新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测十三等差数列等比数列文 6页

专题过关检测（十三） 等差数列、等比数列 A级——“12＋‎4”‎提速练 ‎1．已知数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，a1＋a3＝2，则a5＋a7＝(　　)‎ A．8　　　　　　　　　　 B．16‎ C．32 D．64‎ 解析：选C　因为数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，所以此数列是等比数列，公比为2，所以a5＋a7＝24(a1＋a3)＝24×2＝32.‎ ‎2．(2019·长春质监)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ 解析：选C　法一：由题意，知解得故选C.‎ 法二：∵S6＝＝＝54，∴a3＋a4＝18.∵a2＋a3＝10，∴a4－a2＝18－10＝8＝2d，∴d＝4，故选C.‎ ‎3．(2019·广东六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，且‎4a1,‎2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　)‎ A．16 B．15‎ C．8 D．7‎ 解析：选B　设公比为q，由题意得‎4a2＝‎4a1＋a3，即‎4a1q＝‎4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝＝15，故选B.‎ ‎4．在等比数列{an}中，“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a2＝±‎1”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　在等比数列{an}中，a1·a3＝a.由a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根可得a1·a3＝1，所以a＝1，所以a2＝±1，所以“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a2＝±‎1”‎的充分条件；由a2＝±1得a1·a3＝1，满足此条件的一元二次方程不止一个．所以“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a2＝±‎1 ”‎的充分不必要条件，故选A.‎ ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33＝(　　)‎ A．82 B．97‎ 6‎ C．100 D．115‎ 解析：选C　设等差数列{an}的公差为d，则由得解得所以a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100，故选C.‎ ‎6．(2019·福州质检)等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a‎2a6＝64，则S5＝(　　)‎ A．32 B．31‎ C．64 D．63‎ 解析：选B　设首项为a1，公比为q，因为an>0，所以q>0，由条件得解得所以S5＝31，故选B.‎ ‎7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝a5，令bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前2n项和T2n为(　　)‎ A．－n B．－2n C．n D．2n 解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由S3＝a5，得‎3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，∴an＝2n－1，∴bn＝(－1)n－1(2n－1)，∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝－2n，选B.‎ ‎8．若f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　因为f(x)＝xm＋ax，所以f′(x)＝mxm－1＋a.又因为f′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1，所以f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，所以＝＝－，所以数列的前n项和为＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故选A.‎ ‎9．(2019·武昌区调研考试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(　　)‎ A．40 B．44‎ C．45 D．49‎ 解析：选B　因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.‎ ‎10．若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n 6‎ 的值为(　　)‎ A．10 B．11‎ C．12 D．13‎ 解析：选C　由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝‎13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，故选C.‎ ‎11．(2019·江西八所重点中学联考)已知数列{an}是等比数列，若ma6·a7＝a－‎2a4·a9，且公比q∈(，2)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(2,6) B．(2,5)‎ C．(3,6) D．(3,5)‎ 解析：选C　∵ma6·a7＝a－‎2a4·a9，a6·a7＝a4·a9，∴m＝－2＝q3－2，又q∈(，2)，∴30，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．‎ 解析：根据题意知a7＋a8＋a9＝‎3a8>0，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10<0，所以a9<0，所以当n＝8时，{an}的前n项和最大．‎ 答案：8‎ ‎14．已知递增的等差数列{an}的前三项和为－6，前三项积为10，则前10项和S10＝________.‎ 解析：设前三项为a－d，a，a＋d(d>0)，‎ 则有解得 6‎ 所以数列首项为a－d＝－5，公差d＝3，‎ 故前10项和为S10＝‎10a1＋×d＝－50＋135＝85.‎ 答案：85‎ ‎15．(2019·贵阳第一学期监测)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝7.当n∈N*时，an＋2是乘积an·an＋1的个位数，则a2 019＝________.‎ 解析：a1＝3，a2＝7，a‎1a2＝21，a3＝1，a‎2a3＝7，a4＝7，a‎3a4＝7，a5＝7，a‎4a5＝49，a6＝9，a‎5a6＝63，a7＝3，a‎6a7＝27，a8＝7，a‎7a8＝21，a9＝1，a‎8a9＝7，所以数列{an}是周期为6的数列，又2 019＝6×336＋3，所以a2 019＝a3＝1.‎ 答案：1‎ ‎16．在数列{an}中，已知a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列，若bn＝nan，则数列{an}的通项公式为________；数列{bn}的前n项和Tn＝________________.‎ 解析：因为{an－1}是等比数列且a1－1＝2，a2－1＝4，＝2，所以an－1＝2·2n－1＝2n，所以an＝2n＋1，则bn＝nan＝n·2n＋n，‎ 故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．‎ 令Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，‎ 则2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，‎ 两式相减，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，‎ 所以Sn＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1.‎ 又1＋2＋3＋…＋n＝，‎ 所以Tn＝(n－1)·2n＋1＋.‎ 答案：an＝2n＋1　(n－1)·2n＋1＋ B级——拔高小题提能练 ‎1．已知数列{an}满足a1＝1，an－1＝3an(n≥2，n∈N*)，其前n项和为Sn，则满足Sn≥的n的最小值为(　　)‎ A．6 B．5‎ C．8 D．7‎ 解析：选B　由an－1＝3an(n≥2，n∈N*)可得＝(n≥2，n∈N*)，可得数列{an}是首项a 6‎ ‎1＝1，公比q＝的等比数列，所以Sn＝＝.由Sn≥可得≥，1－n≥，得n≥5(n∈N*)，故选B.‎ ‎2．设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1＝4，an＋1＝Sn(n∈N*)，若Cn＝，数列{Cn}的前n项和为Tn，则Tn＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，所以Sn＋1＝2Sn，所以＝2，‎ 所以{Sn}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＝4×2n－1＝2n＋1，log2Sn＝log22n＋1＝n＋1，所以Cn＝＝，Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝，故选C.‎ ‎3．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列{1,2}．第一次“H扩展”后得到{1,3,2}；第二次“H扩展”后得到{1,4,3,5,2}．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为(　　)‎ A．1 023 B．1 025‎ C．513 D．511‎ 解析：选B　设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an，则第n＋1次“H扩展”后得到的数列的项数为an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)，∴＝2.又a1－1＝3－1＝2，∴{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an－1＝2·2n－1，∴an＝2n＋1，∴a10＝210＋1＝1 025.故选B.‎ ‎4．(2019·安徽五校联考)设数列{an}满足a1＝5，且对任意正整数n，总有(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4成立，则数列{an}的前2 018项的和为________．‎ 解析：由(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4，得an＋1＝－3＝，因为a1＝5，所以a2＝0，a3＝－，a4＝－5，a5＝5，则数列{an}是以4为周期的周期数列，因为2 018＝504×4＋2，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，即一个周期的和为－，所以数列{an}的前2 018项的和为－ 6‎ ‎×504＋5＋0＝－835.‎ 答案：－835‎ ‎5．在数列中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：‎ ‎①k不可能为0；‎ ‎②等差数列一定是“等差比数列”；‎ ‎③等比数列一定是“等差比数列”；‎ ‎④“等差比数列”中可以有无数项为0.‎ 其中所有正确判断的序号是________．‎ 解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当是等比数列，且公比q＝1时，不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．‎ 答案：①④‎ 6‎