高考数学专题复习练习：5-4 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形　　　　　　　　B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【解析】 由(＋)·＝||2，‎ 得·(＋－)＝0，‎ 即·(＋＋)＝0，2·＝0，‎ ‎∴⊥，∴A＝90°.‎ 又根据已知条件不能得到||＝||，‎ 故△ABC一定是直角三角形．‎ ‎【答案】 C ‎2．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【解析】 ∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，‎ ‎∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，‎ ‎∴y2＝x＋6.‎ 即点P的轨迹是抛物线．‎ ‎【答案】 D ‎3．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积的比值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由题意可得＝2，‎ 所以P是线段AC的三等分点(靠近点A)，‎ 易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.‎ ‎【答案】 A ‎4．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5，1)，则共点力对物体做的功W为(　　)‎ A．lg 2 B．lg 5‎ C．1 D．2‎ ‎【解析】 F1＋F2＝(1，2lg 2)．‎ ‎∴W＝(F1＋F2)·s＝(1，2lg 2)·(2lg 5，1)‎ ‎＝2lg 5＋2lg 2＝2.‎ ‎【答案】 D ‎5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于(　　)‎ A. B.π C.π D.π ‎【解析】 由题意知M，N，‎ 又∵·＝×－A2＝0，∴A＝π.‎ ‎【答案】 B ‎6．(2017·福建四地六校第一次联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a与b的夹角是________．‎ ‎【解析】 设向量a与b的夹角是θ，则a·b＝1××cos θ＝cos θ，‎ 由|a＋b|＝＝ ‎＝＝2，可得cos θ＝0，∴θ＝.‎ ‎【答案】 ‎7．(2017·甘肃兰州二模)已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sin A·＋ sin B·＋3sin C·＝0，则cos B＝________．‎ ‎【解析】 设a，b，c为内角A，B，C所对的边，由正弦定理可得2a＋b＋3c＝0，∴2a＋b＝－3c＝3c(＋)，即(2a－3c)＋(b－3c)·＝0.‎ ‎∵，不共线，则2a－3c＝0，b－3c＝0，即2a＝b＝3c.‎ ‎∴a＝，c＝，∴cos B＝＝.‎ ‎【答案】 ‎8．(2017·陕西西安模拟)已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且||＝，则·＝________．‎ ‎【解析】 因为圆的半径为1，||＝，所以∠AOB＝120°，‎ 所以·＝1×1×cos 120°＝－.‎ ‎【答案】 － ‎9．(2016·江西新余三校联考)已知a＝(cos x，2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b.‎ ‎(1)把f(x)图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．‎ ‎【解析】 (1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin xcos x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1.‎ ‎∴g(x)＝sin＋1‎ ‎＝sin＋1.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，‎ ‎－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)∵a≠0，a与b共线，∴cos x≠0，‎ ‎∴sin xcos x－4cos2x＝0，∴tan x＝4.‎ ‎∴f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝＝＝.‎ ‎10．(2016·黄冈中学期中)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)因为a∥b，‎ 所以cos x＋sin x＝0，‎ 所以tan x＝－.‎ cos2x－sin 2x＝＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋.‎ 由正弦定理＝，得 sin A＝，所以A＝，或A＝.‎ 因为b＞a，所以A＝.‎ f(x)＋4cos＝sin－，‎ 因为x∈，所以2x＋∈，‎ －1≤f(x)＋4cos≤－.‎ ‎∴所求范围是.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎11．(2016·石家庄调研)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为(　　)‎ A.－1　　　　　　　　　　 　B．1‎ C.＋1 D. ‎【解析】 ∵a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|，‎ 所以|a＋b|＝，‎ 又∵(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉，‎ ‎∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－2cos〈(a＋b)，c〉，‎ 所以当cos〈(a＋b)，c〉＝1时，‎ ‎|a＋b－c|＝3－2＝(－1)2，‎ 所以|a＋b－c|的最小值为－1.‎ ‎【答案】 A ‎12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设a与b的夹角为θ.‎ ‎∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx.‎ ‎∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.‎ ‎∵函数f(x)在R上有极值，‎ ‎∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，‎ 即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，‎ 又∵|a|＝2|b|≠0，‎ ‎∴cos θ＝＜＝，即cos θ＜，‎ 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎13．(2016·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________．‎ ‎【解析】 由已知得||＝，||＝，‎ 则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝cos＋×＝－.‎ ‎【答案】 － ‎14．(2016·湖北咸宁联考)在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y，且x＋y＝1.若函数f(m)＝|－m|(m∈R)的最小值为，则||的最小值为________．‎ ‎【解析】 由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为.又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得||的最小值为.‎ ‎【答案】 ‎15．(2016·河南三市调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【解析】 (1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，‎ 即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以||＝，‎ 即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，‎ 即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎