>∠QFR B
.
∠PFR=∠QFR
C
.
∠PFR<∠QFR D
.
∠PFR 与∠AFR 的大小不确定
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题.
分析:
设 Q、P 到 l 的距离分别为 d1,d2,垂足分别为 M,N,则 PN∥MQ, = ,又由双曲线第二定义可知
,由此能够推导出 RF 是∠PFQ 的角平分线,所以∠PFR=∠QFR.
解答: 解:设 Q、P 到 l 的距离分别为 d1,d2,垂足分别为 M,N,
则 PN∥MQ,
∴ = ,
又由双曲线第二定义可知 ,
∴ , ,
∴ ,
∴RF 是∠PFQ 的角平分线,
∴∠PFR=∠QFR
故选 B.
点评: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解.
3.设椭圆 的一个焦点为 F,点 P 在 y 轴上,直线 PF 交椭圆于 M、N,
,则实数λ1+λ2=( )
A
.
B
.
C
.
D
.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题.
分析: 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程是 y=k(x﹣c).将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整
理得(b2+a2k2)x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0.然后利用向量关系及根与系数的关系,可求得λ1+λ2 的值.
解答: 解:设 M,N,P 点的坐标分别为 M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0),
又不妨设 F 点的坐标为(c,0).
显然直线 l 存在斜率,设直线 l 的斜率为 k,
则直线 l 的方程是 y=k(x﹣c).
将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得(b2+a2k2)x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0.
∴ , .
又∵ ,
将各点坐标代入得 ,
= .
故选 C.
点评: 本题以向量为载体,考查直线与椭圆的位置关系,是椭圆性质的综合应用题,解题时要注意公式的合理选
取和灵活运用.
4.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C1 的离心率为 e,直线 l 与双曲线 C1 交于 A,B 两点,线段 AB 中点 M 在
一象限且在抛物线 y2=2px(p>0)上,且 M 到抛物线焦点的距离为 p,则 l 的斜率为( )
A
.
B
.
e2﹣1 C
.
D
.
e2+1
考点: 圆锥曲线的综合. 菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 利用抛物线的定义,确定 M 的坐标,利用点差法将线段 AB 中点 M 的坐标代入,即可求得结论.
解答: 解:∵M 在抛物线 y2=2px(p>0)上,且 M 到抛物线焦点的距离为 p,
∴M 的横坐标为 ,∴M( ,p)
设双曲线方程为 (a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则
,
两式相减,并将线段 AB 中点 M 的坐标代入,可得
∴
∴
故选 A.
点评: 本题考查双曲线与抛物线的综合,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
5.已知 P 为椭圆 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x﹣3)2+y2=4 上的点,则|PM|+|PN|
的最小值为( )
A
.
5 B
.
7 C
.
13 D
.
15
考点: 圆与圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质. 菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题.
分析:
由题意可得:椭圆 的焦点分别是两圆(x+3)2+y2=1 和(x﹣3)2+y2=4 的圆心,再结合椭圆的定
义与圆的有关性质可得答案.
解答:
解:依题意可得,椭圆 的焦点分别是两圆(x+3)2+y2=1 和(x﹣3)2+y2=4 的圆心,
所以根据椭圆的定义可得:(|PM|+|PN|)min=2×5﹣1﹣2=7,
故选 B.
点评: 本题考查圆的性质及其应用,以及椭圆的定义,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.
6.过双曲线 ﹣ =0(b>0,a>0)的左焦点 F(﹣c,0)(c>0),作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 FE
交双曲线右支于点 P,若 = ( + ),则双曲线的离心率为( )
A
.
B
.
C
.
D
.
考点: 圆与圆锥曲线的综合. 菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题.
分析: 由 = ( + ),知 E 为 PF 的中点,令右焦点为 F′,则 O 为 FF′的中点,则 PF′=2OE=a,能推导出在
Rt△PFF′中,PF2+PF′2=FF′2,由此能求出离心率.
解答: 解:∵若 = ( + ),
∴E 为 PF 的中点,令右焦点为 F′,则 O 为 FF′的中点,
则 PF′=2OE=a,
∵E 为切点,
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF﹣PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在 Rt△PFF′中,PF2+PF′2=FF′2
即 9a2+a2=4c2
∴离心率 e= = .
故选:A.
点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件.
7.设椭圆 的左焦点为 F,在 x 轴上 F 的右侧有一点 A,以 FA 为直径的圆与椭圆在 x 轴上
方部分交于 M、N 两点,则 的值为( )
A
.
B
.
C
.
D
.
考点: 圆与圆锥曲线的综合. 菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题.
分析: 若以 FA 为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点,则 M、N 重合(设为 M),此时 A 为椭圆的右
焦点,由此可知 = ,从而能够得到结果.
解答: 解:若以 FA 为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点,
则 M、N 重合(设为 M),此时 A 为椭圆的右焦点,则
= = .
故选 A.
点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意合理地选取特殊点.
8.已知定点 A(1,0)和定直线 l:x=﹣1,在 l 上有两动点 E,F 且满足 ,另有动点 P,满足
(O 为坐标原点),且动点 P 的轨迹方程为( )
A
.
y2=4x B
.
y2=4x(x≠0) C
.
y2=﹣4x D
.
y2=﹣4x(x≠0)
考点: 圆锥曲线的轨迹问题. 菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题.
分析:
设 P(x,y),欲动点 P 的轨迹方程,即寻找 x,y 之间 的关系式,利用向量间的关系求出向量 、 的
坐标后垂直条件即得动点 P 的轨迹方程.
解答: 解:设 P(x,y),E(﹣1,y1),F(﹣1,y2)(y1,y2 均不为零)
由 ∥
⇒
y1=y,即 E(﹣1,y).
由 ∥
⇒
.
由 y2=4x(x≠0).
故选 B.
点评: 本题主要考查了轨迹方程的问题.本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程.
9.已知抛物线过点 A(﹣1,0),B(1,0),且以圆 x2+y2=4 的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程( )
A
. + =1(y≠0)
B
. + =1(y≠0)
C
. ﹣ =1(y≠0)
D
. ﹣ =1(y≠0)
考点: 圆锥曲线的轨迹问题. 菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题.
分析: 设出切线方程,表示出圆心到切线的距离求得 a 和 b 的关系,再设出焦点坐标,根据抛物线的定义求得点 A,
B 到准线的距离等于其到焦点的距离,然后两式平方后分别相加和相减,联立后,即可求得 x 和 y 的关系
式.
解答: 解:设切线 ax+by﹣1=0,则圆心到切线距离等于半径
∴ =2
∴ ,
∴a2+b2=
设抛物线焦点为(x,y),根据抛物线定义可得
平方相加得:x2+1+y2=4(a2+1)①
平方相减得:x=4a,
∴ ②
把②代入①可得:x2+1+y2=4( +1)
即:
∵焦点不能与 A,B 共线
∴y≠0
∴
∴抛物线的焦点轨迹方程为
故选 B.
点评: 本题以圆为载体,考查抛物线的定义,考查轨迹方程,解题时利用圆的切线性质,抛物线的定义是关键.
10.如图,已知半圆的直径|AB|=20,l 为半圆外一直线,且与 BA 的延长线交于点 T,|AT|=4,半圆上相异两点 M、
N 与直线 l 的距离|MP|、|NQ|满足条件 ,则|AM|+|AN|的值为( )
A
.
22 B
.
20 C
.
18 D
.
16
考点: 圆与圆锥曲线的综合;抛物线的定义.菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题.
分析: 先以 AT 的中点 O 为坐标原点,AT 的中垂线为 y 轴,可得半圆方程为(x﹣12)2+y2=100,根据条件得出 M,
N 在以 A 为焦点,PT 为准线的抛物线上,联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系,利用抛物线的
定义即可求得答案.
解答: 解:以 AT 的中点 O 为坐标原点,AT 的中垂线为 y 轴,
可得半圆方程为(x﹣12)2+y2=100
又 ,设 M(x1,y1),N(x2,y2),
M,N 在以 A 为焦点,PT 为准线的抛物线上;以 AT 的垂直平分线为 y 轴,TA 方向为 x 轴建立坐标系,则
有
抛物线方程为 y2=8x(y≥0),联立半圆方程和抛物线方程,
消去 y 得:x2﹣16x+44=0
∴x1+x2=16,
|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20.
故选 B.
点评: 本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识,考查运算求解能力,考查数
形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
11.椭圆 与双曲线 有公共的焦点 F1,F2,P 是两曲线的一个交点,则 cos∠F1PF2=( )
A
.
B
.
C
.
D
.
考点: 圆锥曲线的共同特征. 菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 利用双曲线、椭圆的定义,建立方程,求出|PF1|= ,|PF2|= ,再利用余弦定理,即可求得结
论.
解答: 解:不妨令 P 在双曲线的右支上,由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2 ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2 ②
由①②可得|PF1|= ,|PF2|=
∵|F1F2|=4
∴cos∠F1PF2= =
故选 A.
点评: 本题考查圆锥曲线的共同特征,利用双曲线、椭圆的定义,建立方程是关键.
12.曲线 (|x|≤2)与直线 y=k(x﹣2)+4 有两个交点时,实数 k 的取值范围是( )
A
.
B
.
( ,+∞) C
.
D
.
考点: 直线与圆锥曲线的关系.菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题.
分析: 如图,求出 BC 的斜率,根据圆心到切线的距离等于半径,求得切线 BE 的斜率 k′,由题意可知,k′<k≤KBC,
从而得到实数 k 的取值范围.
解答: 解:曲线 即 x2+(y﹣1)2=4,(y≥1),表示以 A(0,1)为圆心,以 2 为半径的圆位
于直线 y=1 上方的部分(包含圆与直线 y=1 的交点 C 和 D),是一个半圆,如图:
直线 y=k(x﹣2)+4 过定点 B(2,4),设半圆的切线 BE 的切点为 E,则 BC 的斜率为 KBC= = .
设切线 BE 的斜率为 k′,k′>0,则切线 BE 的方程为 y﹣4=k′(x﹣2),根据圆心 A 到线 BE 距离等于半径
得
2= ,k′= ,
由题意可得 k′<k≤KBC,∴ <k≤ ,
故选 A.
点评: 本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,倾斜角和斜率的关系,体现了数形结合的数学思想,
判断
k′<k≤KBC,是解题的关键.
13.设抛物线 y2=12x 的焦点为 F,经过点 P(1,0)的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,且 ,则|AF|+|BF|=
( )
A
.
B
.
C
.
8 D
.
考点: 直线与圆锥曲线的关系.菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题.
分析: 根据向量关系,用坐标进行表示,求出点 A,B 的坐标,再利用抛物线的定义,可求|AF|+|BF|.
解答: 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
∵P(1,0)
∴ =(1﹣x2,﹣y2), =(x1﹣1,y1)
∵ ,
∴2(1﹣x2,﹣y2)=(x1﹣1,y1)
∴
将 A(x1,y1),B(x2,y2)代入抛物线 y2=12x,可得 ,
又∵﹣2y2=y1
∴4x2=x1 又∵x1+2x2=3
解得
∵|AF|+|BF|=
故选 D.
点评: 本题重点考查抛物线的定义,考查向量知识的运用,解题的关键是确定点 A,B 的横坐标.
14.已知双曲线 上的一点到其左、右焦点的距离之差为 4,若已知抛物线 y=ax2 上的
两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 ,则 m 的值为( )
A
.
B
.
C
.
D
.
考点: 直线与圆锥曲线的关系.菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题.
分析:
y1=2x12,y2=2x22,A 点坐标是(x1,2x12),B 点坐标是(x2,2x22)A,B 的中点坐标是( , )
因为 A,B 关于直线 y=x+m 对称,所以 A,B 的中点在直线上,且 AB 与直线垂直 = +m,
由此能求得 m.
解答: 解:y1=2x12,y2=2x22,
A 点坐标是(x1,2x12),B 点坐标是(x2,2x22),
A,B 的中点坐标是( , ),
因为 A,B 关于直线 y=x+m 对称,
所以 A,B 的中点在直线上,
且 AB 与直线垂直 = +m, ,
x12+x22═ +m,x2+x1=﹣ ,
因为 ,
所以 xx12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2= ,
代入得 ,求得 m= .
故选 B.
点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解
题时要注意合理地进行等价转化.
15.已知双曲线 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物线 y2=9x 上,则实数 m
的值为( )
A
.
4 B
.
﹣4 C
.
0 或 4 D
.
0 或﹣4
考点: 直线与圆锥曲线的关系.菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题.
分析:
根据双曲线 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,求出 MN 中点 P(﹣ , m),利用 MN
的中点在抛物线 y2=9x 上,即可求得实数 m 的值.
解答: 解:∵MN 关于 y=x+m 对称∴MN 垂直直线 y=x+m,MN 的斜率﹣1,MN 中点 P(x0,x0+m)在 y=x+m 上,
且在 MN 上
设直线 MN:y=﹣x+b,∵P 在 MN 上,∴x0+m=﹣x0+b,∴b=2x0+m
由 消元可得:2x2+2bx﹣b2﹣3=0
∴Mx+Nx=﹣b,∴x0=﹣ ,∴b=
∴MN 中点 P(﹣ , m)
∵MN 的中点在抛物线 y2=9x 上,
∴
∴m=0 或 4
故选 D.
点评: 本题考查直线与双曲线的位置关系,考查对称性,考查抛物线的标准方程,解题的关键是确定 MN 中点 P
的坐标.
二.解答题(共 15 小题)
16.已知椭圆 C: ,F1,F2 是其左右焦点,离心率为 ,且经过点(3,1)
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)若 A1,A2 分别是椭圆长轴的左右端点,Q 为椭圆上动点,设直线 A1Q 斜率为 k,且 ,
求直线 A2Q 斜率的取值范围;
(3)若 Q 为椭圆上动点,求 cos∠F1QF2 的最小值.
考点: 椭圆的简单性质;椭圆的应用. 菁优网版 权所有
专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: (1)根据椭圆的离心率为 ,且经过点(3,1),求椭圆 C 的标准方程;
(2)设 A2Q 的斜率为 k',Q(x0,y0),则可得 kk'= = ,利用 ,即可求
直线 A2Q 斜率的取值范围;
(3)利用椭圆的定义、余弦定理,及基本不等式,即可求 cos∠F1QF2 的最小值.
解答: 解:(1)∵椭圆的离心率为 ,且经过点(3,1),建立方程,求出几何量,即可
∴ ,
∴椭圆 C 的标准方程为 …(3 分)
(2)设 A2Q 的斜率为 k',Q(x0,y0),则 , …(5 分)
∴kk'= 及 …(6 分)
则 kk'= =
又 …(7 分)
∴ ,
故 A2Q 斜率的取值范围为( ) …(8 分)
(3)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 a,b,c,则有 ,
由椭圆定义,有 …(9 分)
∴cos∠F1QF2= …(10 分)
= …(11 分)
≥ …(12 分)
= = …(13 分)
∴cos∠F1QF2 的最小值为 .(当且仅当|QF1|=|QF2|时,即 Q 取椭圆上下顶点时,cos∠F1QF2 取得最小值)
…(14 分)
点评: 本题考查椭圆的标准方程与几何性质,考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查基本不等式的运用,综合性
强.
17.已知椭圆 x2+ =1 的左、右两个顶点分别为 A,B.双曲线 C 的方程为 x2﹣ =1.设点 P 在第一象限且在双
曲线 C 上,直线 AP 与椭圆相交于另一点 T.
(Ⅰ)设 P,T 两点的横坐标分别为 x1,x2,证明 x1•x2=1;
(Ⅱ)设△TAB 与△POB(其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S1 与 S2,且 • ≤15,求 S ﹣S 的取值范围.
考点: 直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算. 菁优网版 权所有
专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: (Ⅰ)设直线 AP 的方程与椭圆方程联立,确定 P、T 的横坐标,即可证得结论;
(Ⅱ)利用 • ≤15,结合点 P 是双曲线在第一象限内的一点,可得 1<x1≤2,利用三角形的面积公式求
面积,从而可得 S ﹣S 的不等式,利用换元法,再利用导数法,即可求 S ﹣S 的取值范围.
解答: (Ⅰ)证明:设点 P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),直线 AP 的斜率为 k(k>0),
则直线 AP 的方程为 y=k(x+1),
代入椭圆方程,消去 y,整理,得(4+k2)x2+2k2x+k2﹣4=0,
解得 x=﹣1 或 x= ,故 x2= .
同理可得 x1= .
所以 x1•x2=1.
(Ⅱ)设点 P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),
则 =(﹣1﹣x1,y1), =(1﹣x1,y1).
因为 • ≤15,所以(﹣1﹣x1)(1﹣x1)+y12≤15,即 x12+y12≤16.
因为点 P 在双曲线上,所以 ,所以 x12+4x12﹣4≤16,即 x12≤4.
因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1<x1≤2.
因为 S1=|y2|,S2= ,
所以 S ﹣S = =
由(Ⅰ)知,x1•x2=1,即 .
设 t= ,则 1<t≤4,S ﹣S =5﹣t﹣ .
设 f(t)=5﹣t﹣ ,则 f′(t)=﹣1+ = ,
当 1<t<2 时,f'(t)>0,当 2<t≤4 时,f'(t)<0,
所以函数 f(t)在(1,2)上单调递增,在(2,4
]
上单调递减.
因为 f(2)=1,f(1)=f(4)=0,
所以当 t=4,即 x1=2 时,S ﹣S 的最小值为 f(4)=0,当 t=2,即 x1= 时,S ﹣S 的最大值为 f
(2)=1.
所以 S ﹣S 的取值范围为[0,1
]
.
点评: 本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、化
归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力.
18.设椭圆 D: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A,在 x 轴负半轴上有一点 B,满足
,且 AB⊥AF2.
(Ⅰ)若过 A、B、F2 三点的圆 C 恰好与直线 l:x﹣ y﹣3=0 相切,求圆 C 方程及椭圆 D 的方程;
(Ⅱ)若过点 T(3,0)的直线与椭圆 D 相交于两点 M、N,设 P 为椭圆上一点,且满足 (O 为坐标
原点),求实数 t 取值范围.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的应用.菁优网版 权所有
专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: (Ⅰ)利用 ,可得 F1 为 BF2 的中点,根据 AB⊥AF2,可得 a,c 的关系,利用过 A、B、F2 三
点的圆 C 恰好与直线 l: 相切,求出 a,即可求出椭圆的方程与圆的方程;
(Ⅱ)设直线 MN 方程代入椭圆方程,利用韦达定理及向量知识,即可求实数 t 取值范围.
解答: 解:(Ⅰ)由题意知 F1(﹣c,0),F2(c,0),A(0,b).
因为 AB⊥AF2,所以在 Rt△ABF2 中, ,
又因为 ,所以 F1 为 BF2 的中点,
所以
又 a2=b2+c2,所以 a=2c.
所以 F2( ,0),B(﹣ ,0),
Rt△ABF2 的外接圆圆心为 F1(﹣ ,0),半径 r=a,
因为过 A、B、F2 三点的圆 C 恰好与直线 l: 相切,
所以 =a,解得 a=2,所以 c=1,b= .
所以椭圆的标准方程为: ,圆的方程为(x+1)2+y2=1;
(Ⅱ)设直线 MN 方程为 y=k(x﹣3),M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),则
直线方程代入椭圆方程,消去 y 可得(4k2+3)x2﹣24k2x+36k2﹣12=0,
∴△=(24k2)﹣4(4k2+3)(36k2﹣12)>0,
∴k2< ,
x1+x2= ,x1x2= ,
∵ ,
∴x1+x2=tx,y1+y2=ty,
∴tx= ,ty= ,
∴x= ,y= ,
代入椭圆方程可得 3×[
]
2+4×[
]
2=12,
整理得 =
∵k2< ,
∴0<t2<4,
∴实数 t 取值范围是(﹣2,0)∪(0,2).
点评: 本题考查椭圆方程与圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查直线与椭圆的位置关系,难度大
19.已知 F1、F2 为椭圆 C: 的左,右焦点,M 为椭圆上的动点,且 • 的最大值为
1,最小值为﹣2.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)过点 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M,N 两点,A 为椭圆的左顶点.试判断∠MAN 是否
为直角,并说明理由.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
(1)设 M(x',y'),化简 • = x'2+2b2﹣a2(﹣a≤x≤a),从而求最值,进而求椭圆方程;
(2)设直线 MN 的方程为 x=ky﹣6 并与椭圆联立,利用韦达定理求 • 的值,从而说明是直角.
解答: 解:(1)设 M(x',y'),
则 y'2=b2﹣ x'2,
• = x'2+2b2﹣a2(﹣a≤x≤a),
则当 x'=0 时, • 取得最小值 2b2﹣a2=﹣2,
当 x'=±a 时, • 取得最大值 b2=1,
∴a2=4,
故椭圆的方程为 .
(2)设直线 MN 的方程为 x=ky﹣ ,
联立方程组可得,
化简得:(k2+4)y2﹣2.4ky﹣ =0,
设 M(x1,y1),N(x2,y2),
则 y1+y2= ,y1y2=﹣ ,
又 A(﹣2,0),
• =(x1+2,y1)•(x2+2,y2)
=(k2+1)y1y2+ k(y1+y2)+ =
=﹣(k2+1) + k + =0,
所以∠MAN 为直角.
点评: 本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用,同时考查了向量的应用,属于难题.
20.如图,P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上,圆(x﹣1)2+y2=1 内切于△PBC,求△PBC 面积的最
小值.
考点: 圆与圆锥曲线的综合. 菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
设 P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),设 b>c.直线 PB:y﹣b= ,化简,得(y0﹣b)x﹣x0y+x0b=0,
由圆心(1,0)到直线 PB 的距离是 1,知 ,由此导出(x0﹣2)b2+2y0b﹣x0=0,
同理,(x0﹣2)c2+2y0c﹣x0=0,所以(b﹣c)2= ,从而得到 S△PBC= ,
由此能求出△PBC 面积的最小值.
解答: 解:设 P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),设 b>c.
直线 PB 的方程:y﹣b= ,
化简,得(y0﹣b)x﹣x0y+x0b=0,
∵圆心(1,0)到直线 PB 的距离是 1,
∴ ,
∴(y0﹣b)2+x02=(y0﹣b)2+2x0b(y0﹣b)+x02b2,
∵x0>2,上式化简后,得
(x0﹣2)b2+2y0b﹣x0=0,
同理,(x0﹣2)c2+2y0c﹣x0=0,
∴b+c= ,bc= ,
∴(b﹣c)2= ,
∵P(x0,y0)是抛物线上的一点,
∴ ,
∴(b﹣c)2= ,b﹣c= ,
∴S△PBC=
=
=(x0﹣2)+ +4
≥2 +4=8.
当且仅当 时,取等号.
此时 x0=4,y0= .
∴△PBC 面积的最小值为 8.
点评: 本昰考查三角形面积的最小值的求法,具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性
质、均值定理等基本知识,综合性强,难度大,对数学思想的要求较高,解题时要注意等价转化思想的合
理运用.
21.已知直 L1:2x﹣y=0,L2:x﹣2y=0.动圆(圆心为 M)被 L1L2 截得的弦长分别为 8,16.
(Ⅰ)求圆心 M 的轨迹方程 M;
(Ⅱ)设直线 y=kx+10 与方程 M 的曲线相交于 A,B 两点.如果抛物 y2=﹣2x 上存在点 N 使得|NA|=|NB|成立,求
k 的取值范围.
考点: 圆与圆锥曲线的综合;直线与圆相交的性质. 菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题.
分析: (Ⅰ)设 M(x,y),M 到 L1,L2 的距离分别为 d1,d2,则 d12+42=d22+82.所以 ,
由此能求出圆心 M 的轨迹方程.
(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 ,得(1﹣k2)x2﹣20kx﹣180=0.AB 的中点为
,AB 的中垂线为 ,由 ,得
.由此能求出 k 的取值范围.
解答: 解:(Ⅰ)设 M(x,y),M 到 L1,L2 的距离分别为 d1,d2,则 d12+42=d22+82.…(2 分)
∴ ,
∴x2﹣y2=80,即圆心 M 的轨迹方程 M:x2﹣y2=80. …(4 分)
(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 ,
得(1﹣k2)x2﹣20kx﹣180=0. ①
∴AB 的中点为 ,…(6 分)
∴AB 的中垂线为 ,即 ,…(7 分)
由 ,得 ②…(8 分)
∵存在 N 使得|NA|=|NB|成立的条件是:①有相异二解,并且②有解. …(9 分)
∵①有相异二解的条件为 ,
∴
⇒
且 k≠±1.③…(10 分)
②有解的条件是 ,∴ ,④…(11 分)
根据导数知识易得 时,k3﹣k+40>0,
因此,由③④可得 N 点存在的条件是:﹣1 或 1<k< . …(12 分)
点评: 本题主要考查双曲线标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查
运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.
22.已知直线 l1:ax﹣by+k=0;l2:kx﹣y﹣1=0,其中 a 是常数,a≠0.
(1)求直线 l1 和 l2 交点的轨迹,说明轨迹是什么曲线,若是二次曲线,试求出焦点坐标和离心率.
(2)当 a>0,y≥1 时,轨迹上的点 P(x,y)到点 A(0,b)距离的最小值是否存在?若存在,求出这个最小值.
考点: 圆锥曲线的轨迹问题. 菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题;分类讨论;转化思想.
分析: (1)联立直线 l1 和 l2 的方程,消去参数即可得到交点的轨迹方程,根据 a 的取值 a>0,﹣1<a<0,a=﹣1,
a<﹣1 说明轨迹曲线,利用二次曲线判断形状,直接求出焦点坐标和离心率.
(2)通过 a>0,y≥1 时,说明轨迹的图形,求出轨迹上的点 P(x,y)到点 A(0,b)距离的表达式,通
过配方讨论 b 与 的大小,求出|PA|的最小值.
解答:
解:(1)由
消去 k,得 y2﹣ax2=1
①当 a>0 时,轨迹是双曲线,焦点为 ,离心率 ;
②当﹣1<a<0 时,轨迹是椭圆,焦点为 ,离心率 ;
③当 a=﹣1 时,轨迹是圆,圆心为(0,0),半径为 1;
④当 a<﹣1 时,轨迹是椭圆,焦点为 ,离心率
(2)当 a>0 时,y≥1 时,轨迹是双曲线 y2﹣ax2=1 的上半支.
∵|PA|2=x2+(y﹣b)2=
=
①当 b> 时,|PA|的最小值为 ;
②当 b≤ 时,|PA|的最小值为|1﹣b|
点评: 本题考查知识点比较多,涉及参数方程,双曲线方程椭圆方程,圆的方程,两点的距离公式等等,涉及分
类讨论思想二次函数的最值,是难度比较大,容易出错的题目,考试常靠题型,多以压轴题为主.
23.如图,ABCD 是边长为 2 的正方形纸片,沿某动直线 l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻
折后点 B 都落在边 AD 上,记为 B';折痕与 AB 交于点 E,以 EB 和 EB’为邻边作平行四边形 EB’MB.若以 B 为原
点,BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如下图):
(Ⅰ).求点 M 的轨迹方程;
(Ⅱ).若曲线 S 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的,等腰梯形 A1B1C1D1 的三边 A1B1,B1C1,C1D1
分别与曲线 S 切于点 P,Q,R.求梯形 A1B1C1D1 面积的最小值.
考点: 圆锥曲线的轨迹问题;向量在几何中的应用. 菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题.
分析: (1)设出 M 的坐标,根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直,且两点的中点在对称轴上,再根
据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点 M 的轨迹方程;
(2)利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率,求出腰 A1B1 的方程,分别令 y=0 和 y=1 求出与两底
的交点横坐标,利用梯形的面积公式表示出梯形 A1B1C1D1 面积,利用基本不等式求出其最小值.
解答: 解:(1)如图,设 M(x,y),B′(x0,2),又 E(0,b)
显然直线 l 的斜率存在,故不妨设直线 l 的方程为 y=kx+b,则
而 BB′的中点 在直线 l 上,
故 ,①
由于
⇒
代入①即得 ,
又 0≤x0≤2 点 M 的轨迹方程 (0≤x≤2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)
(2)易知曲线 S 的方程为 (﹣2≤x≤2)
设梯形 A1B1C1D1 的面积为 s,点 P 的坐标为 .
由题意得,点 Q 的坐标为(0,1),直线 B1C1 的方程为 y=1.
对于 有
∴
∴直线 A1B1 的方程为 ,
即: 令 y=0 得, ,
∴ .
令 y=1 得, ,
∴
所以
当且仅当 ,即 时,取“=”且 , 时,
s 有最小值为 .梯形 A1B1C1D1 的面积的最小值为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(15 分)
点评: 本题考查两点关于一条直线对称的充要条件;向量运算的几何意义;曲线在切点处的导数值为曲线的切线
斜率;利用基本不等式求函数的最值.属于一道难题.
24.(1)已知一个圆锥母线长为 4,母线与高成 45°角,求圆锥的底面周长.
(2)已知直线 l 与平面α成φ,平面α外的点 A 在直线 l 上,点 B 在平面α上,且 AB 与直线 l 成θ,
①若φ=60°,θ=45°,求点 B 的轨迹;
②若任意给定φ和θ,研究点 B 的轨迹,写出你的结论,并说明理由.
考点: 圆锥曲线的轨迹问题;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题.
分析: (1)由圆锥的母线长为 4,母线与高成 45°角,知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形,由勾股定
理可知底面半径为 2 ,由圆周公式 2πR 可算出底面周长.
(2)①设 l∩α=C,点 A 在平面α上的射影为点 O.建立空间直角坐标系,设|AC|=a,有 A(0,0,asin60°),
C(0,﹣acos60°).设 B(x,y,0),则 =(0,﹣acos60°,﹣asin60°). =(x,y,﹣asin60°).所以
.又由 |•cos45°,知﹣acos60°•y+a2sin60°=a,
平方整理得 ,由此知点 B 的轨迹.
②设 l∩α=C,点 A 在平面α上的射影为点 O.如图建立空间直角坐标系,设|AC|=a,有 A(0,0,asinφ),
C(0,﹣acosφ),(0<φ< ).设 B(x,y,0),则(6 分) =(0,﹣acosφ,﹣asinφ). =(x,y,
﹣asinφ).所以 φ.由
|•cosθ=a• •cosθ.知 cos2θ•x2+(cos2θ﹣cos2φ)
y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ(cos2θ﹣sin2φ)=0.故当φ= 时,点 B 的轨迹为圆;当θ<φ< 时,点 B 的轨
迹为椭圆;当θ=φ< 时,点 B 的轨迹为抛物线;当θ>φ时,点 B 的轨迹为双曲线.
解答: 解:(1)∵圆锥的母线长为 4,母线与高成 45°角,
高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形,
即高和底面半径长度一样,
则由勾股定理可知底面半径为 2 ,
则由圆周公式 2πR 可算出底面周长 4 π;
(2 分)
(2)①设 l∩α=C,点 A 在平面α上的射影为点 O.如图建立空间直角坐标系,
设|AC|=a,有 A(0,0,asin60°),C(0,﹣acos60°).
设 B(x,y,0),则 =(0,﹣acos60°,﹣asin60°).
=(x,y,﹣asin60°).
∴ .
又∵ |•cos45°=a• .
∴﹣acos60°•y+a2sin60°=a . (11 分)
平方整理得 cos245°•x2+(cos245°﹣cos260°)y2+a2ysin60°sin120°+a2sin260°(cos245°﹣sin260°)=0.
即 ,
∴点 B 的轨迹椭圆; (4 分)
②设 l∩α=C,点 A 在平面α上的射影为点 O.如图建立空间直角坐标系,
设|AC|=a,有 A(0,0,asinφ),C(0,﹣acosφ),(0<φ< ).设 B(x,y,0),则(6 分) =(0,
﹣acosφ,﹣asinφ).
=(x,y,﹣asinφ).
∴ φ.
又∵ |•cosθ=a• •cosθ.
∴﹣acosφ•y+a2sinφ=a . (11 分)
平方整理得 cos2θ•x2+(cos2θ﹣cos2φ)y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ(cos2θ﹣sin2φ)=0.
i.当 cos2θ﹣cos2φ=0,即θ=φ时,上式为抛物线方程;
ii.当 cos2θ﹣cos2φ>0,即θ<φ时,上式为椭圆方程;
iii.当 cos2θ﹣cos2φ<0,即θ>φ时,上式为双曲线方程.(14 分)
故当φ= 时,点 B 的轨迹为圆;
当θ<φ< 时,点 B 的轨迹为椭圆;
当θ=φ< 时,点 B 的轨迹为抛物线;
当θ>φ时,点 B 的轨迹为双曲线. (16 分)
点评: 第(1)题考查圆锥的性质和应用,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答.
第(2)题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断,对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,
以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.
25.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 ,且长轴长与短轴长的比是 .
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA,PB 分别交椭圆 C
于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜率为定值;
(3)求△PAB 面积的最大值.
考点: 椭圆的标准方程;直线的斜率;直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版 权所有
专题: 压轴题.
分析: (1)待定系数法求椭圆的方程.
(2)设出 A、B 坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,求出 A、B 横坐标之差,纵坐标之差,从而求
出 AB 斜率.
(3)设出 AB 直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数的关系求 AB 长度,计算 P 到 AB 的距离,计算
△PAB 面积,
使用基本不等式求最大值.
解答:
解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 .
由题意 ,解得 a2=4,b2=2.
所以,椭圆 C 的方程为 .故点 P(1, )
(Ⅱ)由题意知,两直线 PA,PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k,
则 PB 的直线方程为 .
由 得, .
设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 ,同理可得 .
则 , .
所以直线 AB 的斜率 为定值.
(Ⅲ)设 AB 的直线方程为 ,由 得 .
由 ,得 m2<8.此时 , .
由椭圆的方程可得点 P(1, ),根据点到直线的距离公式可得 P 到 AB 的距离为 ,
由两点间的距离公式可得 = ,
故 = =
= ≤ × = .
因为 m2=4 使判别式大于零,所以当且仅当 m=±2 时取等号,所以△PAB 面积的最大值为 .
点评: 直线与圆锥曲线的综合问题,注意应用一元二次方程根与系数的关系,式子的化简变形,是解题的难点和
关键.
26.已知点 B(0,1),A,C 为椭圆 上的两点,△ABC 是以 B 为直角顶点的直角三角形.
(I)当 a=4 时,求线段 BC 的中垂线 l 在 x 轴上截距的取值范围.
(II)△ABC 能否为等腰三角形?若能,这样的三角形有几个?
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质.菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题;圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:
(I)依题意,可知椭圆的方程为: +y2=1,设 C(4cosθ,sinθ),可求得直线 l 的方程为 y=﹣
x+ + ,令 y=0 得 x= = cosθ(cosθ≠0),利用余弦 cosθ的有界性即
可求得线段 BC 的中垂线 l 在 x 轴上截距的取值范围;
(II)当等腰直角三角形 ABC 的两条腰 AB 与 BC 不关于 y 轴对称时,设出 AB 的方程为 y=kx+1(k>0),
BC 的方程为 y=﹣ x+1,利用直线与方程与椭圆方程联立,利用等腰直角三角形 ABC 中的两腰|AB|=|BC|,
借助基本不等式即可求得 a 的取值范围;同理可求两条腰 AB 与 BC 关于 y 轴对称时 a 的取值范围.
解答: 解:(I)∵a=4,
∴椭圆的方程为: +y2=1,故 B(0,1),
设 C(4cosθ,sinθ),
则 BC 的中点 M(2cosθ, ),
∵BC 的斜率 kBC= ,
∴线段 BC 的中垂线 l 的斜率 k=﹣ =﹣ ,
∴直线 l 的方程为:y﹣ =﹣ (x﹣2cosθ),
∴y=﹣ x+ + ,
令 y=0 得:x= = cosθ(cosθ≠0)
∵﹣1≤cosθ≤1 且 cosθ≠0,
∴﹣ ≤x= cosθ≤ 且 x≠0,
∴线段 BC 的中垂线 l 在 x 轴上截距的取值范围为[﹣ ,0)∪(0,
]
.
(II)当等腰直角三角形 ABC 的两条腰 AB 与 BC 不关于 y 轴对称时,作图如右,
设此时过 B(0,1)的 AB 的方程为 y=kx+1(k>0),则 BC 的方程为 y=﹣ x+1,
由 得:(a2k2+1)x2+2a2kx=0,
设该方程两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣ ,x1x2=0,
则|AB|=
=|x1﹣x2|•
= •
= •| |,
同理可求,|BC|= •| |= •| |,
∵|AB|=|BC|,
∴ •| |= •| |,
约分后整理得:k3﹣a2k2+a2k﹣1=0,
即 a2k(k﹣1)=(k﹣1)(k2+k+1),
当 k=1 时,AB 的方程为 y=x+1,BC 的方程为 y=﹣x+1,此时两直线关于 y 轴对称,与所设不符,故 k≠1;
∴a2= =k+ +1≥3(当且仅当 k=1 时取等号),又 k≠1,
∴a2>3,
∴a> ,即当 a> 时,如图的不关于 y 轴对称等腰直角三角形 ABC 存在,
又不关于 y 轴对称的还有另一个,关于 y 轴对称的必有一个,
因此,当 a> 时,以 B 为直角顶点的等腰三角 ABC 共三个.
当 1<a≤ 时,以 B 为直角顶点的等腰三角 ABC 只有一个,此时两腰关于 y 轴对称.
点评: 本题考查椭圆的性质,着重考查椭圆的参数方程的应用,考查直线的点斜式、截距的综合应用,突出考查
直线与圆锥曲线的位置关系,考查转化思想、方程思想、分类讨论思想的综合应用,考查逻辑思维、创新
思维、综合运算能力,属于难题.
27.如图,P 是抛物线 C:x2=2y 上一点,F 为抛物线的焦点,直线 l 过点 P 且与抛物线交于另一点 Q,已知 P(x1,
y1),Q(x2,y2).
(1)若 l 经过点 F,求弦长|PQ|的最小值;
(2)设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0)与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T
①求证:
②求 的取值范围.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题.
分析: (1)由抛物线的方程求出抛物线的焦点,写出过焦点的直线 l 的方程,和抛物线方程联立后化为关于 x 的
一元二次方程,利用根与系数关系求出 P,Q 的横坐标的和,借助于抛物线的定义把弦长|PQ|转化为两点横
坐标的代数式,利用不等式求弦长|PQ|的最小值;
(2)①分别过 P,Q 作 PP′⊥x 轴,QQ′⊥x 轴,利用平行线截线段成比例定理把要证的等式的左边转化为
直线在 y 轴上的截距与点的纵坐标的比,从而得到要证得结论;
②联立 ,消去 x,得 y2﹣2(k2+b)y+b2=0,利用根与系数关系得到 P,Q 两点的纵坐标的和与积,
结合基本不等式代入①后得到结论,或利用分类讨论的方法求解 的取值范围.
解答: (1)解:∵F 为抛物线的焦点,∴
设直线 ,
联立 ,得 x2﹣2kx﹣1=0(﹡)
则|PQ|= .
由(﹡)得 x1+x2=2k,带入上式得|PQ|=2k2+2≥2,当仅当 k=0 时|PQ|的最小值为 2;
(2)证明:如图,
①分别过 P,Q 作 PP′⊥x 轴,QQ′⊥x 轴,垂足分别为 P′,Q′,
则
②联立 ,消去 x,得 y2﹣2(k2+b)y+b2=0(﹟)
则 .
(方法 1)
而
而 y1,y2 可取一切不相等的正数∴ 的取值范围为(2,+∞).
(方法 2)
当 b>0 时,上式= ;
当 b<0 时,上式= .
由(﹟)式△>0 得 k2+2b>0 即 k2>﹣2b
于是
综上, 的取值范围为(2,+∞).
点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的综合题,考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,直线与圆锥
曲线关系问题,常采用直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系求解,这是处理这类问题的最为常用
的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,是难题.
28.过点 F(0,1)作直线 l 与抛物线 x2=4y 相交于两点 A、B,圆 C:x2+(y+1)2=1
(1)若抛物线在点 B 处的切线恰好与圆 C 相切,求直线 l 的方程;
(2)过点 A、B 分别作圆 C 的切线 BD、AE,试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2 的取值范围.
考点: 圆与圆锥曲线的综合. 菁优网版 权所有
专题: 计算题;综合题;压轴题.
分析: (1)先求抛物线过点 B 的切线方程,利用点 B 处的切线恰好与圆 C 相切及点 B 在抛物线即可求得点 B 坐
标,从而可求直线方程;
(2)由已知,直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为:y=kx+1,与 x2=4y 联立,再分别表示出各线段长,
即可求得|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2 的取值范围.
解答: 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2)
由 x2=4y,得 ,则过点 B 的切线方程为:
由已知:点 B 处的切线恰好与圆 C 相切,
∴ ,即点 B 坐标为 ,
∴直线 l 的方程为:
(Ⅱ)
法一:由已知,直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为:y=kx+1,
联立 x2=4y,得 x2﹣4kx﹣4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4
∴x12+x22=16k2+8
∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2=(﹣2﹣2k2)x1x2﹣4k(x1+x2)﹣6=﹣8k2+2≤2
∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2 的取值范围是(﹣∞,2
]
法二:根据题意,连接 AC、AB﹑EC﹑ED.设直线 l 的方程为:y=kx+1,
联立 x2=4y 可得 x2﹣4kx﹣4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4
|AE|2=|AC|2﹣|EC|2=x12+(y1+1)2﹣1.
同理,|BD|2=x22+(y2+1)2﹣1.
又|AB|2=(y1+y2+2)2
∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2=2x1x2+4(x1+x2)﹣(y12+y22)﹣2(y1+y2)+4=﹣8k2+2≤2.
∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2 的取值范围是(﹣∞,2
]
点评: 本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题,解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形
特征,这也是高考常考的知识点
29.已知圆 C 的圆心在抛物线 x2=2py(p>0)上运动,且圆 C 过 A(0,p)点,若 MN 为圆 C 在 x 轴上截得的弦.
(1)求弦长 MN;
(2)设 AM=l1,AN=l2,求 的取值范围.
考点: 圆与圆锥曲线的综合. 菁优网版 权所有
专题: 计算题;压轴题.
分析: (1)先设圆心坐标 C(x0,y0),根据条件得到圆 C 的方程,再求出交点 M 和 N 的横坐标,再根据弦长公
式 MN=|x2﹣x1|求得 MN.
(2)首先设∠MAN=θ,接着根据三角形 MAN 面积得 l1 与 l2 关系式①,再根据余弦定理求得 l12+l22 的表达式
即 l1 与 l2 关系式②,联立①②求得frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}+frac{{l}_{2}}{{l}_{1}}的表达式,根据θ的范围代入求解.
解答: 解:(1)依题意设 C(x0,y0),M、N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则圆 C 的方程为:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=x02+(y0﹣p)2.
令 y=0,并由 x02=2py0,得 x2﹣2x0x+x02﹣p2=0,
解得 x1=x0﹣p,x2=x0+p,
所以弦长 MN 为|x2﹣x1|=x0+p﹣(x0﹣p)=2p.
(2)设∠MAN=θ,因为 ,
所以 ,因为 l12+l22﹣2l1 l2cosθ=4p2,
所以 l12+l22= .
所以 .
因为 0<θ≤900,所以当且仅当θ=45°时,原式有最大值 ,当且仅当θ=90°时,原式有最小值为 2,
从而 的取值范围为 .
点评: 这是一道圆锥曲线与三角函数的知识点交汇综合题型,此题考查学生的运算能力,
知识点方面还考查直线与圆的位置关系,及弦长公式的运用,同时利用三角函数求最值方法.
30.已知以动点 P 为圆心的圆与直线 y=﹣ 相切,且与圆 x2+(y﹣ )2= 外切.
(Ⅰ)求动 P 的轨迹 C 的方程;
(Ⅱ)若 M(m,m1),N(n,n1)是 C 上不同两点,且 m2+n2=1,m+n≠0,直线 L 是线段 MN 的垂直平分线.
(1)求直线 L 斜率 k 的取值范围;
(2)设椭圆 E 的方程为 + =1(0<a<2).已知直线 L 与抛物线 C 交于 A、B 两个不同点,L 与椭圆 E 交
于 P、Q 两个不同点,设 AB 中点为 R,PQ 中点为 S,若 =0,求 E 离心率的范围.
考点: 圆与圆锥曲线的综合. 菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴题;圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析: (Ⅰ)根据动点 P 为圆心的圆与直线 y=﹣ 相切,且与圆 x2+(y﹣ )2= 外切,建立方程,即可求动 P
的轨迹 C 的方程;
(Ⅱ)(1)求得直线 L 斜率,根据 M,N 两点不同,m2+n2=1 且 m≠n,可得(m+n)2<2(m2+n2)=2,即
可求得结论;
(2)求出直线方程代入抛物线和椭圆方程,由 =0,求得 a 的范围,即可求得离心率的范围.
解答: 解:(Ⅰ)设 P(x,y),则有 …(2 分)
化简得:x2=y …(4 分)
(II)(1)因为直线 MN 的斜率为 =m+n
∵l⊥MN,m+n≠0,∴直线 L 斜率 k=﹣ …(6 分)
∵M,N 两点不同,m2+n2=1 且 m≠n,∴(m+n)2<2(m2+n2)=2
∴0<|m+n|<
∴|k|>
∴k<﹣ 或 k> …(8 分)
(2)l 方程为:y﹣ =k(x﹣ ),
又 m2+n2=1,m+n=﹣ ,∴l 方程为:y=kx+1 代入抛物线和椭圆方程并整理得:x2﹣kx﹣1=0①;(a+2k2)
x2+4kx+2﹣2a=0②,易知方程①的判别式 >0 恒成立,方程②的判别式
∵ ,a>0,∴ >0 恒成立 …(10 分)
∵R( ),S( )
∴由 =0 得﹣k2+a( +1)=0
∴a= =2﹣ >2﹣ =
∴
∵ =e,∴a=2﹣2e2>
∴e2<
∴0<e< …(14 分)
点评: 本题考查轨迹方程,考查直线与曲线的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,
属于中档题.
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