高考数学专题复习课件：2-5 指数与指数函数 51页

§2.5 　指数与指数函数 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解指数函数模型的实际背景 .2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 .3. 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点 .4. 知道指数函数是一类重要的函数模型． a r ＋ s a rs 2 ． 指数函数的图象与性质 (4) 函数 y ＝ a － x 是 R 上的增函数． ( 　　 ) (5) 函数 y ＝ ax 2 ＋ 1( a ＞ 1) 的值域是 (0 ，＋ ∞ ) ． ( 　　 ) (6) 函数 y ＝ 2 x － 1 是指数函数． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × 　 (6) × 【 答案 】 D 【 答案 】 B 3 ． ( 教材改编 ) 已知 0.2 m ＜ 0.2 n ，则 m ________ n ( 填 “ ＞ ” 或 “ ＜ ” ) ． 【 解析 】 设 f ( x ) ＝ 0.2 x ， f ( x ) 为减函数， 由已知 f ( m ) ＜ f ( n ) ， ∴ m ＞ n . 【 答案 】 ＞ 4 ．若函数 y ＝ ( a 2 － 1) x 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上为减函数，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 5 ． (2017· 南昌一模 ) 函数 y ＝ 8 － 2 3 － x ( x ≥ 0) 的值域是 ________ ． 【 解析 】 ∵ x ≥ 0 ， ∴ － x ≤ 0 ， ∴ 3 － x ≤ 3 ， ∴ 0 ＜ 2 3 － x ≤ 2 3 ＝ 8 ， ∴ 0 ≤ 8 － 2 3 － x ＜ 8 ， ∴ 函数 y ＝ 8 － 2 3 － x 的值域为 [0 ， 8) ． 【 答案 】 [0 ， 8) 【 方法规律 】 (1) 指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ① 必须同底数幂相乘，指数才能相加； ② 运算的先后顺序． (2) 当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3) 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． (2) (2017· 衡水模拟 ) 若曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝ b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________ ． 【 答案 】 (1)A 　 (2)[ － 1 ， 1] 【 方法规律 】 (1) 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2) 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3) 有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． 跟踪训练 2 (1) (2017· 泰安检测 ) 函数 f ( x ) ＝ a x － b 的图象如图，其中 a ， b 为常数，则下列结论正确的是 ( 　　 ) A ． a ＞ 1 ， b ＜ 0 B ． a ＞ 1 ， b ＞ 0 C ． 0 ＜ a ＜ 1 ， b ＞ 0 D ． 0 ＜ a ＜ 1 ， b ＜ 0 (2) (2017· 济宁二模 ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| ， a ＜ b ＜ c 且 f ( a ) ＞ f ( c ) ＞ f ( b ) ，则下列结论中，一定成立的是 ( 　　 ) A ． a ＜ 0 ， b ＜ 0 ， c ＜ 0 　　　 B ． a ＜ 0 ， b ≥ 0 ， c ＞ 0 C ． 2 － a ＜ 2 c D ． 2 a ＋ 2 c ＜ 2 【 解析 】 (1) 由 f ( x ) ＝ a x － b 的图象可以观察出，函数 f ( x ) ＝ a x － b 在定义域上单调递减，所以 0 ＜ a ＜ 1 ，函数 f ( x ) ＝ a x － b 的图象是在 y ＝ a x 的基础上向左平移得到的，所以 b ＜ 0. (2) 作出函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| 的图象，如图， ∵ a ＜ b ＜ c ，且 f ( a ) ＞ f ( c ) ＞ f ( b ) ，结合图象知 0 ＜ f ( a ) ＜ 1 ， a ＜ 0 ， c ＞ 0 ， ∴ 0 ＜ 2 a ＜ 1. ∴ f ( a ) ＝ |2 a － 1| ＝ 1 － 2 a ＜ 1 ， ∴ f ( c ) ＜ 1 ， ∴ 0 ＜ c ＜ 1. ∴ 1 ＜ 2 c ＜ 2 ， ∴ f ( c ) ＝ |2 c － 1| ＝ 2 c － 1 ， 又 ∵ f ( a ) ＞ f ( c ) ， ∴ 1 － 2 a ＞ 2 c － 1 ， ∴ 2 a ＋ 2 c ＜ 2 ，故选 D. 【 答案 】 (1)D 　 (2)D 【 答案 】 D 应使 g ( x ) ＝ ax 2 － 4 x ＋ 3 的值域为 R ， 因此只能 a ＝ 0.( 因为若 a ≠ 0 ，则 g ( x ) 为二次函数，其值域不可能为 R) ． 故 f ( x ) 的值域为 (0 ，＋ ∞ ) 时， a 的值为 0. 【 方法规律 】 指数函数的性质及应用问题解题策略 (1) 比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值 (0 或 1) 法． (2) 简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3) 解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 ( 如奇偶性、周期性 ) 相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 跟踪训练 3 (1) (2017· 西安模拟 ) 函数 y ＝ a x － ( a ＞ 0 ， a ≠ 1) 的图象可能是 ( 　　 ) 【 答案 】 (1)D 　 (2)D 【 温馨提醒 】 (1) 解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题； (2) 换元过程中要注意 “ 元 ” 的取值范围的变化 . ► 方法与技巧 1 ．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令 x ＝ 1 得到底数的值，再进行比较． 2 ．指数函数 y ＝ a x ( a ＞ 0 ， a ≠ 1) 的性质和 a 的取值有关，一定要分清 a ＞ 1 与 0 ＜ a ＜ 1. 3 ．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． ► 失误与防范 1 ．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2 ．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域． 3 ．对可化为 a 2 x ＋ b · a x ＋ c ＝ 0 或 a 2 x ＋ b · a x ＋ c ≥ 0( ≤ 0) 形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后 “ 新元 ” 的范围 .